સમ અપૂર્ણાંક અને વિવિધ પૂર્ણાંક સંખ્યા

જો આપણી પાસે એક અપૂર્ણાંક હોય 1/3 તેમજ અંશ અને છેદ બંનેને 2 સાથે ગુણીએ તો 1 ગુણ્યાં 2 બરાબર 2 અને 3 ગુણ્યાં 2 બરાબર 6 આમ, આપણે જાણીએ છીએ કે 1/3 અને 2/6 બંને સમાન છે 2/6  ને બીજી રીતે 1/3 પણ કહી શકાય હવે, નીચે આપેલી આકૃતિમાંથી કઈ આકૃતિ દર્શાવે છે કે તે સાચું છે ? આ પહેલી આકૃતિથી શરુઆત કરીએ અહીં જુઓ કે ત્રણ એકસરખા ભાગ છે આમ, આ દરેક ભાગ 1/3 દર્શાવે છે જેમાંથી એક 1/3 ભાગ રંગીન છે આ જમણી બાજુની આકૃતિમાં જોઈએ તો,અહીં 6 એક સરખા ભાગ છે આમ તે 1/6 માં વિભાજિત છે તેમ કહેવાય જેમાંથી 2 ભાગ રંગીન છે  આ એક ભાગ અને બીજો ભાગ હવે મહત્વની વાત એ છે કે અહીં આપણે એક લંબચોરસને 1/3 માં વિભાજિત કરેલ છે અને અહીં તેટલા જ લંબચોરસને 1/6 માં વિભાજિત કરેલ છે આમ, આપણે અહીં એકસરખી એકસરખી પૂર્ણ આકૃતિઓના ભાગોની સરખામણી કરી રહ્યા છીએ. માટે, જો આ બંને ગુલાબી રંગના બોક્સને એક સાથે મૂકીએ તો તે આ મોટા લંબચોરસ જેટલો જ વિસ્તાર દર્શાવે  આમ, 1/3 અને 2/6 સમાન છે તે આ આકૃતિ દ્વારા સારી રીતે સમજી શકાય છે . એક લંબચોરસના 1/3 ભાગ કરીએ અને તેમાંથી એક ભાગ લઈએ પછી તેટલા જ લંબચોરસને 1/6 ભાગમાં વહેંચીને તેમાંથી બે ભાગ લઈએ તો તે બંને સમાન જથ્થો દર્શાવે છે. આ આકૃતિનો 1/3 ભાગ એ આ આ આકૃતિના 2/6 ભાગ જેટલો છે. અહીં મહત્વની વાત એ છે કે આપણે અહીં 1/3 અને 2/6 એકસરખા જ લંબચોરસમાંથી લઇ રહ્યા છીએ હવે જો આ આકૃતિમાં જોઈએ તો આપણે જોઈ શકીએ કે અહીં આ આકૃતિનો 1/3 ભાગ છે. આ ત્રણ એકસરખા 3 ભાગોમાં વિભાજિત છે. અને એક ભાગ રંગીન છે અને અહીં આ આકૃતિમાં 2/6 છે.અહીં 6 એકસરખા ભાગ છે અને તેમાંથી 2 ભાગ રંગીન છે આપણે જાણીએ છીએ કે 1/3 એ 2/6 ને સમાન છે પણ આ આકૃતિમાં તે સાચું નથી. અહીં આ જે ભાગ છે તે આ ભાગ કરતા ઓછો વિસ્તાર છે. તમે કહેશો કે તે શા માટે સાચું નથી ? આ 1/3 એ 2/6 ને બરાબર કેમ નથી કારણ કે આપણે જે ષટ્કોણમાંથી 2/6 ભાગ લઈએ છીએ તે મોટો ષટ્કોણ છે અહીં નાના ષટ્કોણનો 1/3 નો ભાગ છે આ મોટા ષટ્કોણનો 2/6 ભાગ છે બે અલગ-અલગ કદની પૂર્ણ આકૃતિઓને સરખાવી શકાય નહિ મોટા ષટ્કોણનો 2/6 ભાગ -  એ નાના ષટ્કોણના 1/3 ભાગ કરતા વધુ જગ્યા રોકે છે 1/3 અને 2/6 ત્યારે જ સમાન બને જયારે તે એક જ કદની પૂર્ણ આકૃતિના હોય. જે આપણે ઉપર જોયું આમ આ સાચું નથી અને તે જ રીતે આ 1/3 છે અને આ 2/6 છે આ નાના વર્તુળનો 1/3 ભાગછે એ આ મોટા આ નાના વર્તુળનો 1/3 ભાગ આ મોટા વર્તુળના 2/6 કરતા નાનો છે આમ, આ પણ સાચું નથી એ જ તર્ક પ્રમાણે, અહીં જે બીજા ચિત્રો છે જુઓ, કે આ આકૃતિમાં 1/3 અને 2/6 નથી  આ આકૃતિમાં એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ, છ, સાત, આઠ, એમ આઠ એકસરખા ભાગ છે. એટલે કે આપણે અહીં અષ્ટમાંશની વાત કરી રહ્યા છીએ. અને આ આકૃતિ મુજબ અહીં એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ અને છ તે 6/8 છે અને તેને આપણે આ આકૃતિ સાથે સરખાવી રહ્યા છીએ અહીં જુઓ 4 એકસરખા ભાગ છે અને તેમાંથી ત્રણ ભાગ રંગીન છે. હવે, તે સાચું છે કે 6/8 એ 3/4 ને બરાબર છે 6 ભાગ્યા 2 બરાબર 3 અને 8 ભાગ્યા 2 બરાબર 4 માટે, જો અંશ અને છેદને સરખી સંખ્યા વડે ભાગીએ કે ગુણીએ તો આપણને સમ-અપૂર્ણાંક મળે આમ, 6/8 એ 3/4 ને સમાન છે પણ આ ચિત્ર માટે તે સાચું નથી. 6/8  અને 3/4 ત્યારે જ સમાન કહી શકાય જયારે તે એકસરખા કદની આકૃતિના ભાગ હોય. પણ આ બંને આકૃતિ સમાન કદની નથી. તેથી અહીં તે સાચું નથી. આ આકૃતિઓ માટે પણ તેમ જ કહી શકાય. આ બંને વર્તુળના કદ સમાન નથી. માટે જો જુદા જુદા કદની આકૃતિના સમાન ભાગ લઈએ તો તે સમ-અપૂર્ણાંક દર્શાવે તેવું કહી શકાય નહિ આ છેલ્લી આકૃતિ માટે જોઈએ બંને સમાન કદની આકૃતિ છે આ તીર જેવા આકારની આકૃતિઓ સમાન પૂર્ણ દર્શાવે છે જુઓ કે આ 1/8 માં વહેંચાયેલી છે જેમાંથી 6 ભાગ રંગીન છે જુઓ એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ, છ છ ભાગ જયારે આ આકૃતિ ચાર એક સરખા ભાગમાં વિભાજિત છે એટલે કે તે ચતુર્થાંશ દર્શાવે છે જેમાંથી ત્રણ ભાગ રંગીન છે માટે અહીં તે સાચું છે આપણે જાણીએ જ છીએ કે 6/8 એ 3/4 ને સમાન છે અને આપણે આકૃતિ દ્વારા પણ તે જોઈ શકીએ છીએ કારણ કે સમાન પૂર્ણ દર્શાવતી આકૃતિનો જ આપણે 6/8 ભાગ લીધો છે, અને અહીં 3/4 ભાગ લાધો છે જુઓ તેને હું જુદા રંગથી દર્શાવું છું અહીં 6 ત્રિકોણોથી રોકાયેલો વિસ્તાર જે કુલ આ ભાગ છે અહીં 6 ત્રિકોણોથી રોકાયેલો વિસ્તાર જે કુલ આ ભાગ છે એ અહીં ત્રણ ચતુષ્કોણથી ઘેરાયેલા વિસ્તાર જેટલો ભાગ દર્શાવે છે આપણે તેણે એક જ રંગથી બતાવી રહ્યા છીએ આ બે ભાગ અને આ આખો એક ભાગ તેમજ આ એક ભાગ જેટલો વિસ્તાર રોકે છે આ બીજા બે ભાગ જેટલો કુલ વિસ્તાર દર્શાવે છે આમ આ બે ભાગ જેટલો વિસ્તાર અને આ એક ભાગ જેટલો વિસ્તાર તેજ રીતે આ એક ભાગ તેનો કુલ વિસ્તાર અને આ બે ભાગનો કુલ વિસ્તાર બંને સમાન વિસ્તાર દર્શાવે છે આ ડાબી બાજુની આકૃતિમાં ફક્ત આપણે વધુ ભાગ દર્શાવ્યા હતા. પણ, તે સમ-અપૂર્ણાંક જ દર્શાવે છે પણ આ આકૃતિમાં જ જોઈને કહી શકાય કે  6/8 એ 3/4 ને બરાબર છે પણ તે બંને આકૃતિઓ સમાન કદની હોવી જોઈએ.