જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

દ્વિઘાતના અવયવ: અગ્ર સહગુણક ≠ 1

બે સુરેખ દ્વિપદીના ગુણાકાર તરીકે દ્વિઘાત પદાવલીના અવયવ કઈ રીતે પાડી શકાય તે શીખો. ઉદાહરણ તરીકે, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

આ પ્રકરણ પહેલા તમને શું જાણવાની જરૂર છે

4 પદ ધરાવતી બહુપદીમાંથી ઘણી બધી વખત સામાન્ય અવયવ લઈને સમૂહ બનાવવાની રીતે અવયવ પાડી શકાય છે. જો આ બાબત તમારા માટે નવી હોય તો, તમે અમારું આ આર્ટિકલ ચકાસી શકો છોસમૂહ બનાવવાની રીતે અવયવ
શરુ કરતા પહેલા તમે અમારા આર્ટિકલ અગ્ર સહગુણક 1 હોય તેવી દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા નું પુનરાવર્તન કરો તેવી અમારી ભલામણ છે.

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

આ આર્ટિકલમાં, અગ્ર સહગુણક 1 ન હોય તેવી દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીશું, જેમ કે 2x2+7x+3.

ઉદાહરણ 1: 2x2+7x+3 ના અવયવ પાડો

(2x2+7x+3) નો અગ્ર સહગુણક 2 છે, તેથી આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા સરવાળો-ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ નહિ.
2x2+7x+3 ના અવયવ પાડવા, તેને બદલે, આપણે એવા બે પૂર્ણાંક મેળવીશું જેનો ગુણાકાર 23=6 (અગ્ર સહગુણક ગુણ્યા અચળ પદ) અને સરવાળો 7 (x-સહગુણક) હોય.
16=6 અને 1+6=7 છે, તેથી બે સંખ્યાઓ 1 અને 6 છે.
આ બે સંખ્યાઓ આપણને એ જણાવે છે કે મૂળ પદાવલિના x-વાળા પદના ભાગ કઈ રીતે પાડવા, જેથી આપણે આપણી બહુપદીને 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3 તરીકે દર્શાવી શકીએ.
આપણે બહુપદીના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)પદોના સમૂહ બનાવો=x(2x+1)+3(2x+1)ગુસાઅ સામાન્ય લો=x(2x+1)+3(2x+1)સામાન્ય અવયવ!=(2x+1)(x+3)2x+1 સામાન્ય લો 
અવયવ પાડયા પછીનું સ્વરૂપ (2x+1)(x+3) છે.
આપણે ગુણાકાર કરીને 2x2+7x+3 મેળવીને આપણું કામ ચકાસી શકીએ.

સારાંશ

સામાન્ય રીતે, ax2+bx+c સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડવા નીચેના પદોનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
  1. એવી બે સંખ્યાઓ શોધીને શરૂઆત કરીએ જેનો ગુણાકાર ac અને સરવાળો b હોય.
  2. x-વાળા પદના ભાગ પાડવા આ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરો.
  3. દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.

તમારી સમજ ચકાસો

1) અવયવ પાડો 3x2+10x+8.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

2) અવયવ પાડો 4x2+16x+15.

ઉદાહરણ 2: 6x25x4 ના અવયવ પાડો

6x25x4 ના અવયવ પાડવા, એવા બે પૂર્ણાંક શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર 6(4)=24 અને સરવાળો 5 હોય.
3(8)=24 અને 3+(8)=5 છે, તેથી સંખ્યાઓ 3 અને 8 છે.
હવે આપણે પદ 5x ને 3x અને 8x ના સરવાળા તરીકે લખી શકીએ અને બહુપદીના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)પદોના સમૂહ બનાવો(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)ગુસાઅ સામાન્ય લો(3)=3x(2x+1)4(2x+1)સાદું રૂપ આપો(4)=3x(2x+1)4(2x+1)સામાન્ય અવયવ!(5)=(2x+1)(3x4)2x+1 સામાન્ય લો
અવયવ પાડયા પછીનું સ્વરૂપ (2x+1)(3x4) છે.
આપણે ગુણાકાર કરીને 6x25x4 મેળવીને આપણું કામ ચકાસી શકીએ.
નોંધ લો: ઉપર આપેલ પદ (1) માં, ધ્યાન આપો કે ત્રીજું પદ ઋણ છે, એક "+" ની નિશાની બંને સમૂહની વચ્ચે મુકવામાં આવી જેથી પદાવલિ મૂળ સ્વરૂપને સમાન રહે. ઉપરાંત, પદ (2) માં, બીજા સમૂહમાંથી એક ઋણ ગુસાઅ સામાન્ય લેવાની જરૂર છે જેથી સામાન્ય અવયવ 2x+1 મળે. નિશાનીઓનું ધ્યાન રાખવું પડશે!

તમારી સમજ ચકાસો

3) અવયવ પાડો 2x23x9.
કોઈ એક જવાબ પસંદ કરો:

4) અવયવ પાડો 3x22x5.

5) અવયવ પાડો 6x213x+6.

આ રીત ક્યારે ઉપયોગી છે?

સ્પષ્ટપણે, જયારે a1 હોય તો પણ ax2+bx+c સ્વરૂપની દ્વિપદીના અવયવ પાડવા આ રીત ઉપયોગી છે.
તેમ છતાં, આપણી રીતનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારની દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા દર વખતે શક્ય નથી.
દાખલા તરીકે, પદાવલિ 2x2+2x+1 લઈએ. તેના અવયવ પાડવા, એવા બે પૂર્ણાંકની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર 21=2 અને સરવાળો 2 હોય. પ્રયત્ન કરવા છતાં, તમને તેવા પૂર્ણાંક મળશે નહિ.
તેથી, આપણી રીત 2x2+2x+1 અને બીજી અમુક દ્વિઘાત પદાવલિ માટે ઉપયોગી નથી.
તે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે, જો આ રીત કામ ના કરે તો, તેનો અર્થ છે કે પદાવલિના (Ax+B)(Cx+D) તરીકે અવયવ પાડી શકાય નહિ જ્યાં A, B, C, અને D પૂર્ણાંક છે.

આ રીત શા માટે કામ કરે છે?

આ રીત શા માટે સફળ છે તે ઊંડાણપૂર્વક સમજીએ. આપણે થોડા શબ્દોનો અહીં ઉપયોગ કરીશું, સહકાર આપજો!
ધારો કે સામાન્ય દ્વિઘાત પદાવલિ ax2+bx+c ના (Ax+B)(Cx+D) સ્વરૂપે અવયવ પાડી શકાય, જ્યાં A, B, C, અને D પૂર્ણાંક છે.
જયારે આપણે કૌંસનું વિસ્તરણ કરીએ, આપણને દ્વિઘાત પદાવલિ (AC)x2+(BC+AD)x+BD મળશે.
પદાવલિ ax2+bx+c ને સમાન છે, તેથી બે પદાવલિના અનુરૂપ સહગુણક સમાન જ હોવા જોઈએ! તે આપણને બધા અજ્ઞાત અક્ષરો માટે નીચે પ્રમાણે સંબંધ આપશે:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
હવે, ચાલો m=BC અને n=AD ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
આ વ્યાખ્યા મુજબ...
m+n=BC+AD=b
અને
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
અને તેથી જયારે આપણે અવયવની આ રીતનો ઉપયોગ કરીએ ત્યારે BC અને AD એવા બે પૂર્ણાંક છે, જેને આપણે હંમેશા શોધીએ છીએ!
m અને n શોધ્યા પછી બીજું સ્ટેપ એ છે કે m અને n પ્રમાણે x-સહગુણકના ભાગ પાડવા અને સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડવા.
ખરેખર, જો આપણે x વાળું પદ (BC+AD)x ને (BC)x+(AD)x, માં વિભાજિત કરીએ, તો આપણી પદાવલિને ફરીથી (Ax+B)(Cx+D) સ્વરૂપે લખવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીશું.
અંતે, આ વિભાગમાં આપણે...
  • સામાન્ય વિસ્તૃત પદાવલિ ax2+bx+c સાથે અને તેના સામાન્ય અવયવીકરણ (Ax+B)(Cx+D) સાથે શરુ કર્યું,
  • બે સંખ્યાઓ m અને n શોધી શક્યા, જેથી mn=ac અને m+n=b (આપણે m=BC અને n=AD ને વ્યાખ્યાયિત કરીને તેમ કર્યું),
  • x વાળા પદને mx+nx માં વિભાજીત કર્યું, તેમજ વિસ્તૃત પદાવલિના ફરીથી (Ax+B)(Cx+D) અવયવ પાડી શક્યા.
આ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે કે, કોઈ પદાવલિના (Ax+B)(Cx+D) સ્વરૂપે અવયવ શા માટે પાડી શકાય, આપણી રીત એ ખાતરી આપશે કે આપણે આ અવયવ મેળવીએ છીએ.
સહકાર બદલ આભાર!