ઢાળનો પરિચય

જુઓ કે અહી આલેખ માં 2 રેખા ઓ છે બંને માં રહેલો તફાવત કદાચ તમે જોઈ શકતા હશો દાખલા તરીકે આ જાંબલી કે ગુલાબી રંગ ની રેખા એ આ ભૂરા રંગ ની રેખા કરતા વધુ ઢળતી હોઈ તેવું દેખાઈ છે આપને અહી જોઈશું કે ઢોળાવ શું છે રેખા માં કેવો ઢોળાવ કે ઢાળ હોઈ છે તેમાં કેટલું ઝડપ થી વધારો કે ઘટાડો થતો હોઈ છે તેની સમાજ એ ગણિત માં ખુબ અગત્ય ની બાબત છે આપને આ રેખા ઓ ના ઢોળાવ કે ઢાળ ને સંખ્યા સ્વરૂપે દર્શાવી શકીશું તેમાં કેટલો આપને આ રેખા ઓ ના ઢોળાવ કે ઢાળ ને સંખ્યા સ્વરૂપે દર્શાવી શકીશું? તેમાં કેટલા ઝડપ થી વધારો કે ઘટાડો થાય છે તો તે સમજવા માટે નો સરળ રસ્તો કયો છે રેખા ઓ ના ઢોળાવ કે ઢાળ ને સંખ્યા સ્વરૂપે કઈ રીતે દર્શાવી શકાય તે વિષે વિચારવા માટે ની એક રીત એ છે કે સમક્ષિતિજ દિશા માં થયેલા વધારા માટે ઉભી દિશા માં રેખા કેટલી આગળ વધી છે તે આપને અહી લખીએ ઉભી દિશા માં વધારો ઉભી દિશા માં વધારો છેદ માં સંક્શીતીજ દિશામાં વધારો સંક્શીતીજ દિશામાં વધારો સંક્શીતીજ દિશા એટલે કે આડી દિશા તો હવે તેની કિંમત કઈ રીતે મળે ફરીથી આ ગુલાબી રેખા ને જુઓ તેના પરના કોઈ પણ બિંદુ થી શરુ કરીએ પણ એવું બિંદુ લઈએ જેનું સરળતા થી વાચન કરી શકાઈ માટે જો અહી થી શરુ કરીએ તો અને જો તેમાં સમક્ષિતિજ દિશા માં એક જેટલો વધારો કરીએ તો આપને એક ગણું જમણી તરફ ગયા હવે કહો કે અહીંથી ફરી રેખા પર જવા ઉપર ની તરફ કેટલા એકમ જવું પરે જુઓ કે 2 એકમ ઉપર ની તરફ જવું પરે આમ આ ગુલાબી રેખા માટે કહી શકાઈ કે સમક્ષિતિજ દિશા માં એક એકમ નો વધારો કરતા ઉભી દિશામાં 2 એકમ વધારો કરવો પરે ફરીથી ચકાસીએ આ બિંદુ થી શરુ કરીએ અને હવે 3 એકમ જમણી તરફ ખસીએ આમ સમ્શીતીજ દિશા માં 3 એકમ ફરીથી રેખા સુધી જવા કેટલા એકમ ઉપર તરફ જવું પરે? જુઓ કે આપણને 1 2 3 4 5 અને 6 એકમ ઉપર તરફ જવું પરે આમ 6 એકમ નો વધારો માટે જો સમક્ષિતિજ દિશા માં 3 એકમ નો વધારો કરીએ તો ઉપર ની દિશા માં 6 એકમ જવું પરે હવે કહો કે આ બંને પરીસ્તીથીમાં સમક્ષિતિજ દિશા ના સંદર્ભ માં ઉપર ની તરફ કેટલો વધારો થયો? 2/1 = 2 અને 6/3 = 2 આમ બંને સમાન બાબત છે આમ રેખા પરના કયા બિંદુ થી શરુ કરો છો તે મહત્વ નું નથી પણ ત્યાંથી સમક્ષિતિજ દિશા માં જેટલો વધારો કરો તેના કરતા બમણો વધારો અહી ઉપર તરફ કરવો પડે આમ આ બાબત એટલે કે ઉભી દિશા માં વધારો છેદ માં સમક્ષિતિજ દિશા માં વધારો આ બાબત નો ઉપયોગ ગણિત શાસ્ત્રીઓ રેખા નો ઢોળાવ કે ઢાળ નક્કી કરવા માટે કરે છે આમ આ બાબત ને ઢાળ તરીકે ઓળખાઈ છે રેખા નો ઢાળ. ઢાળ શબ્દ થી આપને પરિચિત છીએ જ આમ અહી આપને સમક્ષિતિજ દિશા માં વધારા માટે ઉભી દિશા માં થયેલ વધારા નું માપન કર્યું માટે 2/1 અને 6/3 બંને સમાન છે અને બંને ની કિંમત 2 થાય આ કિંમત એ આ ગુલાબી રેખા નો ઢાળ દર્શાવે છે અહી તે દર્શાવીએ આ રેખા નો ઢાળ બરાબર 2 છે જેના આધારે કહી શકાઈ કે સમક્ષિતિજ અથવા આડી દિશા માં જેટલો વધારો થાય એના કરતા બમણો વધારો ઉપર ની તરફ થાય છે હવે આ ભૂરા રંગ ની રેખા માટે શું કહી શકાઈ હવે આપને ઢાળ ને ગાણિતિક સૂત્ર ની રીતે દર્શાવીએ જે રીતે ઢાળ ને વ્યાખ્યાયિત કરેલી છે આડી દિશા માં ફેરફાર માટે ઉભી દિશા માં શું ફેરફાર થાય છે તેનો થોડો જુદી રીતે પરિચય મેળવીએ ઉભી દિશા માં ફેરફાર છેદ માં આ આલેખમાં ઉપર ની દિશા ને y અક્ષ કહી શકાઈ ભાગ્યા સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેરફાર અહી x અક્ષ એ આડી દિશા સૂચવે છે જુઓ કે ma ફેરફાર ને બદલે આપને અહી એક ત્રિકોણ દોર્યો આ ત્રિકોણ એક ગ્રીક મૂળાક્ષર છે જેને ડેલ્ટા કેહવાઇ છે અને ગણિત માં તેનો ઉપયોગ ફેરફાર દર્શાવવા ના થાય છે આમ તેનો અર્થ છે y માં થતો ફેરફાર છેદ માં x માં થતો ફેરફાર x માં ફેરફાર માટે જુઓ હવે આ ભૂરા રંગ ની રેખા નો ઢાળ જાણવો હોઈ તો કહો કે x માં થતા ફેરફાર માટે y માં કેટલો ફેરફાર થાય છે તેમાં તે ધારો કે અહી થી શરુ કરીએ અને તેમાં x ની દિશા માં 2 એકમ નો ફેરફાર કરીએ માટે આપણો ડેલ્ટા x થાય +2 તો હવે ડેલ્ટા y શું મળે y માં શું ફેરફાર થશે જુઓ તો જમણી તરફ 2 એકમ આગળ ગયા તો ફરીથી રેખા સુધી જવા કેટલા એકમ ઉપર તરફ એટલે y ની દિશા માં જવું પરે જુઓ કે તે માટે y ની દિશા માં 2 એકમ ઉપર જવું પરે માટે y માં થતો ફેરફાર પણ +2 છે તેહતી આ ભૂરી રેખા નો ઢાળ મળે y માં થતો ફેરફાર છેદ માં x માં થતો ફેરફાર બરાબર આપને જોયું કે x માં +2 જેટલો ફેરફાર થયો તેમજ y માં પણ +2 જેટલો ફેરફાર થયો આમ આપણો ઢાળ મળે 2 ભાગ્યા 2 બરાબર 1 જેના દ્વારા કહી શકાય કે x માં જેટલો ફેરફાર કરીએ y માં પણ તેટલો જ ફેરફાર થાય જુઓ કે x માં એક એકમ નો વધારો તો y માં પણ એક એકમ નો વધારો એક એકમ x માં વધારો તો એક એકમ y માં વધારો રેખા પર ના કોઈ પણ બિંદુ માટે તે સાચું છે x માં 3 એકમ નો વધારો કરો તો y માં પણ 3 એકમ નો વધારો કરવો પડે તે બીજી રીતે પણ જોઈ શકાઈ x માં એક એકમ નો ઘટાડો કરીએ તો y માં પણ એક એકમ નો ઘટાડો કરવો પડે x માં 2 એકમ નો ઘટાડો કેરો તો y માં પણ 2 એકમ નો ઘટાડો કરવો પડે તે ગાણિતિક રીતે પણ સાચું છે જો જો x માં થતો ફેરફાર -2 હોઈ જે અહી આપને જોયું તો y માં પણ તેટલો જ એટલે કે -2 ફેરફાર થયો 2 એકમ પાછળ તરફ અને 2 એકમ નીચે તરફ -2 ભાગ્યા -2 બરાબર +1 જે ફરીથી ઢાળ ની કિંમત દર્શાવે છે