જુથનો પરિચય

આ વિડિઓમાં આપણે બહુપદીના અવયવો પાડવાની નવી રીત વિશે શીખીશું અહીં આપણે એવી બહુપદીઓ જોઈશું જેમાં x વર્ગનો સહગુણક 1 ન હોય ધારો કે હવે આપણી પાસે છે 4x સ્કવેર + 25x - 21 અત્યાર સુધી આપણે જે ઉદાહરણ જોયા તેમાં x વર્ગનો સહગુણક 1 અથવા - 1 હતો જ્યારે અહીં x વર્ગનો સહગુણક 4 છે તો હવે જોઈએ કે તે કઈ રીતે ઉકેલી શકાય? તે રીત બતાવું છું અને પછી તે કઈ રીતે કામ કરે છે તે આપણે આ વિડિઓમાં પછી જોઈશું, અહીં જે આ પહેલી સંખ્યા અને છેલ્લી સંખ્યા છે તેનો ગુણાકાર કરીએ એટલે કે તેમને a અને b ધારીએ આમ a into b = 4 into - 21 અહીં લખું છું a into b = 4 into - 21 જે મળે - 84 તે બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો 25 થવો જોઇએ આમ a + b = 25 અહીં આ 4 ને અહીં દર્શાવ્યા છે અને - 21 એ અહીં મૂક્યા છે અહીં ગુણાકાર - 21 છે તેનો અર્થ છે કે તે સંખ્યાઓમાંથી એક સંખ્યા ધન હશે અને એક સંખ્યા ઋણ હશે અને તે માટે - 84 ના અવયવો વિશે વિચારીએ જો આ અવયવો લઈએ તો 4 + - 21 કરીએ તો આપણને - 17 મળે અથવા જો - અથવા જો - 4 + 21 કરીએ તો બંને + 17 મળે જે ઉપયોગી નથી, બીજા અવયવો લઈએ 1 અને 84 તે બંને વચ્ચે ખૂબ મોટું અંતર છે માટે આપણને કોઈપણ રીતે 25 મળશે નહીં 2 અને 42 લઈએ તેમની વચ્ચે પણ અંતર ખૂબ મોટું છે કે - 2 + 42 કરીએ તો આપણને + 40 મળે અને 2 + - 42 કરીએ તો આપણને - 40 મળે વધુ આગળ જઈએ તો 3 અને 28 નો ગુણાકાર 84 થાય, આ બે સંખ્યાઓ આપણો જવાબ હોઈ શકે જો - 3 + 28 કરીએ તો આપણને + 25 મળે છે આમ આ બે સંખ્યાઓ આપણને ઉપયોગી છે પણ જે રીતે આપણે અગાઉ જોઈ ગયા કે જ્યારે x વર્ગનો સહગુણક 1 અથવા - 1 હોય ત્યારે આપણે તરત જ અહીં અવયવો લખી લેતા હતા આ પ્રકારના દાખલાઓમાં તેમ થશે નહીં તેની ગણતરી કરવા માટે આજે મધ્યમપદ છે તેને 2 ભાગમાં વહેંચવું પડશે, આમ આ મધ્યમપદને 2 ભાગમાં વહેંચીએ તો તે થશે + 28 x અને - 3 x તેમજ આપણી પાસે આ બંને પહોંચ છે તે લખી લઈએ 4x સ્કવેર અને અચલ પદ છે - 21 અહીં જુઓ કે આપણે આ 25x ના બે ભાગ પાડ્યા છે તમને થશે કે આપણે 28x ને અહીં આગળ શા માટે મૂક્યા? અહીં પાછળ કેમ નહિ મૂક્યા ? આપણે તેની પાછળ મૂકીને પણ ગણતરી કરી શકીએ પણ અહીં તેને આ રીતે ગોઠવવાનો હેતુ એ છે કે 28 અને 4 એ બંને 4 વડે વિભાજય છે અને - 3 તેમજ - 21 એ બંને - 3 વડે વિભાજ્ય છે હવે તેના સમૂહ બનાવીએ તો આ પહેલા 2 પદની જોડ લઈએ તેનો એક સમૂહ બનાવીએ 4x સ્ક્વેર + 28x , બે અંતિમપદોનો એક સમૂહ બનશે + , - 3x - 21 હવે આ બંને પદના શક્ય હોય તેટલા અવયવો મેળવીએ બનેમાંથી જુઓ કે 4x સામાન્ય નીકળશે માટે જ્યારે 4x સામાન્ય લેતાં પહેલાં પદને 4x વડે ભાગીએ તો આપણને મળે x + 28xને 4x વડે ભાગીએ તો આપણને મળે 7 , પછીના બે પદને - 3 વડે ભાગી શકાય માટે + , - 3 કોમન લઈએ તો અહીં થશે x - 21 ને - 3 વડે ભાગતા આપણને મળે +7 અહીં વચ્ચે બે અલગ અલગ નિશાનીઓ દેખાય છે માટે આપણે તેને આ રીતે લખી શકાય કે 4x into x+7 , અહીં + , - , - થશે માટે - 3 into x +7 ,અહીં જુઓ કે આપણે જે પદ લખ્યું છે તેમાં x +7 એ 4x સાથે ગુણાયેલા છે અને અહીં x + 7 એ - 3 સાથે ગુણાયેલા છે તો તેને આપણે સામાન્ય લઈ શકીએ અહીં x + 7 ને તમે a તરીકે ગણી શકો આમ 4xa - 3a માંથી a સામાન્ય લઈએ એટલે કે x + 7 સામાન્ય લઈએ તો બીજા કૌંશમાં આપણને મળશે 4x - 3 આમ આપેલ બહુપદીના અવયવ થયા x + 7 into 4x - ૩, આમ અહીં આપણે ગ્રુપિંગ મેથડ એટલે કે સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડ્યા છે વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ ધારો કે આપણી પાસે છે 6x સ્કવેર + 7x + 1 અહીં પણ તે રીતે જ કરવાનું છે a into b ,1 into 6 એટલે કે 6 મળવા જોઈએ અને તે બંનેનો સરવાળો એટલે કે a+b થવો જોઈએ + 7 અને તે અહીં જોઈ શકાય છે કે 6 અને 1 નો ગુણાકાર કરીએ તો 6 મળે અને 6 અને 1 નો સરવાળો કરીએ તો આપણને 7 મળે આમ તે બે સંખ્યાઓ છે 1 અને 6 હવે 7x નું વિભાજન બે ભાગમાં કરવાનું છે પણ એ રીતે કરીએ કે જેથી તે તેની નજીકના પદ સાથે કોઇ સામાન્ય અવયવ ધરાવતું હોય, આમ અહીં લખીએ 6x વર્ગ હવે 7x ના બે ભાગ પાડીએ તો તે થશે 1x અને 6x પણ આપણે 6x ને પહેલા લખીએ કારણ કે અહીં તેમાં 6x એક સામાન્ય અવયવ છે ત્યારબાદ લખીએ 1x અને છેલ્લું પદ છે +1 પહેલા બે પદની જોડ બનાવીને અથવા સમૂહ બનાવીને તેમાંથી કંઈક સામાન્ય લઈએ, શક્ય હોય તેટલા સામાન્ય અવયવ મેળવવા અહીં 6 અને x સામાન્ય અવયવ દેખાય છે તેથી લખીએ 6x into 6x વર્ગને 6x વડે ભાગીએ તો આપણને મળે x + 6x ને 6x વડે ભાગીએ તો આપણને મળશે 1 + આ બન્નેમાંથી પણ શક્ય હોય તેટલા સામાન્ય અવયવ લઈએ બંનેમાં ફક્ત એક જ એવી સંખ્યા છે જે સામાન્ય નીકળે છે તેથી કૌંશમાં આપણને મળશે x + 1 હવે બંનેમાંથી x + 1 સામાન્ય લઈએ x +1 તો બીજા કૌંશમાં આપણને મળશે 6x + 1 અહીં આપણે વિભાજનના ગુણધર્મને ઉંધી રીતે કર્યું છે હવે આપણે સમજીશું કે આ રીત કઈ રીતે કામ કરે છે? તે માટે હું બે દ્વિપદી લઉં છું તે સામાન્ય સ્વરૂપે લઉં છું એટલે કે fx + g into hx + j હવે fx નો hx સાથે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને મળે fhx સ્ક્વેર ત્યારબાદ fx into j કરીએ તો તે થશે fjx હવે g નો hx સાથે ગુણાકાર કરીએ તો તે મળે ghx અને ત્યારબાદ g ગુણ્યા j કરીએ તો તે થશે gj બન્ને મધ્યમપદનો સરવાળો કરીએ તો આ રીતે લખીએ fh into x સ્કવેર + fj + gh into x + gj હવે આપણે શું કરીએ? અહીં જે રીતે જોયું હતું કે જ્યારે x વર્ગનો સહગુણક 1 અથવા -1 ન હોય ત્યારે એવી બે સંખ્યાઓ કે જેનો સરવાળો આ મધ્યમપદના સહગુણક જેટલો હોય તે બંનેનો ગુણાકાર આ પ્રથમ અને અંતિમ સહગુણક જેટલો થવો જોઈએ ધારોકે આ જે મધ્યમપદ છે તેમાં આ fj છે એને a તરીકે ગણીએ અને gh છે એને b લઈએ તેથી તેને આ રીતે લખી શકાય કે a into b = fj into gh અને જો તેનો ગુણાકાર કરીએ તો તે આપણે કોઈપણ ક્રમમાં લખી શકાય તેને આપણે f into h into g into j તરીકે પણ દર્શાવી શકાય આપણે તેને આ રીતે પણ લખી શકીએ કે fh into gj અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ fh એ પહેલાં પદનો સહગુણક છે જ્યારે gj એ અચલપદ છે આમ a + b કરીએ તો તે મધ્યમપદના સહગુણકના સરવાળા જેટલો થાય અને જો a into b કરીએ તો તે પ્રથમ પદના સહગુણક અને અચળપદ જેટલો મળે છે આ રીતે આ ગ્રુપિંગ મેથડથી એટલે કે સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડવાની રીતથી આપણે a અને b શું છે? તે મેળવી શકીએ, હવે એક એવું ઉદાહરણ લઇએ જેમાં જેમાં અવયવોની આ રીતનો ઉપયોગ થતો હોય પણ અત્યાર સુધી જોયેલા ઉદાહરણ કરતા તે થોડું અલગ છે ધારો કે આપણી પાસે છે - x ક્યુબ + 17x સ્ક્વેર - 70x હવે આ રીતની રકમ જોઈને તમને કદાચ થશે કે આ પહેલા પદની ઘાત તો 2 નથી 3 છે માટે આ દ્વિઘાત બહુપદી નથી પણ ધ્યાનથી જોશો તો જણાશે કે દરેક માંથી x સામાન્ય નીકળે છે અને કહી શકાય કે - x સામાન્ય નીકળે છે માટે જો x સામાન્ય લઈએ તો આપણને મળશે -x ના ઘનને - x વડે ભાગીએ તો આપણને મળે + x નો વર્ગ + 17x ના વર્ગને - x વડે ભાગીએ તો આપણને મળશે -17x અને -70x ને -x વડે ભાગીએ તો આપણને મળે + 70 હવે આ જે રકમ મળી તે પ્રકારના દાખલા આપણે અગાઉ જોઈ ગયા છીએ અહીં x વર્ગ નો સહગુણક 1 છે માટે તેવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર +70 થાય અને સરવાળો - 17 મળે 70 ના અવયવો વિશે વિચારતા આપણને તરત ધ્યાનમાં આવશે કે - 10 અને - 7 એવી બે સંખ્યાઓ છે જેમનો ગુણાકાર + 70 થાય અને સરવાળો - 17 થાય તેથી અહીં તેના અવયવ થશે x - 10 into x -7 અને આગળ ગુણાકારના સંબંધમાં છે - x આમ આ ઉદાહરણમાં આપણે જોયું કે પહેલી નજરમાં અને આ ઉદાહરણમાં આપણે જોયું કે રકમ જોઈને કદાચ પહેલા એમ લાગે કે આ દ્વિઘાત બહુપદી નથી પણ તેમાંથી કંઈક સામાન્ય અવયવ લેતા આપણને દ્વિઘાત બહુપદી સ્વરૂપે મળે અને તેના અવયવો પણ પાડી શકાય આમ આ વિડિઓમાં આપણે જોયું કે x વર્ગનો સહગુણક 1 અથવા -1 ન હોય ત્યારે તેવી દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ કઇ રીતે પડી શકે ? જે આપણે સમૂહ બનાવીને એટલે કે ગ્રુપિંગ મેથડ વડે સમજ્યા.