સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ: સ્વતંત્ર vs. આશ્રિત

નીચે આપેલા સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ આશ્રિત એટલે ડિપેન્ડેન્ડ છે કે સ્વતંત્ર એટલે ઈન્ડિપેન્ડેન્ડ અહી આપણને બે સમીકરણો આપ્યા છે અને તેનો ઉકેલ મેળવતા પહેલા આપણે એ જોઈએ કે દીપેંડેડ અને ઇનદીપેંડેડ એટલે શું હું તેને શુસંગત કન્સિસ્ટન્ટ અને વિસંગત એટલે ઈનકન્સિસ્ટન્ટ સમીકરણ સાથે સરખાવીશ આપણી પાસે અહી દ્રીચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ છે જેને માટે ત્રણ શક્યતાઓ હોઈ શકે કે જે રેખાઓ અથવા સમીકરણને સાંકડી શકે હું ત્રણ શક્યતાઓ માટે ગ્રાફ દોરીશ આ મારા પ્રથમ x અક્ષ અને y અક્ષ છે આ x અક્ષ x અને આ y અક્ષ આ મારા બીજા x અક્ષ અને y અક્ષ છે x અક્ષ અને y અક્ષ x અને y અને આ ત્રીજી શક્યતા માટે x અક્ષ અને y અક્ષ છે આ x અક્ષ અને આ y અક્ષ કારણ કે દ્રીચલ સુરેખ સમીકરણ માટે ત્રણ શકયતાઓ છે હવે એવું હોઈ શકે કે બંને રેખાઓ એકજ બિંદુ માં છેદે આપણે તે કરીએ આ એક રેખા અને આ બીજી રેખા તો આ બંને રેખાઓ એકજ બિંદુમાં છેદે છે અથવા આપણી પાસે એવું પણ હોઈ શકે કે બંને રેખાઓ એક બીજાને સમાંતર હોય હવે આપણે તે પ્રમાણે દોરીએ આ એક રેખા અને આ બીજી રેખા બીજી રેખાનો ઢાળ સ્લોપ એજ છે પરંતુ તે થોડી ખસલી છે તેમના y અંતઃ ખંડ y ઇન્ટરસેપ જુદા જુદા છે અહી આપણને છેદ બિંદુ એકપણ મળતું નથી અને ત્રીજી શક્યતા એ હોઈ શકે કે બંને રેખાઓ એકજ હોય એટલે કે આ પ્રમાણે આ એક રેખા અને આ બીજી રેખા તેમના સ્લોપ અને y ઇન્ટરસેપ એકજ છે એટલે કે તે એકજ રેખા થઇ માટે તેનો છેદ બિંદુ અનંત ગણ હોય એક રેખાના દરેક બિંદુ બીજી રેખા પર હોય તમને થોડી સમજ આપવા અને આગળ ના વીડિઓ માં જોયું તે પ્રમાણે આવા સમીકરણ યુગ્મ જેમાં રેખાઓ એકબીજાને છેડતી નથી અને ઉકેલ ગણ ન મળે તેવા સમીકરણ યુગ્મ ને વિસંગત એટલે કે ઈનકન્સિસ્ટન્ટ કહેવાશે અને વિસંગત નું ગ્રુધી લેતા અને વ્યાખ્યા પરથી આ બંને ને આપણે આ બંને ને આપણે સુસંગત અથવા કન્સિસ્ટન્ટ કહીશું સુસંગતમાં બે શકયતાઓ આવેલી છે અહી માત્ર ઉકેલગણ એકજ છે બે ભિન્ન રેખાઓ એકજ બિંદુ માં છેદે છે અને અહી બંને રેખાઓ એકજ છે આ બંને શક્યતાઓ ને છુટી પડીએ તો આને આપણે સ્વતંત્ર એટલે કે ઈન્ડિપેન્ડેન્ડ અને આને આપણે આશ્રિત એટલે ડિપેન્ડેન્ડ કહીશું જયારે સમીકરણ યુગ્મ સ્વતંત્ર હોય ત્યારે બંને રેખાઓ એકબીજા પર આશ્રિત નથી તેઓ એકજ રેખા પણ નથી તેઓ બંને એક બિંદુ માં છેદે છે અને જયારે સમીકરણ યુગ્મ આશ્રિત હોય તો તે બંને રેખા એકજ રેખા થશે જે બિંદુ એક સમીકરણ ને સંતોષે તે બીજા સમીકરણ ને પણ સંતોષે હવે આ ઉપરથી આપણે એ નક્કી કરીએ કે અહી આપેલ સમીકરણ યુગ્મ આશ્રિત છે કે સ્વતંત્ર ધારો કે આપેલ સમીકરણો શુંસંગત છે તેઓ એકજ બિંદુમાં અથવા અનંત બિંદુમાં છેડશે અને સહેલા માં સહેલી રીત આપણી પાસે છે અહી આજે બીજું સમીકરણ છે તે ઢાળ અંતઃ ખંડ લુપ એટલે કે સ્લોપ ઇન્ટરસેપ ફોમ માં છે આપણને ખબર છે કે તેનો સ્લોપ ઋણ 2 અને y અંતઃ ખંડ 8 છે હવે આપણે આ પ્રથમ સમીકરણ ને સ્લોપ ઇન્ટરસેપ ફોમ માં લખીએ અને પછી જોઈએ કે તેમના ઢાળ અને y અંતઃ ખંડ જુદા છે કે નહિ તો આપણી પાસે 4x + 2y = 16 છે હવે આપણે બંને બાજુથી 4x ને સપટ્રેકટ કરી શકીએ આપણને ડાબી બાજુ y ને છુટો પડવો છે તો બંને બાજુથી 4x ને સપટ્રેકટ કરીએ આ પ્રમાણે તો હવે આપણી પાસે ફક્ત ડાબી બાજુએ 2y બાકી રહેશે અને જમણી બાજુએ મળશે -4x + 16 મેં અહી -4 16 થી પહેલા લખ્યું કારણ કે સ્લોપ ઇન્ટરસેપ ફોમ ની આ રીત છે હવે આપણે સમીકરણ ની બંને બાજુને 2 થી ડિવાઈડ કરીએ જેથી y ને છુટું પડી શકાય તો બંને બાજુ 2 થી ડિવાઈડ કરતા આ પ્રમાણે આપણને y = -4x ડિવાઈડ બાય 2 -2x + 16 ડિવાઈડ બાય 2 એટલે 8 મળે મેં આ ઉપર ના સમીકરણ માં બેઈઝીક રીત કરી છે એ કરતા મને y = -2 + 8 મળ્યું હવે તમે જોઈ શકો કે આ બંને સમીકરણ ના સ્લોપ સરખા છે -2 અને -2 અને તેમના y ઇન્ટરસેપ પણ સરખા છે 8 અને 8 જો હું આ બંને નો ગ્રાફ દોરું તો તે કઈંક આવો દેખાશે અહી આ x અક્ષ અને આ y અક્ષ આ y અક્ષ અને આ x અક્ષ હું તેને રફ્લી તો તે કઈંક આવો દેખાશે અહી આ જે પ્રથમ સમીકરણ છે તેનું y ઇન્ટરસેપ ધારો કે આ છે હું તેને રફ્લી દોરવા જઈ રહી છુ તો તે કઈંક આ પ્રમાણે નું દેખાશે આ રીતે અહી આ પ્રથમ સમીકરણ છે હવે બીજા સમીકરણ ણો ગ્રાફ પણ એજ રીતે આવશે કારણ કે તે બંને ના સ્લોપ અને y ઇન્ટરસેપ સરખા છે આ પ્રમાણે તો આબંને રેખાઓ એકજ છે એટલે કે આ બંને રેખાઓ આશ્રિત એટલેકે ડિપેન્ડેન્ડ છે આ બંને સમીકરણ યુગ્મ આશ્રિત એટલેકે ડિપેન્ડેન્ડ છે તેમનો ઉકેલ અનંત ગણ મળે કારણ કે તે એકજ રેખા છે