If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

Lesson 8: દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા: પૂર્ણ વર્ગ
ગણિત
બીજગણિતની પાયાની બાબતો
દ્વિઘાત સમીકરણ અને બહુપદીઓ
દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા: પૂર્ણ વર્ગ
© 2023 Khan Academyઉપયોગના નિયમોગોપનીયતા નીતિCookie Notice

દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા: પૂર્ણ વર્ગ

Google વર્ગખંડ
"પૂર્ણવર્ગ" સ્વરૂપ ધરાવતા દ્વિઘાતના અવયવ કઈ રીતે પાડવા તે શીખો. ઉદાહરણ તરીકે, x²+6x+9 ને (x+3)² તરીકે લખો.
બહુપદીના અવયવ પાડવા એટલે કે તેને બે કે તેથી વધુ બહુપદીઓના ગુણાકાર તરીકે લખવું. બહુપદીઓના ગુણાકારની તે ઉંધી પ્રક્રિયા છે.
આ આર્ટિકલમાં, ખાસ પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીના અવયવ કઈ રીતે પાડવા તે શીખીશું। તે દ્વિપદીના વર્ગની વ્યસ્ત ક્રિયા છે.દ્વિપદીનો વર્ગ તેથી શરુ કરતા પહેલા બરાબર જાણી લેવું જરૂરી છે.

પરિચય: પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીના અવયવ પાડવા

કોઇપણ દ્વિપદીનુ વિસ્તરણ કરવા, આપણે નીચેનામાંથી કોઇપણ પેટર્નનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (a−b)2=a2−2ab+b2
ધ્યાન આપો કે આ પેટર્નમાં, a અને b કોઈપણ બીજગણિતિય પદાવલિ હોઈ શકે. દાખલા તરીકે, ધારો કે આપણે (x+5)2 નું વિસ્તરણ કરવા માંગીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, a=x અને b=5, અને તેથી આપણને મળે:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને (x+5)2 નું વિસ્તરણ કરીને તમે ચકાસી શકો છો.
વિસ્તરણની આ રીતની ઊંધી ક્રિયા અવયવીકરણ છે. જો આપણે સમીકરણ ઊંધા ક્રમમાં લખીએ તો, આપણી પાસે a2±2ab+b2 સ્વરૂપની બહુપદીના અવયવ પાડવા માટે પેટર્ન હશે.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a2−2ab+b2 =(a−b)2
આપણે x2+10x+25 ના અવયવ પાડવાની પહેલી પેટર્નનો ઉપયોગ કરી શકીએ. અહીં આપણી પાસે a=x and b=5 છે.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
આ પ્રકારની પદાવલિઓને પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી કહેવામાં આવે છે. નામ દર્શાવે છે કે આ પ્રકારની ત્રણ પદ ધરાવતી બહુપદીને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવી શકાય!
આપણે અમુક એવા ઉદાહરણ જોઈએ જેમાં આપણે આ પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીના અવયવ પાડીએ.

ઉદાહરણ 1: x2+8x+16 ના અવયવ પાડો

નોંધો કે બંને પ્રથમ અને છેલ્લું પદ પૂર્ણ વર્ગ છે: x2=(x)2 અને 16=(4)2. ઉપરાંત, નોંધો કે મધ્યમ પદ જે સંખ્યાનો વર્ગ કરવામાં આવ્યો છે તેના ગુણાકારનો બમણો છે: 2(x)(4)=8x.
આ કહે છે કે બહુપદી ત્રિપદીનો પૂર્ણ વર્ગ છે, અને તો આપણે નીચે દર્શાવેલ અવયવની પેટર્નનો ઉપયોગ કરીએ.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
આપણા કિસ્સામાં, a=x અને b=4. આપણે આપણી બહુપદીને નીચે તરીકે અવયવ પાડીએ:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
આપણે આપણા કામને (x+4)2 ને વિસ્તૃત કરીને તપાસી શકીએ છીએ:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

તમારી સમજ ચકાસો

1) અવયવ પાડો x2+6x+9.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

2) અવયવ પાડો x2−6x+9.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

3) અવયવ પાડો x2+14x+49.

ઉદાહરણ 2: 4x2+12x+9 ના અવયવ પાડો

પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદીમાં અગ્ર સહગુણક 1 હોય તેવું જરૂરી નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, 4x2+12x+9 માં, નોંધો કે બંને પ્રથમ અને છેલ્લું પદ પૂર્ણ વર્ગ છે: 4x2=(2x)2 અને 9=(3)2. ઉપરાંત, નોંધો કે મધ્યમ પદ જે સંખ્યાનો વર્ગ કરવામાં આવ્યો છે તેના ગુણાકારનો બમણો છે: 2(2x)(3)=20x.
કારણ કે તે ઉપરની શરતને સંતોષે છે, 4x2+12x+9 પણ પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે. આપણે ફરીથી નીચેની અવયવની પેટર્ન લાગુ પાડી શકીએ છીએ.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
આ કિસ્સામાં, a=2x અને b=3 છે. તેથી, આપણી બહુપદીના અવયવ નીચે મુજબ છે:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
આપણે આપણા કામને (2x+3)2 ને વિસ્તૃત કરીને તપાસી શકીએ છીએ.

તમારી સમજ ચકાસો

2) અવયવ પાડો 9x2+30x+25.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

2) અવયવ પાડો 4x2−20x+25.

કોયડો

6*) અવયવ પાડો x4+2x2+1.

7) અવયવ પાડો 9x2+24xy+16y2.

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન
No posts yet.
શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.