મુખ્ય વિષયવસ્તુ

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

Lesson 4: સામાન્ય અવયવ લઈને બહુપદીના અવયવ પાડવા

સામાન્ય અવયવ કાઢી બહુપદીના અવયવ પાડતા

બહુપદીમાંથી સામાન્ય એકપદી અવયવ કઈ રીતે કાઢવો તે શીખો. ઉદાહ્હરણ તરીકે, 6x²+10x as 2x(3x+5) ના અવયવ પાડો.

આ લેશન પહેલાં તમારે શેની સાથે પરિચિત હોવાની જરૂર છે

બે કે તેથી વધુ બહુપદીઓનો ગુસાઅ (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) એ તેમના બધા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોનો ગુણાકાર છે. દાખલા તરીકે,

6 x

અને

4 x^{2}

નો ગુસાઅ

2 x

છે.

જો આ બાબત તમારા માટે નવી હોય તો, તમે આ આર્ટિકલ ચકાસી શકો છો એકપદીઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ.

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

આ પ્રકરણમાં, તમે શીખશો કે બહુપદીમાંથી સામાન્ય અવયવ કઈ રીતે મેળવવા.

વિભાજનનો ગુણધર્મ: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

સામાન્ય અવયવ કઈ રીતે મેળવવા તે સમજવા, આપણે વિભાજનનો ગુણધર્મ સમજવો જોઈએ.

દાખલા તરીકે, નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે

3 x^{2}

અને

4 x + 3

નો ગુણાકાર શોધવા આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

જુઓ કે કઈ રીતે દ્વિપદીનું દરેક પદ એ એક સામાન્ય અવયવ

3 x^{2}

સાથે ગુણાયેલ હતું.

તેમ છતાં, વિભાજનનો ગુણધર્મ એક સમતા હોવાને લીધે, આ પ્રક્રિયાની વિરુદ્ધ પણ યોગ્ય છે!

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

જો આપણે

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

થી શરુ કરીએ, તો આપણે

3 x^{2}

સામાન્ય અવયવ લઈને

3 x^{2} (4 x + 3)

મેળવવા વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

પરિણામી પદાવલિ અવયવ સ્વરૂપ માં છે કારણ કે તે બે બહુપદીઓના ગુણાકાર સ્વરૂપે લખેલ છે, જયારે મૂળ પદાવલિ એ બે પદનો સરવાળો છે.

તમારી સમજ ચકાસો

પ્રશ્ન 1

$2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ ને અવયવ સ્વરૂપે લખો.

ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુસાઅ) ને સામાન્ય લેવું

બહુપદીનો ગુસાઅ લેવા, આપણે નીચે મુજબ કરીએ:

બહુપદીના દરેક પદનો ગુસાઅ મેળવો.
દરેક પદને ગુસાઅ અને અન્ય અવયવના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો.
ગુસાઅ લેવા વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

ચાલો

2 x^{3} - 6 x^{2}

માંથી ગુસાઅ ને સામાન્ય લઈએ.

Step 1: ગુસાઅ શોધો

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

તેથી

2 x^{3} - 6 x^{2}

નો ગુસાઅ

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

છે.

સ્ટેપ 2: દરેક પદને $2 x^{2}$ ‍ અને બીજા અવયવના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

[મને એ જોવુ ગમશે કે બીજા અવયવ કઇ રીતે શોધવા.]

તેથી બહુપદીને

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

તરીકે લખી શકાય.

Step 3: ગુસાઅ શોધો

હવે આપણે

2 x^{2}

સામાન્ય લેવા વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

આપણું પરિણામ ચકાસવું

બહુપદીનો

2 x^{2}

સાથે ગુણાકાર કરીને આપણે આપણા અવયવ ચકાસી શકીએ

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

તે મૂળ બહુપદીને સમાન જ છે, તેથી આપણા અવયવ સાચા છે!

તમારી સમજ ચકાસો

પ્રશ્ન 2

$12 x^{2} + 18 x$ ‍ માંથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવને સામાન્ય લો.

પ્રશ્ન 3

નીચેની બહુપદીમાંથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવને સામાન્ય લો.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

પ્રશ્ન 4

નીચેની બહુપદીમાંથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવને સામાન્ય લો.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

શું આપણે વધુ કાર્યક્ષમ બની શકીએ?

જો તમે ગુસાઅ લેવાની પ્રક્રિયા સાથે અનુકૂળ છો, તો તમે વધુ ઝડપી રીતનો ઉપયોગ કરી શકો:

આપણે ગુસાઅ વિશે જાણી લઈએ તો, અવયવ પડેલ સ્વરૂપ એ ગુસાઅ અને ગુસાઅ વડે ભાગેલ મૂળ બહુપદીના પદોના સરવાળા સાથેનો ગુણાકાર જ છે.

જુઓ, દાખલા તરીકે,

5 x^{2} + 10 x

ના અવયવ પાડવા આ ઝડપી રીતનો કઈ રીતે ઉપયોગ કરીએ, કે જેનો ગુસાઅ

5 x

છે:

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

દ્વિપદીને સામાન્ય લેવું

કોઈ બહુપદીનો અવયવ એકપદી જ હોય તે જરૂરી નથી.

દાખલા તરીકે, બહુપદી

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

ને ધ્યાનમાં રાખો.

ધ્યાન આપો કે દ્વિપદી

2 x - 1

એ બંને પદમાં સામાન્ય છે. વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે તે સામાન્ય લઇ શકીએ:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

[હું હજુ મૂંઝવણમાં છું. બીજી કોઈ સમજૂતી છે?]

[2x-1 કૌંસમાં શા માટે છે?]

તમારી સમજ ચકાસો

પ્રશ્ન 5

નીચેની બહુપદીમાંથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવને સામાન્ય લો.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

વિવિધ પ્રકારના અવયવ

એવું લાગે છે કે જુદી જુદી ઘણી પ્રક્રિયાઓ માટે આપણે "અવયવ" શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો છે:

આપણે એકપદીના અવયવ બીજી એકપદીઓના ગુણાકાર તરીકે લખીને પાડ્યા છે. દાખલા તરીકે, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ગુસાઅ લીધો છે. દાખલા તરીકે, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
આપણે દ્વિપદી અવયવ સામાન્ય લીધો જેથી એવી પદાવલિ મળી જે બે દ્વિપદીનો ગુણાકાર હોય. દાખલા તરીકે:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

આપણે ઘણી જુદી જુદી રીતોનો ઉપયોગ કર્યો છે, દર વખતે આપણે બહુપદીને બે કે વધુ અવયવના ગુણાકાર તરીકે લખીએ છીએ. તેથી ત્રણેય ઉદાહરણમાં, આપણે ખરેખર બહુપદીના અવયવ પાડયા.

કોયડો

પ્રશ્ન 6

નીચેની બહુપદીમાંથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવને સામાન્ય લો.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

પ્રશ્ન 7

14 x^{4} + 6 x^{2}

ચોરસ મીટર ક્ષેત્રફળ ધરાવતાં એક મોટા લંબચોરસને

14 x^{4}

અને

6 x^{2}

ચોરસ મીટર ક્ષેત્રફળ ધરાવતાં બે નાના લંબચોરસમાં વિભાજિત કરેલ છે.

લંબચોરસની પહોળાઈ (મીટરમાં) એ ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ

14 x^{4}

અને

6 x^{2}

ને બરાબર છે.

મોટા લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ શું છે?

પહોળાઈ =

મીટર

લંબાઈ =

મીટર

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

આ લેશન પહેલાં તમારે શેની સાથે પરિચિત હોવાની જરૂર છે

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

વિભાજનનો ગુણધર્મ: a(b+c)=ab+ac‍

તમારી સમજ ચકાસો

ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુસાઅ) ને સામાન્ય લેવું

તમારી સમજ ચકાસો

શું આપણે વધુ કાર્યક્ષમ બની શકીએ?

દ્વિપદીને સામાન્ય લેવું

તમારી સમજ ચકાસો

વિવિધ પ્રકારના અવયવ

કોયડો

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

વિભાજનનો ગુણધર્મ: $a (b + c) = a b + a c$ ‍