બૈજીક રીતે સમીકરણ યુગ્મના ઉકેલની સંખ્યા

દ્રીચલ સુરેખ સમીકરણના કેટલા ઉકેલ મળે તે જાણવા માટે અલગ અલગ રીતો છે તેમાંથી એક રીત છે આલેખની રીત જો તેઓ એક જ રેખા પર મળે તો તેનું નામ અસંખ્ય ઉકેલ મળે જો સમીકરણની રેખાઓ એક બીજીને સમાંતર હોય તો ઉકેલ મળે નહિ અને જો એક જ બિંદુમાં બંને રેખાઓ છેદે તો એક જ ઉકેલ મળે પણ આપણે તે બીજ ગણિતની રીતે કરીશું તો ચાલો ગણતરી કરીને ઉકેલ મેળવીએ પહેલું સમીકરણ છે 5x - 9y = 16 બીજા સમીકરણમાં જુઓ ચાલો આપણે આ x વાળા પદનો લોપ કરીએ તે માટે બીજા સમીકરણને -1 સાથે ગુણીએ જેથી બીજા સમીકરણમાં -5x થઇ જશે અને આપણે xનો લોપ કરી શકાય બીજા સમીકરણના દરેક પદને -1 સાથે ગુણીએ આમ આપણને મળે -5x + 9y = -36 હવે બંને સમીકરણની ડાબીબાજુ અને જમણી બાજુનું સરવાળો કરીએ જેથી કોઈ નવું સમીકરણ મળશે 5x - 5x = 0 -9y + 9y = ફરીથી 0 પણ આપણે તે બીજી વખત નહિ લખીએ કારણ કે ડાબી બાજુના -9y + 9y = ફરીથી 0 પણ આપણે તે બીજી વખત નહિ લખીએ કારણ કે ડાબી બાજુના બંને પદનો લોપ થઈ ગયો એ બતાવવા આપણે એક 0 મુકીએ તો પણ ચાલે હવે બરાબરની જમણી બાજુએ જુઓ 16 - 36 = -20 આમ આપણને એક વિચિત્ર સમીકરણ મળ્યું જેમાં 0 = -20 આપેલ છે જુઓ કે આ સમીકરણમાં કોઈ પણ x કે y વાળું પદ બાકી રહ્યું નથી અને 0 એ ક્યારેય -20ને બરાબર હોય નહિ આમ x અને yની કોઈ પણ કિંમત માટે 0 = -20 મળે નહિ x અને y બંને ચલનો આ સમીકરણમાંથી લોપ થઈ ગયો આમ આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ મળે નહિ અને જો આપણે તેને આલેખની રીતે દર્શાવીએ તો તે બંને સમીકરણની રેખાઓ સમાંતર મળે માટે yની જુદી જુદી કિંમતો માટે તેમનો ઢાળ પણ સમાન જ મળે આમ તેમના ઉકેલ મળે નહિ કારણ કે તે એક બીજીને છેદશે નહિ ચાલો વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ નીચે આપેલ સુરેખ સમીકરણના કેટલા ઉકેલ મળે ચાલો તો પહેલા આ સમીકરણ લખીએ -6x + 4y = 2 હવે બીજા સમીકરણમાં જુઓ કે xનો લોપ કરી શકાય કે નહિ જુઓ કે પહેલા સમીકરણમાં x વાળું પદ છે -6x હવે જો તેનો લોપ કરવો હોય તો બીજા સમીકરણમાં આપની પાસે +6x હોવા જોઈએ તે માટે આપણે બીજા સમીકરણને 2 સાથે ગુણીએ બંને બાજુ 2 વડે ગુણતા આપણને મળે 3x ગુણ્યા 2 = 6x 2 ગુણ્યા -2y = -4y અને 2 ગુણ્યા -1 = -2 ફરીથી બંને બાજુના પાદોનો સરવાળો કરતા -6x + 6x = 0 +4y -4y = 0 બંને માટે એક જ વખત 0 લખીએ જમણી બાજુ છે 2 અને -2 તેની કિંમત પણ થશે 0 જુઓ આ આ પણ એક વિચિત્ર સમીકરણ મળ્યું 0 = 0 પહેલા ના ઉદામાં 0 = -20 હતું અને આ ઉદાહરણમાં 0 = 0મળે છે જુઓ આ સમીકરણમાં પણ x કે y વાળું પદ બાકી રહ્યું નથી આમ x અને yની કઈ જોડ માટે 0 = 0 મળે જુઓ કે 0 = 0 મેળવવા x કે yની કોઈ પણ કિંમતની જરૂર નથી કારણ કે 0 = હંમેશા 0 જ મળે આમ આ સમીકરણની જોડ માટે અસંખ્ય ઉકેલ મળે તેમ કહી શકાય એટલે કે તેમના ઉકેલનો ગણ અનંત ગણ છે તેમ પણ કહી શકાય જુઓ આ બંને સમીકરણ એક સરખા જ છે ગાણિતિક રીતે તે જુદા દેખાય છે પણ બીજા સમીકરણને જો -2 સાથે ગુણીએ તો બંને સમીકરણ સરખા જ થઇ જશે માટે તેમનો આલેખ પણ એક જ રેખા દર્શાવે જે દર્શાવે છે કે તેના અસંખ્ય ઉકેલ મળી શકે ચાલો આગળ જોઈએ નીચે આપેલ સમીકરણના ઉકેલ મેળવવા માટે યોગેશે ગણતરી કરી જેથી તેને સમીકરણ મળ્યું -5 = 20 તો આ સુરેખ સમીકરણના કેટલા ઉકેલ મળે હવે યોગેશે જે ગણતરી કરી છે તેના આધારે આપણને આ સમીકરણો ઉકલવાની જરૂર નથી તેને ઉકેલ મેળવ્યો છે જેમાં -5 = 20 મળે છે જે શક્ય નથી જેના આધારે કહ શકાય કે ઉકેલ મળે નહિ અને જો આલેખની રીતે જોઈએ તો કહી શકાય કે આપેલ સમીકરણોની રેખાઓ સમાંતર મળે જે ક્યારેય એક બીજાને છેદશે નહિ x y ની એવી કોઈ જોડ ન મળે જે આ સમીકરણોના ઉકેલ હોય વધુ એક ઉદાહરણ જોઈએ નીચે આપેલ સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવા માટે અમિતે ગણતરી કરી જેથી તેને સમીકરણ મળ્યું 5y = -5 તો આ સુરેખ સમીકરણના કેટલ ઉકેલ મળે 5y = -5 બંને બાજુ 5 વડે ભાગતા આપણને મળે y = -1 હવે જો yની કિંમત આ પહેલા સમીકરણમાં મુકીએ તો આ પદ થશે +2 બંને બાજુ 2 બાદ કરતા આપણને મળે 5x = 4 અને xની કિંમત મળે 4/5 અને આ બીજા સમીકરણમાં yની કિંમત -1 મુકતા આપણને મળે 5x - 3 = 1 બંને બાજુ 3 ઉમેરતા મળશે 5x = 4 ફરીથી xની કિંમત મળી 4/5 આમ આ સમીકરણનો એક જ ઉકેલ મળે x = 4/5 અને y = -1 નીચે આપેલ સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવા માટે લીનાએ ગણતરી કરી જેથી તેને સમીકરણ મળ્યું 0 = 0 જુઓ ફરી આપણને આ સમીકરણો પર જોવાની પણ જરૂર નથી 0 = 0 એ હંમેશા સાચું જ હોય માટે આપણને અસંખ્ય ઉકેલ મળી શકે એટલે કે તેનો ઉકેલ ગણ અનંત હોય.