મુખ્ય વિષયવસ્તુ

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

Lesson 6: દ્વિઘાતના અવયવો પાડવા 2

દ્વિઘાતના અવયવ: અગ્ર સહગુણક ≠ 1

બે સુરેખ દ્વિપદીના ગુણાકાર તરીકે દ્વિઘાત પદાવલીના અવયવ કઈ રીતે પાડી શકાય તે શીખો. ઉદાહરણ તરીકે, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

આ પ્રકરણ પહેલા તમને શું જાણવાની જરૂર છે

4

પદ ધરાવતી બહુપદીમાંથી ઘણી બધી વખત સામાન્ય અવયવ લઈને સમૂહ બનાવવાની રીતે અવયવ પાડી શકાય છે. જો આ બાબત તમારા માટે નવી હોય તો, તમે અમારું આ આર્ટિકલ ચકાસી શકો છોસમૂહ બનાવવાની રીતે અવયવ

શરુ કરતા પહેલા તમે અમારા આર્ટિકલ અગ્ર સહગુણક 1 હોય તેવી દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા નું પુનરાવર્તન કરો તેવી અમારી ભલામણ છે.

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

આ આર્ટિકલમાં, અગ્ર સહગુણક 1 ન હોય તેવી દ્વિઘાતના અવયવ પાડવા આપણે સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીશું, જેમ કે

2 x^{2} + 7 x + 3

ઉદાહરણ 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ ના અવયવ પાડો

(2 x^{2} + 7 x + 3)

નો અગ્ર સહગુણક

2

છે, તેથી આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા સરવાળો-ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ નહિ.

2 x^{2} + 7 x + 3

ના અવયવ પાડવા, તેને બદલે, આપણે એવા બે પૂર્ણાંક મેળવીશું જેનો ગુણાકાર

2 \cdot 3 = 6

(અગ્ર સહગુણક ગુણ્યા અચળ પદ) અને સરવાળો

7

(

x

-સહગુણક) હોય.

1 \cdot 6 = 6

અને

1 + 6 = 7

છે, તેથી બે સંખ્યાઓ

1

અને

6

છે.

[આપણે આ સંખ્યાઓ કેવી રીતે શોધીએ?]

આ બે સંખ્યાઓ આપણને એ જણાવે છે કે મૂળ પદાવલિના

x

-વાળા પદના ભાગ કઈ રીતે પાડવા, જેથી આપણે આપણી બહુપદીને

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

તરીકે દર્શાવી શકીએ.

આપણે બહુપદીના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & પદોના સમૂહ બનાવો \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & ગુસાઅ સામાન્ય લો \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & સામાન્ય અવયવ! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 2 x + 1 સામાન્ય લો \end{aligned}

અવયવ પાડયા પછીનું સ્વરૂપ

(2 x + 1) (x + 3)

છે.

[આપણે જુદા ક્રમમાં બહુપદીના સમૂહ બનાવીએ તો શું?]

આપણે ગુણાકાર કરીને

2 x^{2} + 7 x + 3

મેળવીને આપણું કામ ચકાસી શકીએ.

[હું તે જોવા માંગીશ, પ્લીઝ!]

સારાંશ

સામાન્ય રીતે,

a x^{2} + b x + c

સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડવા નીચેના પદોનો ઉપયોગ કરી શકીએ:

એવી બે સંખ્યાઓ શોધીને શરૂઆત કરીએ જેનો ગુણાકાર $a c$ ‍ અને સરવાળો $b$ ‍ હોય.
$x$ ‍-વાળા પદના ભાગ પાડવા આ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરો.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીએ.

તમારી સમજ ચકાસો

1) અવયવ પાડો $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

2) અવયવ પાડો $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

ઉદાહરણ 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ ના અવયવ પાડો

6 x^{2} - 5 x - 4

ના અવયવ પાડવા, એવા બે પૂર્ણાંક શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર

6 \cdot (- 4) = - 24

અને સરવાળો

- 5

હોય.

3 \cdot (- 8) = - 24

અને

3 + (- 8) = - 5

છે, તેથી સંખ્યાઓ

3

અને

- 8

છે.

[હું આ સંખ્યાઓ કઈ રીતે શોધી શકું?]

હવે આપણે પદ

- 5 x

ને

3 x

અને

- 8 x

ના સરવાળા તરીકે લખી શકીએ અને બહુપદીના અવયવ પાડવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & પદોના સમૂહ બનાવો \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & ગુસાઅ સામાન્ય લો \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & સાદું રૂપ આપો \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & સામાન્ય અવયવ! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & 2 x + 1 સામાન્ય લો \end{aligned}$ ‍

અવયવ પાડયા પછીનું સ્વરૂપ

(2 x + 1) (3 x - 4)

છે.

આપણે ગુણાકાર કરીને

6 x^{2} - 5 x - 4

મેળવીને આપણું કામ ચકાસી શકીએ.

[હું તે જોવા માંગીશ, પ્લીઝ!]

નોંધ લો: ઉપર આપેલ પદ

(1)

માં, ધ્યાન આપો કે ત્રીજું પદ ઋણ છે, એક "+" ની નિશાની બંને સમૂહની વચ્ચે મુકવામાં આવી જેથી પદાવલિ મૂળ સ્વરૂપને સમાન રહે. ઉપરાંત, પદ

(2)

માં, બીજા સમૂહમાંથી એક ઋણ ગુસાઅ સામાન્ય લેવાની જરૂર છે જેથી સામાન્ય અવયવ

2 x + 1

મળે. નિશાનીઓનું ધ્યાન રાખવું પડશે!

તમારી સમજ ચકાસો

3) અવયવ પાડો $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

4) અવયવ પાડો $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

5) અવયવ પાડો $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[મને મદદની જરૂર છે!]

આ રીત ક્યારે ઉપયોગી છે?

સ્પષ્ટપણે, જયારે

a \neq 1

હોય તો પણ

a x^{2} + b x + c

સ્વરૂપની દ્વિપદીના અવયવ પાડવા આ રીત ઉપયોગી છે.

તેમ છતાં, આપણી રીતનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારની દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડવા દર વખતે શક્ય નથી.

દાખલા તરીકે, પદાવલિ

2 x^{2} + 2 x + 1

લઈએ. તેના અવયવ પાડવા, એવા બે પૂર્ણાંકની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર

2 \cdot 1 = 2

અને સરવાળો

2

હોય. પ્રયત્ન કરવા છતાં, તમને તેવા પૂર્ણાંક મળશે નહિ.

તેથી, આપણી રીત

2 x^{2} + 2 x + 1

અને બીજી અમુક દ્વિઘાત પદાવલિ માટે ઉપયોગી નથી.

તે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે, જો આ રીત કામ ના કરે તો, તેનો અર્થ છે કે પદાવલિના

(A x + B) (C x + D)

તરીકે અવયવ પાડી શકાય નહિ જ્યાં

A

B

C

, અને

D

પૂર્ણાંક છે.

આ રીત શા માટે કામ કરે છે?

આ રીત શા માટે સફળ છે તે ઊંડાણપૂર્વક સમજીએ. આપણે થોડા શબ્દોનો અહીં ઉપયોગ કરીશું, સહકાર આપજો!

ધારો કે સામાન્ય દ્વિઘાત પદાવલિ

a x^{2} + b x + c

ના

(A x + B) (C x + D)

સ્વરૂપે અવયવ પાડી શકાય, જ્યાં

A

B

C

, અને

D

પૂર્ણાંક છે.

જયારે આપણે કૌંસનું વિસ્તરણ કરીએ, આપણને દ્વિઘાત પદાવલિ

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

મળશે.

[હું વિસ્તરણની સંપૂર્ણ પ્રક્રિયા જોવા માંગુ છું!]

પદાવલિ

a x^{2} + b x + c

ને સમાન છે, તેથી બે પદાવલિના અનુરૂપ સહગુણક સમાન જ હોવા જોઈએ! તે આપણને બધા અજ્ઞાત અક્ષરો માટે નીચે પ્રમાણે સંબંધ આપશે:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

હવે, ચાલો

m = B C

અને

n = A D

ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

આ વ્યાખ્યા મુજબ...

m + n = B C + A D = b

અને

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

અને તેથી જયારે આપણે અવયવની આ રીતનો ઉપયોગ કરીએ ત્યારે

B C

અને

A D

એવા બે પૂર્ણાંક છે, જેને આપણે હંમેશા શોધીએ છીએ!

m

અને

n

શોધ્યા પછી બીજું સ્ટેપ એ છે કે

m

અને

n

પ્રમાણે

x

-સહગુણકના ભાગ પાડવા અને સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડવા.

ખરેખર, જો આપણે

x

વાળું પદ

(B C + A D) x

ને

(B C) x + (A D) x

, માં વિભાજિત કરીએ, તો આપણી પદાવલિને ફરીથી

(A x + B) (C x + D)

સ્વરૂપે લખવા સમૂહની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીશું.

[હું તે જોવા માંગીશ, પ્લીઝ!]

અંતે, આ વિભાગમાં આપણે...

સામાન્ય વિસ્તૃત પદાવલિ $a x^{2} + b x + c$ ‍ સાથે અને તેના સામાન્ય અવયવીકરણ $(A x + B) (C x + D)$ ‍ સાથે શરુ કર્યું,
બે સંખ્યાઓ $m$ ‍ અને $n$ ‍ શોધી શક્યા, જેથી $m n = a c$ ‍ અને $m + n = b$ ‍ $($ ‍આપણે $m = B C$ ‍ અને $n = A D$ ‍ ને વ્યાખ્યાયિત કરીને તેમ કર્યું),
$x$ ‍ વાળા પદને $m x + n x$ ‍ માં વિભાજીત કર્યું, તેમજ વિસ્તૃત પદાવલિના ફરીથી $(A x + B) (C x + D)$ ‍ અવયવ પાડી શક્યા.

આ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે કે, કોઈ પદાવલિના

(A x + B) (C x + D)

સ્વરૂપે અવયવ શા માટે પાડી શકાય, આપણી રીત એ ખાતરી આપશે કે આપણે આ અવયવ મેળવીએ છીએ.

સહકાર બદલ આભાર!

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

બીજગણિતની પાયાની બાબતો

Course: બીજગણિતની પાયાની બાબતો > Unit 7

આ પ્રકરણ પહેલા તમને શું જાણવાની જરૂર છે

તમે આ લેશનમાં શું શીખશો

ઉદાહરણ 1: 2x2+7x+3‍ ના અવયવ પાડો

સારાંશ

તમારી સમજ ચકાસો

ઉદાહરણ 2: 6x2−5x−4‍ ના અવયવ પાડો

તમારી સમજ ચકાસો

આ રીત ક્યારે ઉપયોગી છે?

આ રીત શા માટે કામ કરે છે?

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

ઉદાહરણ 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ ના અવયવ પાડો

ઉદાહરણ 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ ના અવયવ પાડો