દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનો પરિચય

આ વીડિઓમાં આપણે સુરેખ સમીકરણની સમજ મેળવીશું, સુરેખ સમીકરણ અને તે શું હોય છે? તે સમજવા માટે અમુક ઉદાહરણ લઇએ ધારો કે એક સમીકરણ છે y = ૨x - ૩ આ એક સુરેખ સમીકરણ છે હવે તેને સુરેખ સમીકરણ શા માટે કહેવાય છે? જો તમે x અને yની અમુક એવી કિંમત લો જે આ સમીકરણ નું સમાધાન કરે અને પછી તે કિંમતોને આધારે આપણે તેનું આલેખન કરીએ તો તેનો જે આલેખ મળે તે એક રેખા મળે માટે તેને સુરેખ સમીકરણ કહેવાય છે ચાલો આપણે અમુક કિંમતો લઈને તે જોઈએ કે ખરેખર તેનો આલેખ રેખા મળે છે કે નહીં આપણે x અને yની અમુક કિંમતો લઈએ પહેલા આપણે x ની અમુક કિંમતો લઈએ જેના આધારે y ની કિંમત મળશે માટે જો x ની કિંમત ઝીરો હોય તો ટુ ઈન ટુ ઝીરો,જે ઝીરો જ મળે અને ઝીરો - ૩ બરાબર - ૩ મળશે અને આ જોડને આલેખમાં દર્શાવીએ તો x અક્ષ પર શૂન્ય અને y અક્ષ પર - ૩,આમ, આ બિંદુ અહીં મળે હવે જો x કિંમત એક લઈએ તો બે ગુણ્યાં એક બરાબર બે અને બે ઓછા ત્રણ બરાબર - ૧ માટે x અક્ષ પર ૧ અને y ની દિશામાં - ૧ જે અહી નીચે મળશે, તે જ રીતે x બીજી કિંમત લઈએ બે, તેથી બે ગુણ્યાં બે બરાબર ૪ અને ચાર ઓછા ત્રણ બરાબર એક તેનું આલેખન કરીએ તો x અક્ષ પર બે અને y અક્ષની દિશામાં ઉપર તરફ જતા એક અહીં મળે છે આમ આ બિંદુ અહીં મળે તમે જોઈ શકો છો કે જો આ ત્રણ બિંદુઓને જોડીએ તો આપણને એક રેખા મળે અને જો તમે અહીં વધુ કિંમતો લઈને ગણતરી કરવા ઇચ્છતા હો તો વિડીઓ અટકાવીને તમે કરી જુઓ અને તે બધાં બિંદુઓનું પણ અહીં આલેખન કરો અને ત્યારબાદ તે બધા બિંદુઓને જોડતા આપણને એક રેખા મળશે તો હવે અહીં જે ત્રણ બિંદુઓ છે તેને જોડીને આપણે એક રેખા બનાવી શકીએ તે કંઈક આ રીતે મળે આમ આ જે રેખા છે તે y = ૨x - ૩ સમીકરણની રેખા છે હવે તમે કદાચ કહેશો કે અહીં તો ફક્ત પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ લીધી છે પણ તેવું નથી તમે કોઈપણ સંખ્યા લઇને તે જોઈ શકો કે તેની કિંમત સમીકરણમાં મુકતા બિંદુઓની જે જોડ મળશે તેના આધારે આપણને આ રેખા જ મળશે ચાલો એક ઉદાહરણ લઇએ ધારો કે આપણે x ની કિંમત લઈએ છીએ - ૦.૫ તો તેને સંગત yની કિંમત આલેખમાં જોતાં - ૪ મળે છે તેવું દેખાઈ રહ્યું છે અને સમીકરણના આધારે તે ચકાસીએ તો x ની કિંમત - ૦.૫ એટલે કે - એક દ્વિત્યાંશ પણ લખી શકાય અને તેને સંગત y ની કિંમત શોધીએ તો તે થશે બે ગુણ્યાં x ની જગ્યાએ મૂકીએ - ૧ ના છેદમાં બે ઓછા ત્રણ, બે નો બે સાથે છેદ ઉડે માટે - ૧ અને - ૩ જે થશે - ૪ અને આપણે આલેખમાં પણ જોયું કે આપણને - ૪ જ મળે છે.આમ x ની કોઈપણ કિંમત માટે y ની કિંમત જે મળે તે જોડને તમે અહીં દર્શાવો તો તે આ રેખા ઉપર જ મળશે આમ આ જે બિંદુ છે તે પણ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે આ જે બિંદુ છે તે પણ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ થાય પણ આ બિંદુ એ આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ થશે નહીં જો x બરાબર પાંચ લઈએ તો y ની કિંમત ત્રણ મળશે નહીં, x બરાબર પાંચ લેતાં y ની કિંમત આપણને ૭ મળે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીને પણ આપણે જોઈ શકીએ કે જો x ની જગ્યાએ પાંચ મૂકીએ તો પાંચ ગુણ્યા બે બરાબર દસ અને દસ ઓછા ત્રણ બરાબર સાત આમ બિંદુઓની જોડ ૫ અને ૭ એ પણ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે અને x y ની એવી દરેક કિંમતો જે આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે તે દરેક આલેખમાં આ રેખા પર મળે માટે તેને સુરેખ સમીકરણ કહેવાય સુરેખ સમીકરણને લખવા માટે આ એક જ રીત નથી આપણે તેને આ રીતે પણ લખી શકીએ કે 4x - 3y = 12 હવે જો તેના માટે પણ અમુક x અને y ની કિંમતો લઈએ અને આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરીએ તો તેના દ્વારા જ આલેખ મળશે તે પણ એક રેખા જ મળશે હવે જો x ની કિંમત ઝીરો લઈએ તો આ x વાળા પદની કિંમત શૂન્ય થઇ જશે માટે આપણી પાસે ફક્ત - ૩y બરાબર બાર બાકી રહે અને બંને બાજુ - ૩ વડે ભાગીએ તો આપણને y ની કિંમત મળે - ૪ આમ બિંદુઓની આ એક જોડ મળી જે આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ હોઈ શકે,તમે આ xy ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકીને ફરીથી ચકાસી શકો ચાર ગુણ્યા શૂન્ય બરાબર શૂન્ય અને - ૩ ને - ૪ સાથે ગુણીએ તો આપણને મળે + ૧૨ હવે જો y ની કિંમત શૂન્ય લઈએ તો આપણને મળશે ૪ x બરાબર બાર તેથી x ની કિંમત મળે ત્રણ હવે આપેલ બિંદુઓનું આલેખન કરીએ તો પહેલી જોડ છે ઝીરો, - 4 જે મળશે અહીં y અક્ષ પર અને બીજી જોડ છે ત્રણ, ઝીરો જે x અક્ષ પર અહીં મળે અને હવે આ બંને બિંદુઓને જોડતી એક રેખા મેળવીએ જે આ રીતે મળે છે આમ આ રેખા એ 4x - 3y = 12 નો આલેખ દર્શાવે છે અને આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી xy ની દરેક જોડ આ રેખા પર મળે હવે તમને કદાચ પ્રશ્ન થશે કે શું બધા જ સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ જ હોય તો ના તેવું નથી આપણે એવા પણ ઉદાહરણ જોઈએ કે જે સુરેખ સમીકરણ ન હોય માટે અહીં હું લખું છું બિનસુરેખ અથવા તો અરેખીય સમીકરણો એવા સમીકરણ જે સુરેખ ન હોય તેવું એક ઉદાહરણ છે y બરાબર x સ્કવેર,અને જો આ સમીકરણનું આલેખન કરીએ તો તે એક વક્ર સ્વરૂપે મળે, રેખા મળશે નહીં તેવું જ એક ઉદાહરણ લઇએ xy = ૧૨ આ સમીકરણનો આલેખ પર રેખા મળે નહીં તે આ રીતે પણ હોઈ શકે કે પાંચ ના છેદમાં x વત્તા y બરાબર દસ, આ સમીકરણો આલેખ પર રેખા મળશે નહીં અને જો તમે તેનું આલેખન કરવા ઇચ્છતા હો તો વીડિઓ અટકાવીને આલેખન કરી જુઓ અને પછી જુઓ કે તેમનો આ લેખ શું મળે છે? અથવા કયા પ્રકારનો મળે છે? હવે આપણી પાસે સુરેખ અને અરેખીય અથવા તો બિનસુરેખ સમીકરણોના ઉદાહરણ છે તો તેના આધારે આપણે સુરેખ સમીકરણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ એક રીતે કહીએ તો એવું સમીકરણ કે જેની x , y કિંમતો એક રીતે કહીએ તો એવું સમીકરણ કે જેનું સમાધાન કરતી x અને y ની જોડનું આલેખન કરો તો તમને રેખા મળે અને તેથી જ તેને સુરેખ સમીકરણ કહેવાય છે અને બીજી રીતે કહીએ તો સુરેખ સમીકરણ એટલે એવું સમીકરણ જેમાં કોઈ એક પદ અચળ હોય જેના પર ચલની કોઈ અસર ન થાય દાખલા તરીકે આ સમીકરણમાં ૧૨ એ અચળ પદ છે અને તેમાં ૧૨ એ ૧૨ છે તેની કિંમતમાં કોઇ ફેરફાર થશે નહીં જ્યારે આ સમીકરણમાં - ૩ એ - ૩ જ છે તેની કિંમત કંઈ પણ બદલાશે નહીં તેની કિંમતમાં કોઇ ફેરફાર થશે નહીં અથવા તો કોઈ એવુ પદ હોય જેમાં કોઈ સહગુણક સાથે કોઈ એક ચલની એક ઘાત ગુણાયેલ હોય, અહીં સહગુણક બે છે અને તેની સાથે x ની એક ઘાત ગુણાયેલ છે અહીં પણ y ની એક ઘાત છે અને તેની સાથે આગળ એક ગુણાયેલ છે આપણે તેને એક y પણ કહી શકીએ સુરેખ સમીકરણમા x કે y એકબીજા સાથે ગુણાકારના સંબંધમાં હોતા નથી અથવા તો તેની એક ઘાત કરતાં વધુ કોઈ ઘાત હોતી નથી અહીં x નો વર્ગ કે y નો ઘન કે x ની ૫ ઘાત તેવું આપેલ નથી ચલવાળું જે પદ હોય તેની મોટામાં મોટી ઘાત એક જ હોય આમ જો એવું સમીકરણ કે જેમાં કોઈ અચળ પદ હોય તેમ જ કોઈ ચલવાળું પદ હોય કે જેની સાથે કોઈ સંખ્યા ગુણાયેલી હોય અને તે ચલની ઘાત એક હોય પછી તે x હોય અથવા y હોય તો તેવા સમીકરણને સુરેખ સમીકરણ કહે છે