લોપની રીતે સમીકરણ યુગ્મ: રાજાની કેક

વેતાલ ના પુલ ને પાર કર્યાં પછી તમે આ રાજાના રાજકુમાર કે રાજકુમારી ને તેને પછી સોપી હતી તે તમારા આ કાર્ય થી એટલા ખુશ છે કે તમારા માન માં તે પાર્ટી આપવા માંગે છે પણ તેની સામે એક સમસ્યા છે તે એ જાણવા માંગે છે કે પાર્ટી માટે તે કેટલા કપકેક નો ઓર્ડર કરે જેથી બધા પુરતું ખાઈ શકે અને ખોટો બગાડ પણ ન થાય તો તમે તેને કહો છો કે તો પછી સમસ્યા શું છે રાજા કહે છે કે તેને ખબર છે કે પુખ્ત વય ના જે લોકો છે તે બાળકો કરતા અલગ સંખ્યા માં કપકેક ખાય છે તેમજ તે કહે છે કે તેના રાજ્ય ના જે પુખ્ત વય ના લોકો છે તે સખી સંખ્યા માં જ કપકેક ખાય છે અને બાળકો પણ સરખી સંખ્યા માં જ કપકેક ખાય છે તમે તેને કહો છો કે મહારાજ તમે મને કઈ કઈ વિગતો આપી શકો તેમ છો કદાચ હું તમને મદદ કરી શકું તમે વેતાલ નો કોયડો ઉકેલ્યા પછી આત્મવિશ્વાસ થી ભરપુર છો અને તમે રાજા ને મદદ કરવા માંગો છો રાજા કહે છે કે ગયા વખતે એક પાર્ટી રાખી હતી જેમાં 500 પુખ્ત વય ના લોકો હતા તેમજ 200 બાળકો હતા અને તે બધાએ સાથે મળીને 2900 જેટલા કપકેક ખાધા હતા તમે કહો છો કે રસપ્રત માહિતી છે પણ હજુ કઈ વધુ માહિતી આપી શકો છો શું આ પહેલા પણ તમે બીજી કોઈ પાર્ટી આપી હતી રાજા કહે છે કે હા તે પહેલા પણ મેં એક પાર્ટી આપી હતી અને મને પાર્ટી આપવાનો શોક છે તો તમે પૂછો છો કે ત્યારે શું પરિસ્થિતિ હતી રાજા કહે છે કે તે પાર્ટી માં પણ 500 પુખ્ત વય ના લોકો હતા પણ બાળકો ની સંખ્યા ત્યારે 300 હતી 300 બાળકો હતા અને તે બધા એ સાથે મળીને 3100 જેટલા કપકેક ખાધા હતા તમે અહી વિચારી રહ્યા છો કે અહી આપણે બીજ ગણિત નો થોડો ઉપયોગ કરી શકીએ અને હવે રાજા ઈચ્છે છે કે તે એ જાણી શકે કે પુખ્ત વય ની એક વ્યક્તિ કેટલા કપકેક ખાઈ શકે પુખ્તવ્યક્તિના કપકેક ની સંખ્યા આપણે શોધવાનું છે કે પુખ્ત વ્યક્તિ કેટલા કપકેક ખાઈ શકે તેમજ રાજા એ પણ જાણવા માંગે છે કે એક બાળક દ્વારા કેટલા કપકેક ખવાય છે માટે એક બાળક ના કપકેક ની સંખ્યા પણ આપણે શોધવાની છે જેથી કરીને તમારા માન માં જે પાર્ટી રાખવાની છે તેમાં આવનારા લોકો માટે કપકેક્સ મગાવવાની ખબર પડે આ વિગત તમારે શોધવાની છે આ તેવી વિગત છે જેના વિશે તમને ખબર નથી તો તે માટે આપણે અમુક ચલ ની ધારણા કરીએ માટે અહી લખીએ કે ધારો કે પુખ્ત વય ની એક વ્યક્તિ દ્વારા સરેરાશ a જેટલા કપકેક ખવાય છે તેમજ એક બાળક દ્વારા સરેરાશ c જેટલા કપકેક ખવાય છે હવે જોઈએ કે આ બાબત ને બીજ ગણિત ની રીતે કઈ રીતે દર્શાવી શકાય ગુલાબી રંગથી આજે પહેલી માહિતી દર્શાવી છે તેને બીજ ગણિત ની રીતે દર્શાવીએ તો આપણી પાસે માહિતી છે કે પાર્ટી માં 500 જેટલા પુખ્ત વય ના લોકો હતા જે દરેક સરેરાશ a જેટલા કપકેક ખાય છે માટે 500 પુખ્ત વ્યક્તિ દ્વારા ખવાયેલા કપકેક ની કુલ સંખ્યા થશે 500 a જેટલી તેમજ જે 200 બાળકો છે તે સરેરાશ c જેટલા કપકેક ખાય છે માટે તેમના દ્વારા ખવાયેલા કપકેક ની કુલ સંખ્યા થશે 200 c જેટલી અને બંને મળીને કુલ 2900 કપકેક ખાય છે માટે આ બંને નો સરવાળો કરવાથી અહી લખી શકાય 2900તેજ રીતે a ભુરા રંગ ની માહિતી ને દર્શાવીએ તો તેમાં પણ 500 પુખ્ત વય ની વ્યક્તિ હતી જે દરેક સરેરાશ a જેટલા કપકેક ખાય છે માટે તેમની પણ કુલ સંખ્યા 500 a જેટલી થશે + 300 બાળકો હતા જે સરેરાશ c જેટલા કપકેક ખાય છે માટે તેમની કુલ સંખ્યા થશે 300 c જેટલી આ a અને c ની કિંમત હજી આપણને જાણતા નથી તેમજ આ બીજી પાર્ટી માં ખવાયેલા કુલ કપકેક ની સંખ્યા છે 3100 હવે આપણી પાસે રસપ્રત માહિતી છે આપણી પાસે બે સમીકરણ છે જેમાં બે અલગ અલગ ચલ છે વેતાલ નો જે કોયડો હતો તે રીતે પણ તમે ઉકેલી શકો તેને તમે આલેખ દ્વારા ઉકેલ્યો હતો પણ તમારી પાસે બીજી પણ એવી રીતા છે જેના દ્વારા આ બાબત ને ઉકેલી શકો છો તે ઉકેલવા માટે આ પહેલા સમીકરણ ને આપણે નીચે ફરીથી લખીએ પહેલું સમીકરણ છે 500 a + 200 c = 2900 હવે જો અહીંથી આ 500 a ને દુર કરીએ તો કદાચ તે સહેલું થઇ જશે તે માટે 500 a ને અહીંથી બાદ કરીએ આમ આપણે ડાબી બાજુએ થી 500 a બાદ કરીએ પણ જો સમીકરણ માં કોઈ એક બાજુએ કઈંક ફેરફાર કરો તો બીજી બાજુએ પણ ફેરફાર કરવો પડે માટે જમણી બાજુથી પણ 500 a બાદ કરવા પડે પરિસ્થિતિ એજ થશે આપણી પાસે 2 ચલ હશે જે કદાચ આપણને ઉપયોગી નહિ થાય પણ તમને બીજી એક બાબત ધ્યાન માં આવે છે કે અહી 500 a ની સાથે 300 c પણ છે માટે અહી 500 a ની સાથે જો અહી થી 300 c પણ બાદ કરીએ તો કદાચ કઈંક ઉકેલ મળી શકે હવે જુઓ ડાબી બાજુએ થી 500a અને 300c બાદ કર્યાં છે તો જમણી બાજુએ પણ 500a અને 300c બાદ કરવા પડે પણ અચાનક તમારું ધ્યાન જાય છે 500a + 300c = 3100 છે માટે -500a અને -300c ને માટે તેને આ રીતે પણ દર્શાવી શકીએ કે -(500a + 300c) અને અહી આપેલ વિગત મુજબ 500a + 300c = 3100 છે માટે અહી આપણે 3100 પણ લખી શકાય તેથી આ જમણી બાજુએ -500a -300c કરવાને બદલે આપણે -3100 પણ લકી શકાય આમ અહીંથી આ પદ ને આપણે દુર કરી દઈએ અને હવે -500a -300c લખવાને બદલે આમને અહી -3100 લખીએ આમ કરવાથી તમે જોઈ શકો છો કે આપણે આ પહેલા સમીકરણ માંથી ખરેખર આ બીજું સમીકરણ બાદ કરી રહ્યા છીએ જે ખરેખર સામાન્ય બીજ ગણિત દર્શાવે છે હવે જોઈએ કે આપણને પરિણામ શું મળે છે 500a માંથી 500a બાદ કરીએ તો તેની કિંમત 0 થઇ જાય 200c - 300c = -100c મળે જયારે બરાબર ની જમણી બાજુએ 2900 માંથી 3100 બાદ કરતા આપણને -200 મળે હવે આપણને જે સમીકરણ મળ્યું તેમાં એકજ ચલ છે અને આપણે જાણીએ છીએ કે તેને કઈ રીતે ઉકેલવું તેને ઉકેલવા માટે સમીકરણ ની બંને બાજુએ -100 વડે ભાગાકાર કરીએ જેથી આ બંને નો છેદ ઉડી જશે તેથી ડાબી બાજુ ફક્ત c રહે અને જમણી બાજુ -200 ને -100 વડે ભાગતા આપણને મળે 2 આમ c = 2 મળે છે આમ આપણી પાસે જે બે અજ્ઞાત ચલ હતા તમથી એક ચલ ની કિંમત મળી ગઈ છે એટલે કે એક બાળક સરેરાશ 2 કપકેક ખાય છે હવે બીજો ચલ એટલે કે a શોધવા માટે આપણે શું કરીએ તે માટે અહી જે બે સમીકરણ છે તેમાંથી કોઈપણ એક સમીકરણ માં cની કિંમત મુકીએ અને સાદુરૂપ આપતા આપણને બીજો ચલ એટલે કે a ની કિંમત મળશે માટે હવે આપણે પહેલું સમીકરણ લઈએ જે છે 500a + 200c c ની કિંમત હવે આપણે જાણીએ છીએ કે c = 2 છે એ જમણી બાજુએ આપણે પાસે છે 2900 વધુ સાદુરૂપ આપતા આપણને મળશે 500a + 200 ગુણ્યા 2 બરાબર 400 = 2900 સમીકરણ ની બંને બાજુએ થી 400 બાદ કરીએ આમ બંને બાજુએથી 400 બાદ કરતા આપણને મળશે 400 માંથી 400 બાદ થઈ જશે ડાબી બાજુ ફક્ત 500a બાકી રહે જમણી બાજુ 2900 માંથી 400 બાદ કરતા આપણને મળે 2500 હવે a ને કર્તા બનાવવા સમીકરણ ની બંને બાજુએ 500 વડે ભાગાકાર કરીએ જેથી ડાબી બાજુએ 500 નો 500 સાથે છેદ ઉડશે જેથી ફક્ત a મળે અને જમણી બાજુ 2500 ભાગ્યા 500 બરાબર 5 મળે આમ રાજા ની સમસ્યા આપણે ઉકેલી લીધી છે a = 5 અને c = 2 મળે છે એટલે કે એક બાળક દ્વારા સરેરાશ 2 કપકેક ખવાય છે અને એક પુખ્ત વય ની વ્યક્તિ સરેરાશ 5 કપકેક ખાય છે અને હવે તમારા માન માં જે પાર્ટી કરવામાં આવશે તેમાં કેટલા લોકો આવશે તેની સંખ્યા ને આધારે રજા કપકેક મંગાવી શકશે.