મુખ્ય વિષયવસ્તુ

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

Lesson 8: દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા: પૂર્ણ વર્ગ

કોઈપણ સ્વરૂપમાં દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા

Google વર્ગખંડ

કોઈપણ સ્વરૂપની જુદી જુદી દ્વિઘાત પદાવાલીના અવયવ પાડવા માટે તમે દ્વિઘાત અવયવીકરણ વિશે જે શીખ્યા તેને સાથે મુકો.

આ પ્રકરણ માટે તમને શું શીખવાની જરૂર છે

નીચે આપેલ અવયવની રીતોનો આ પ્રકરણમાં ઉપયોગ થશે:

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

આ આર્ટીકલમાં, તમે કોઈ પણ સ્વરૂપની દ્વિઘાત પદાવલિના સંપૂર્ણ અવયવ પાડવાની આ રીતોને સાથે મૂકવાનો મહાવરો કરશો.

પરિચય: અવયવની રીતોનું પુનરાવર્તન

રીત	ઉદાહરણ	ક્યારે લાગુ પડે છે?
સામાન્ય અવયવ બહાર લેતા	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	જો બહુપદીના દરેક પદમાં કોઈ સામાન્ય અવયવ હોય.
સરવાળા-ગુણાકારની પેટર્ન	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	જો બહુપદી $x^{2} + b x + c$ ‍ સ્વરૂપની હોય અને $c$ ‍ ના અવયવોનો સરવાળો $b$ ‍ જેટલો હોય.
સમૂહની રીત	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	જો બહુપદી $a x^{2} + b x + c$ ‍ સ્વરૂપની હોય અને $a c$ ‍ ના અવયવોનો સરવાળો $b$ ‍ જેટલો હોય.
પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	જો પ્રથમ અને અંતિમ પદ પૂર્ણવર્ગ હોય અને મધ્યમ પદ એ બંને પદના ગુણાકારથી બમણું હોય.
વર્ગોનો તફાવત	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	જો પદાવલિ વર્ગોનો તફાવત દર્શાવે તો.

બધાને સાથે મૂકવા

મહાવરામાં, જયારે તમને પ્રશ્ન આપવામાં આવે ત્યારે અવયવ પાડવાની કઈ રીતનો ઉપયોગ કરવો તે ભાગ્યે જ કહેવામાં આવ્યું હોય. તેથી તમે એક પ્રકારનું ચેકલિસ્ટ તૈયાર કરો જે અવયવ પાડવાની પ્રક્રિયા સરળ બનાવવા ઉપયોગઈ થાય તે મહત્વનું છે.

અહીં આવા જ એક ચેકલીસ્ટનું ઉદાહરણ છે, જેમાં દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ કઈ રીતે પાડવા તે નક્કી કરવા સવાલની શ્રેણી પૂછવામાં આવી છે.

દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા

અવયવનો કોઈ પણ પ્રશ્ન શરૂ કરતા પહેલા, પદાવલિને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવી ઉપયોગી છે.

[શા માટે?]

એકવાર આ સ્થિતિ હોય, પછી તમે નીચેના પ્રશ્નની યાદી મુજબ પ્રક્રિયા કરી શકો:

પ્રશ્ન 1: શું ત્યાં સામાન્ય અવયવ છે?
જો ના, તો પ્રશ્ન 2 પર જાઓ. જો હા, તો ગુસાઅ સામાન્ય લો અને પ્રશ્ન 2 સાથે ચાલુ રાખો.

અવયવ પાડવાની પ્રક્રિયામાં, ગુસાઅ શોધવો ખૂબ અગત્યનું છે, કારણકે તે સંખ્યાને નાની બનાવે છે. આ પેટર્નને ઓળખવી સરળ બનાવે છે!

પ્રશ્ન 2: શું ત્યાં વર્ગોનો તફાવત છે (જેમ કે $x^{2} - 16$ ‍ અથવા $25 x^{2} - 9$ ‍)?
જો વર્ગોના તફાવતની પેટર્ન મળે,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો. જો ના, તો પ્રશ્ન 3 તરફ જાઓ.

પ્રશ્ન 3: શું ત્યાં પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે (જેમ કે $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ અથવા $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
જો પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી હોય, તો

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો. જો ના, તો પ્રશ્ન 4 તરફ જાઓ.

પ્રશ્ન 4:

a.) શું ત્યાં $x^{2} + b x + c$ ‍ સ્વરૂપની પદાવલિ છે?
જો ના, તો પ્રશ્ન 5 તરફ જાઓ. જો હા, તો b) તરફ જાઓ.

b.) શું ત્યાં $c$ ‍ ના અવયવ છે જે $b$ ‍ નો સરવાળો છે?
જો હા, તો સરવાળો-ગુણાકાર પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો. અથવા, દ્વિઘાત પદાવલિના હજુ આગળ અવયવ પાડી શકાય નહિ.

પ્રશ્ન 5: શું ત્યાં $a c$ ‍ ના અવયવ છે જે $b$ ‍ નો સરવાળો છે?
જો તમે આ પહેલા કર્યું હોય, તો દ્વિઘાત પદાવલિ

a x^{2} + b x + c

સ્વરૂપમાં હોવી જ જોઈએ, જ્યાં

a \neq 1

. જો ત્યાં

a c

ના અવયવ હોય, જેનો સરવાળો

b

થાય, તો જૂથની રીતનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો. જો ના, તો દ્વિઘાત પદાવલિના હજુ આગળ અવયવ પાડી શકાય નહિ.

આ ચેક્લિસ્ટને અનુસરવું એ ખાતરી આપવામાં મદદ કરશે કે તમે પદાવલિના સંપૂર્ણ અવયવ પાડ્યા છે!

[સંપૂર્ણ અવયવ પાડવાનો અર્થ શું છે?]

આ મનમાં રાખીને, કેટલાક ઉદાહરણ માટે પ્રયત્ન કરીએ.

ઉદાહરણ 1: $5 x^{2} - 80$ ‍ ના અવયવ પાડો

નોંધો કે સમીકરણ પહેલેથી જ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે. આપણે ચેકલીસ્ટ અનુસાર પ્રક્રિયા કરી શકીએ.

પ્રશ્ન 1: શું ત્યાં સામાન્ય અવયવ મળે?
હા.

5 x^{2}

અને

80

નો ગુ.સા.અ

5

મળે છે. તેના અવયવ નીચે પ્રમાણે આપી શકાય:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

પ્રશ્ન 2: શું ત્યાં વર્ગોનો તફાવત છે?
હા.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. નીચે મુજબ બહુપદીના અવયવ પાડવાનું ચાલુ રાખવા વર્ગોના તફાવતની પેટર્નનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

આ પદાવલિમાં ત્યાં વધુ દ્વિઘાત નથી. આપણે બહુપદીના સંપૂર્ણ અવયવ પાડી નાખ્યા.

અંતે,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

ઉદાહરણ 2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ ના અવયવ પાડો

દ્વિઘાત પદાવલિ ફરીથી પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે. ચાલો ચેકલિસ્ટ થી શરુ કરીએ!

પ્રશ્ન 1: શું ત્યાં કોઈ સામાન્ય અવયવ મળે છે?
ના. પદો

4 x^{2}

12 x

અને

9

માં સામાન્ય અવયવ નથી. આગળનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 2: શું ત્યાં વર્ગોનો તફાવત મળે છે?
ના. ત્યાં

x

-પદ મળે છે આથી તે વર્ગોનો તફાવત થશે નહિ.આગળનો પ્રશ્ન

પ્રશ્ન 3: શું ત્યાં પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે?
હા. પ્રથમ પદ પૂર્ણવર્ગ છે કારણકે

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, અને છેલ્લું પદ પૂર્ણવર્ગ છે કારણકે

9 = (3)^{2}

. પણ, મધ્યમ પદ જેનો વગ કરવામાં આવ્યો છે તે સંખ્યાના ગુણાકારનું બમણું છે

12 x = 2 (2 x) (3)

દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા આપણે પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

અંતે,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

ઉદાહરણ 3: $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ ના અવયવ પાડો

આ દ્વિઘાત પદાવલિ અત્યારે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી. આપણે તેને

3 x^{2} + 12 x - 63

રીતે લખી શકીએ અને પછી ચેકલિસ્ટ માંથી લઇ તપાસીએ.

પ્રશ્ન 1: શું ત્યાં સામાન્ય અવયવ મળે છે?
હા.

3 x^{2}

12 x

અને

63

નો ગુ.સા.અ

3

મળે છે. તેને નીચે પ્રમાણે ઉકેલી શકીએ:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

પ્રશ્ન 2: વર્ગોનો તફાવત છે?
ના. પછીનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 3: પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે?
ના. ધ્યાન આપો કે

21

એ પૂર્ણવર્ગ નથી, તેથી આ પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી હોઈ શકે નહિ. પછીનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 4a: શું $x^{2} + b x + c$ ‍ આ સ્વરૂપમાં કોઈ પદાવલિ છે?
હા. પરિણામી દ્વિઘાત પદાવલિ,

x^{2} + 4 x - 21

સ્વરૂપમાં મળે.

પ્રશ્ન 4b: શું $c$ ‍ ના અવયવ મળે જેનો સરવાળો $b$ ‍ મળે?
હા. ખાસ કરીને,

- 21

ના અવયવ મળે જેમનો સરવાળો

4

થાય.

7 \cdot (- 3) = - 21

અને

7 + (- 3) = 4

, તેથી, આપણે નીચે મુજબ અવયવ પાડી શકીએ:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

અંતે,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

ઉદાહરણ 4: $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ ના અવયવ પાડો

નોંધો કે દ્વિઘાત સમીકરણ અગાઉથી જ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં છે.

પ્રશ્ન 1: શું ત્યાં સામાન્ય અવયવ મળે છે?
હા.

4 x^{2}

18 x

અને

10

નો ગુ.સા.અ

2

મળે છે. તેને નીચે પ્રમાણે ઉકેલી શકીએ:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

પ્રશ્ન 2: વર્ગોનો તફાવત છે?
ના. પછીનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 3: પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે?
ના. પછીનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 4a: શું ત્યાં $x^{2} + b x + c$ ‍ સ્વરૂપ ધરાવતી પદાવલિ છે?
ના. દ્વિઘાત અવયવનો અગ્ર સહગુણક

2

મળે છે. આગળનો પ્રશ્ન.

પ્રશ્ન 5: અહીં $a c$ ‍ ના એવા કોઈ અવયવ મળે જેમનો સરવાળો કરતા $b$ ‍ મળે?
પરિણામી દ્વિઘાત પદાવલિ

2 x^{2} + 9 x - 5

મળે છે, અને તેથી આપણને

2 \cdot (- 5) = - 10

ના અવયવ પાડવાના છે જેમનો સરવાળો

9

થાય.

(- 1) \cdot 10 = - 10

અને

(- 1) + 10 = 9

, તેથી, જવાબ છે હા.

આપણે હવે મધ્યમ પદને

- 1 x + 10 x

તરીકે લખી શકીએ અને અવયવ પાડવા સમૂહ બનાવવાની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & મધ્યમ પદને ચૂંટુ પાડીએ \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & પદોનો સમૂહ બનાવો \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & ગુસાઅને ને સામાન્ય લો \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & 2 x - 1 ને સામાન્ય લો \end{aligned}

તમારી સમજ ચકાસો

1) $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

2) $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

3) $72 x^{2} - 2$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

4) $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

5) $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

7) $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

7) $3 x^{2} + 27$ ‍ ના સંપૂર્ણ અવયવ પાડો.

[મને મદદની જરૂર છે!]

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

આ પ્રકરણ માટે તમને શું શીખવાની જરૂર છે

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

પરિચય: અવયવની રીતોનું પુનરાવર્તન

બધાને સાથે મૂકવા

દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા

ઉદાહરણ 1: 5x2−80‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 2: 4x2+12x+9‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 3: 12x−63+3x2‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 4: 4x2+18x−10‍ ના અવયવ પાડો

તમારી સમજ ચકાસો

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

ઉદાહરણ 1: $5 x^{2} - 80$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 3: $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 4: $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ ના અવયવ પાડો