મુખ્ય વિષયવસ્તુ

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

Lesson 6: દ્વિઘાતના અવયવો પાડવા 2

જૂથ દ્વારા અવયવ પાડતા

અવયવીકરણની રીતને "જૂથ બનાવવું" કહેવાય તેના વિશે શીખો. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 2x²+8x+3x+12 ને (2x+3)(x+4) આ તરીકે લખવા માટે જુથનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

આ પ્રકરણ માટે તમને શું શીખવાની જરૂર છે

બહુપદીના અવયવ પાડવા એટલે કે તેને બે કે તેથી વધુ બહુપદીઓના ગુણાકાર તરીકે લખવું. બહુપદીઓના ગુણાકારની તે ઉંધી પ્રક્રિયા છે.

આપણે અવયવના ઘણા ઉદાહરણ જોયા છે. તેમ છતાં, આ આર્ટિકલ માટે, તમને વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય અવયવ લેવા ની ખબર હોવી જોઈએ. દાખલા તરીકે,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

આ આર્ટિકલમાં, આપણે અવયવ પાડવાની એક રીત સમૂહ બનાવવા નો કઈ રીતે ઉપયોગ કરવો તે શીખીશું.

ઉદાહરણ 1: $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍ ના અવયવ પાડો

સૌ પ્રથમ, ધ્યાન આપો કે

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

ના દરેક પદમાં કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી. તેમ છતાં, જો આપણે પહેલા બે પદ અને છેલ્લા બે પદનું સમૂહ બનાવીએ, તો દરેક સમૂહમાં તેમનો ગુસાઅ અથવા ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ છે:

પહેલા સમૂહનો ગુસાઅ

2 x

અને બીજા સમૂહનો ગુસાઅ

3

છે. નીચેની પદાવલિ મેળવવા આપણે તેમને સામાન્ય લઇ શકીએ:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

[તમે તે કઈ રીતે કર્યુ?]

ધ્યાન આપો કે તે બે પદમાં હજુ એક સામાન્ય અવયવ

x + 4

છે, તેમ દર્શાવે છે: આ સામાન્ય અવયવને બહાર કાઢવા આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

હવે બહુપદી, બે દ્વિપદીના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવેલ છે, તેથી તે અવયવ પાડેલ સ્વરૂપમાં છે. આપણે તેમનો ગુણાકાર કરીને તેને મૂળ બહુપદી સાથે સરખાવીને ચકાસી શકીએ.

[હું તે જોવા માંગીશ, પ્લીઝ!]

ઉદાહરણ 2: $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍ ના અવયવ પાડો

બીજી બહુપદીના અવયવ પાડીને શું થયું તેનો સારાંશ આપીએ.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & પદોના સમૂહ બનાવો \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & ગુસાઅ સામાન્ય લેતા \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & સામાન્ય અવયવ! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & x + 2 સામાન્ય લેતા \end{aligned}

અવયવ પાડયા પછીનું સ્વરૂપ

(x + 2) (3 x + 4)

છે.

તમારી સમજ ચકાસો

1) અવયવ પાડો $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

2) અવયવ પાડો $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

3) અવયવ પાડો $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

ઉદાહરણ 3: $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઋણ સહગુણક ધરાવતી બહુપદીના અવયવ પાડવા માટે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરતી વખતે વધુ ધ્યાન રાખવું જોઈએ.

દાખલા તરીકે,

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

ના અવયવ પાડવા નીચેના પદોનો ઉપયોગ કરી શકાય.

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & પદોના સમૂહ બનાવો \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & ગુસાઅ સામાન્ય લેતા \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & સાદું રૂપ આપો \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & સામાન્ય અવયવ! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & x - 2 સામાન્ય લેતા \end{aligned}

બહુપદીના અવયવ પાડ્યા પછીનું સ્વરૂપ

(x - 2) (3 x - 4)

છે. આપણા કાર્યને ચકાસવા આપણે દ્વિપદીઓનો ગુણાકાર કરી શકીએ.

[હું તે જોવા માંગીશ, પ્લીઝ!]

A few of the steps above may seem different than what you saw in the first example, so you may have a few questions.

સમૂહોની વચ્ચે "+" ની નિશાની ક્યાંથી આવી?

પદ

(1)

માં, સમૂહ

(3 x^{2} - 6 x)

અને

(- 4 x + 8)

ની વચ્ચે એક "+" ની નિશાની ઉમેરવામાં આવી. કારણ કે ત્રીજું પદ

(- 4 x)

ઋણ છે, અને પદની નિશાની સમૂહોમાં ઉમેરાયેલી હોવી જોઈએ.

બીજા સમૂહની બહાર ઋણની નિશાની ચતુરાઈપૂર્વક મુકેલ છે. દાખલા તરીકે,

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

ના સમૂહ બનાવવામાં સામાન્ય ભૂલ

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

છે. તેમજ, આ સમૂહનું સાદું રૂપ

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

મળે છે, જે મૂળ પદાવલિને સમાન નથી.

[આપણે તે જોઈ શકીએ?]

$4$ ‍ ને બદલે $- 4$ ‍ શા માટે સામાન્ય લેવા?

પદ

(2)

માં, પદોમાંથી

(x - 2)

સામાન્ય મેળવવા

- 4

સામાન્ય લીધા। જો તેને બદલે ધન

4

સામાન્ય લીધા હોત તો, ઉપર દર્શાવેલ સામાન્ય દ્વિપદી અવયવ આપણને મળ્યું ના હોત:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

જો સમૂહમાં આગળનું પદ ઋણ હોય, તો દર વખતે ઋણ નિશાની સામાન્ય લેવી જોઈએ.

તમારી સમજ ચકાસો

4) અવયવ પાડો $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

5) અવયવ પાડો $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

6) અવયવ પાડો $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

કોયડો

7*) અવયવ પાડો $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ ક્યારે કરી શકીએ?

સમૂહોની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય અવયવ હોય ત્યારે બહુપદીના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકાય.

દાખલા રીતે,

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

ના અવયવ પાડવા આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ, જેથી તેને નીચેની રીતે લખી શકાય:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

ના અવયવ પાડવા આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ નહિ કારણ કે બંને સમૂહમાંથી ગુસાઅ સામાન્ય લેતા આપણને સામાન્ય અવયવ મળશે નહિ!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

ત્રિપદીઓના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરવો

ત્રણ પદ ધરાવતી કોઈ દ્વિઘાત બહુપદી (એટલે કે ત્રિપદી) જેમકે

2 x^{2} + 7 x + 3

ના અવયવ પાડવા તમે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકો છો. કારણ કે આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકીએ:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

ત્યારબાદ

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

ના

(x + 3) (2 x + 1)

તરીકે અવયવ પાડવા આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ.

આ પ્રકારની દ્વિઘાત ત્રિપદીના સમૂહની રીતે અવયવ પાડવા વિશે વધુ જાણવા, ચકાસો અમારા આગામી આર્ટિકલ.

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

આ પ્રકરણ માટે તમને શું શીખવાની જરૂર છે

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

ઉદાહરણ 1: 2x2+8x+3x+12‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 2: 3x2+6x+4x+8‍ ના અવયવ પાડો

તમારી સમજ ચકાસો

ઉદાહરણ 3: 3x2−6x−4x+8‍ ના અવયવ પાડો

તમારી સમજ ચકાસો

કોયડો

આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ ક્યારે કરી શકીએ?

ત્રિપદીઓના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરવો

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

ઉદાહરણ 1: $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 2: $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 3: $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍ ના અવયવ પાડો