If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

દ્વિઘાત પદાવલીના અવયવ: અગ્ર સહગુણક = 1

બે સુરેખ દ્વિપદીના ગુણાકાર તરીકે દ્વિઘાત પદાવલીના અવયવ કઈ રીતે પાડી શકાય તે શીખો. ઉદાહરણ તરીકે, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

આ પ્રકરણ માટે તમને શું શીખવાની જરૂર છે

બહુપદીના ભાગાકાર કરવામાં બે અથવા બે કરતા વધારે બહુપદીનો સમાવેશ થાય છે. તે બહુપદીના ગુણાકારની ક્રિયાને બદલે છે.આના પર વધુ માટે,આપણા પાછળના આર્ટિકલસામાન્ય અવયવ લેવા ને જુઓ.

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

આ પ્રકરણમાં, તમે શીખશો કે બે બહુપદીના ગુણાકાર તરીકે બહુપદી x2+bx+c ના અવયવ શોધી શકાય.

પુનરાવર્તન: દ્વિપદીનો ગુણાકાર

ચાલો પદાવલિ (x+2)(x+4) ને ધ્યાનમાં લઈએ.
ઘણી બધી વખત વિભાજનના ગુર્ણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર શોધીએ.
આથી આપણને (x+2)(x+4)=x2+6x+8 મળે.
આ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ કે x+2 અને x+4x2+6x+8 ના અવયવ છે, પરંતુ આપણે તેને અગાઉ ઉકેલ્યા નથી તો કઈ રીતે ઉકેલી શકીએ?

ત્રિપદીના અવયવ પાડવા

ત્રિપદીના અવયવ શોધવા માટે આપણે દ્વિપદીના ગુણાકારની ક્રિયાની રિવર્સ કરી શકીએ (જે 3 પદો ધરાવતી બહુપદી છે).
બીજા શબ્દોમાં, જો આપણે બહુપદી x2+6x+8 લઇ શરુ કરીએ, તો આપણે બે દ્વિપદી ગુણાકાર તરીકે લખવા માટે અવયવ પાડીએ, (x+2)(x+4).
આ કઈ રીતે થયું તે જોવા માટે અમુક દાખલાને લઈએ.

ઉદાહરણ 1: x2+5x+6 ના અવયવ પાડીએ

x2+5x+6 ના અવયવ પાડવા માટે, આપણને બે સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર કરતા 6 (અચળ સંખ્યા) અને સરવાળો કરતા 5 (x-નો સહગુણક) મળે.
આ બે સંખ્યાઓ 2 અને 3 છે જ્યાં 23=6 અને 2+3=5.
બે દ્વિપદીના અવયવ શોધવા માટે આપણે દરેક સંખ્યાઓને x માં ઉમેરીએ : (x+2) અને (x+3).
અંતમાં, આપણે ત્રિપદીના નીચે પ્રમાણે અવયવ શોધ્યા:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
અવયવિકરણ ચકાસવા માટે, આપણે બે દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરી શકીએ:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
x2+5x+6 મેળવવા માટે x+2 અને x+3 નો ગુણાકાર કરીએ. આપણું અવયવિકરણ સાચું છે!

તમારી સમજ ચકાસો

1) અવયવ પાડો x2+7x+10.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

2) અવયવ પાડો x2+9x+20.

ચાલો થોડા વધુ દાખલા ઉકેલીએ અને જોઈએ કે તેના પરથી શું શીખી શકીએ.

ઉદાહરણ 2: x25x+6 ના અવયવ પાડીએ

x25x+6 ના અવયવ પાડવા માટે, આપણે બે સંખ્યા શોધીએ જેનો ગુણાકાર કરતા 6 અને સરવાળો 5 મળે.
આ બે સંખ્યાઓ 2 અને 3 છે જ્યાં (2)(3)=6 અને (2)+(3)=5.
બે દ્વિપદીના અવયવ શોધવા માટે આપણે દરેક સંખ્યાઓને x માં ઉમેરીએ : (x+(2)) અને (x+(3)).
અવયવિકરણ નીચે દર્શાવેલ છે:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
અવયવ પાડવાની રીત: નોંધો x25x+6 ના અવયવ શોધવા માટેની બંને સંખ્યા (2 અને 3) છે. કારણ કે તેમનો ગુણાકાર ધન (6) અને તેમનો સરવાળો ઋણ (5) છે.
સામાન્ય રીતે, જયારે x2+bx+c ના અવયવ શોધીએ, જો c ધન અને b ઋણ હોય, તો બંને અવયવો ઋણ મળે!

ઉદાહરણ 3: x2x6 ના અવયવ પાડીએ

આપણે x2x6 ને x21x6 લખી શકીએ.
x21x6 ના અવયવ પાડવા માટે, આપણે બે સંખ્યા શોધીએ જેનો ગુણાકાર કરતા 6 અને સરવાળો 1 મળે.
આ બે સંખ્યાઓ 2 અને 3 છે જ્યાં (2)(3)=6 અને 2+(3)=1.
બે દ્વિપદીના અવયવ શોધવા માટે આપણે દરેક સંખ્યાઓને x માં ઉમેરીએ : (x+2) અને (x+(3)).
અવયવિકરણ નીચે દર્શાવેલ છે:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
અવયવ પાડવાની રીત: નોંધો કે x2x6 ના અવયવ શોધવા માટે, આપણને એક ધન સંખ્યા (2) અને એક ઋણ સંખ્યા (3) જોઈએ. આ થવાનું કારણ છે કે તેમનો ગુણાકાર (6) થવો જોઈએ.
સામાન્ય રીતે, જયારે x2+bx+c ના અવયવ શોધીએ, જો c ઋણ હોય તો એક અવયવ ધન અને એક અવયવ ઋણ મળે.

સારાંશ

સામાન્ય રીતે, x2+bx+c સ્વરૂપની ત્રિપદીના અવયવ શોધવા માટે, આપણને c ના અવયવ શોધવાની જરૂર છે જેમનો સરવાળો b થાય.
કદાચ તે બે સંખ્યાઓ m અને n છે આથી c=mn અને b=m+n હોય, તો x2+bx+c=(x+m)(x+n) થાય.

તમારી સમજ ચકાસો

3) અવયવ પાડો x28x9.

4) અવયવ પાડો x210x+24.

5) અવયવ પાડો x2+7x30.

આ શા માટે કામ કરે છે?

આ અવયવિકરણની રીત કઈ રીતે ઉકેલે છે તે સમજવા માટે, ચાલો મૂળ સમીકરણને ફરીથી લઈએ જેમાં આપણે x2+5x+6 as (x+2)(x+3) ના અવયવ શોધ્યા હતા.
જો આપણે ફરીથી બે દ્વિપદીના અવયવનો ગુણાકાર કરીએ, આપણે જોઈ શકીએ 2 અને 3 વડે x2+5x+6 સ્વરૂપ મળે છે.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
આપણે જોઈ શકીએ કે x-પદના સહગુણક એ 2 અને 3 નો સરવાળો છે, અને અચળ પદ એ 2 અને 3 નો ગુણાકાર છે.

સરવાળા-ગુણાકારની પેટર્ન

ચાલો આપણે (x+m)(x+n) માટે (x+2)(x+3) શોધ્યું તેનું પુનરાવર્તન કરીએ:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
આ ક્રિયા ટૂંકમાં લખીએ, તો આપણને નીચેનું સમીકરણ મળે:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
આને સરવાળા-ગુણાકારની પેટર્ન કહે છે.
તે દર્શાવે છે કે શા માટે, એકવાર આપણે ત્રિપદી x2+bx+c ને x2+(m+n)x+mn (બે સંખ્યાઓ m અને n શોધીએ તેથી b=m+n અને c=mn) સ્વરૂપમાં લખીએ, તો આપણને તે ત્રિપદીના અવયવ (x+m)(x+n) મળે.

પ્રતિબિંબ પ્રશ્ન

6) શું અવયવિકરણની આ રીત વડે 2x2+3x+1 ના અવયવ શોધી શકીએ?
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

આપણે અવયવની આ રીતનો ઉપયોગ ક્યારે કરી શકીએ?

સામાન્ય રીતે, જયારે આપણે અમુક પૂર્ણાંકો m અને n માટે ત્રિપદીને (x+m)(x+n) સ્વરૂપે લખીએ તો સરવાળા-ગુણાકારની પેટર્નનો ઉપયોગ થાય છે.
તેનો અર્થ થાય કે જો આ રીતે માત્ર ધ્યાનમાં લઈએ તો ત્રિપદીનું અગ્ર પદ x2 હોય છે (અને ન પણ હોય, ઉદાહરણ તરીકે, 2x2). કારણ કે (x+m) અને (x+n) નો ગુણાકાર હંમેશા અગ્ર પદ x2 ધરાવતી બહુપદી હોય.
જો કે, બધી અગ્ર પદ x2 ધરાવતી ત્રિપદીના અવયવ શોધી શકાય નહિ. ઉદાહરણ તરીકે, x2+2x+2 ના અવયવ પડી શકાય નહિ કારણ કે આપણને બે પૂર્ણાંકો મળે જેમનો સરવાળો 2 અને ગુણાકાર 2 થાય.
ભવિષ્યના પ્રકરણમાં આપણે વધુ પ્રકારની પદાવલીના અવયવ પાડતા શીખીશું.

કોયડો

7) અવયવ પાડો x2+5xy+6y2.

8*) અવયવ પાડો x45x2+6.