પૂર્ણવર્ગનું અવયવ પાડતા

પચ્ચીસ એક્ષ વર્ગ ઓછા ત્રીસ એક્ષ વતા નવના અવયવ પાડવાનું કહ્યું છે અને આજે ત્રીપદી છે તેમાં એક્ષ વર્ગ વાળા પદનો સહગુણક એક નથી તેમજ ત્રણેય પદમાંથી કોઈ સામાન્ય અવયવ પણ નીકળતું નથી પચ્ચીસ અને ત્રીસ એ બંને પાંચ વડે વિભાજ્ય છે પણ નવને પાંચ વડે ભાગી શકાય નહિ તેથી આપણે સમૂહ બનાવીને તેના અવયવ પાડી શકીએ પણ જો ત્રીપદીને ધ્યાનથી જોઈએ તો જણાય છે કે આજે પહેલું પદ છે તેમાં પચ્ચીસ છે જે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે માટે પચ્ચીસ એક્ષ વર્ગ આખું પૂર્ણવર્ગ પદ છે જેનું વર્ગમૂળ પ્લસ પાંચ એક્ષ અથવા માઈનસ પાંચ એક્ષ મળે તેજ રીતે આજે અંતિમ પદ છે નવ તેનું પણ વર્ગમૂળ મળીશકે તે પ્લસ ત્રણ અથવા માઈનસ ત્રણ મળે આમ કદાચ આએક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી હોઈ શકે અને હવે આપણે એ જોઈએ કે એક્ષનો સહગુણક એક ન હોય તેવી દ્વિપદી એટલેકે એ એક્ષ પ્લસ બીનો વર્ગ કરીએ તો આપણને શું મળે તેનું વિસ્તરણ કરતા તેનું વિસ્તરણ કરતા કેવા પ્રકારની ત્રિપદી મળે હવે આ દ્વિપદીને આ રીતે પણ લખી શકી કે એ એક્ષ પ્લસ બી ઇન્ટુ એ એક્ષ પ્લસ બી આમ તેનું વિસ્તરણ કરતા એ એક્ષ ઇન્ટુ એ એક્ષ જે મળે એ સ્ક્વેર ઇન્ટુ એક્ષ સ્ક્વેર ત્યારબાદ એ એક્ષ ઇન્ટુ બી જે થશે પ્લસ એ બી એક્ષ જે મળે પ્લસ એબી એક્ષ અને હવે બી ઇન્ટુ એ એક્ષ જેને પણ આ રીતે લખી શકાય કે પ્લસ એ બી એક્ષ ત્યારબાદ બી ઇન્ટુ બી જે થશે પ્લસ બી સ્ક્વેર તેથી તેને આરીતે પણ લખી શકાય કે એ સ્ક્વેર એક્ષ સ્ક્વેર આબંને સજાતીય પદો છે માટે બંનેનો સરવાળો કરતા પ્લસ ટુ એ બી એક્ષ અને અંતિમ પદ પ્લસ બી સ્ક્વેર આમ કોઇપણ દ્વિપદીનો વર્ગ કરતા આપણને આ પ્રકારની ત્રિપદી મળે અને હવે આપણી પાસે જે પ્રશ્નમાં ત્રિપદી છે તેને હું અહી નીચેજ લખું છું કે પચ્ચીસ એક્ષનો વર્ગ માઈનસ ત્રીસ એક્ષ પ્લસ નવ અને જોતે પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી હોય તો આ એ સ્ક્વેર છે તેને બરાબર પચ્ચીસ થશે અને આ બી સ્ક્વેર એ આ નવને બરાબર હોય તેથી એ બરાબર પ્લસ ઓર માઈનસ પાંચ હોય અને બી બરાબર પ્લસ ઓર માઈનસ ત્રણ હોય અને તેજ પ્રમાણે અને તે મુજબ મધ્યમ પદ છે કે નહિ તે જોઈએ એટલેકે જે આ ટુ એ બી છે તે આ માઈનસ ત્રીસને બરાબર હોવા જોઈએ હું તેઅહી નીચે લખું છું કે ટુ એ બી બરાબર માઈનસ ત્રીસ અને જો બંનેને બે વડે ભાગીએ તો આપણને મળે એ બી બરાબર માઈનસ પંદર એટલેકે એ અને બીનો ગુણાકાર માઈનસ પંદર જેટલો છે જેનો અર્થ છે કે બંનેમાંથી એક સંખ્યા ધન હશે અને બીજી સંખ્યા ઋણ હશે તેમજ પાંચ અને આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પાંચ અને ત્રણનો ગુણાકાર પંદરજ થાય જેમાંથી એક સંખ્યા ધન લેવાની છે અને એક સંખ્યા ઋણ લેવાની છે કારણ કે પંદર છે એ ઋણ છે તેથી એ બરાબર પ્લસ પાંચ લઈએ અને બી બરાબર માઈનસ ત્રણ લઈએ અથવા એ બરાબર માઈનસ પાંચ લઈએ અને બી બરાબર પ્લસ ત્રણ લઈએ બંને રીતે ગુણાકાર માઈનસ પંદર મળે છે માટે જો આપેલ બહુપદીના અવયવ પાડીએ તો એ બરાબર પાંચ લઈએ અને બી બરાબર માઈનસ ત્રણ લઈએ અને તે રીતે આપણે લખી શકીએ કે પાંચ એક્ષ માઈનસ ત્રણનો વર્ગ એની કિંમત પ્લસ પાંચ અને બીની કિંમત માઈનસ ત્રણ અથવા બીજી રીતે લખવું હોય તો એ બરાબર માઈનસ પાંચ અને બી બરાબર પ્લસ ત્રણ લઈએ આમ આપણને મળે માઈનસ પાંચ એક્ષ પ્લસ ત્રણ અને આખા પદનો વર્ગ આમ એક વખત આ કિંમતો લઈને અવયવો મેળવ્યા અને બીજી વખત આ કિંમતો લીધી છે તેથી કહી શકાય કે આ બંને રીતે આપેલ ત્રિપદીના અવયવ મળે પણ એવું કઈ રીતે શક્ય છે કે તે બંનેનો ગુણાકાર સરખોજ મળે અને તેનું કારણ એ છે કે જો આ બંને માંથી આપણે માઈનસ એક સામાન્ય લઈએ તો આપણને મળે પાંચ એક્ષ માઈનસ ત્રણ અને આઆખા પદનો વર્ગ જેને આરીતે પણ લખી શકાય કે માઈનસ એકનો વર્ગ ગુણ્યા પાંચ એક્ષ ઓછા ત્રણનો વર્ગ અને આજે માઈનસ એકનો વર્ગ છે તેની કિંમત એકજ મળે માટે આ બંને ઉકેલ સમાન મળે છે બંનેમાં હવે પાંચ એક્ષ માઈનસ ત્રણનો વર્ગ છે આમ આ બંને સાચા જવાબ છે