મુખ્ય વિષયવસ્તુ

Course: પૂર્વ બીજગણિત > Unit 13

Lesson 4: ઢાળ અંત:ખંડ સ્વરૂપનો પરિચય

ઢાળ અંત:ખંડ સ્વરૂપનો પરિચય

Google વર્ગખંડ

બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણના ઢાળ અંત:ખંડ સ્વરૂપ વિષે શીખો, અને તેઓની રેખાના ઢાળ અને y-અંત:ખંડને કેવી રીતે શોધવા તે શીખો.

આ લેશન પહેલાં તમારે શેની સાથે પરિચિત હોવાની જરૂર છે

તમારે એ જાણવું જોઈએ કે બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ શું છે. ખાસ કરીને, તમારે એ જાણવું જોઈએ કે કેટલાક સમીકરણનો આલેખ એક રેખા હોય છે. જો આ તમારા માટે નવી બાબત છે, અમારુ બે ચલ ધરાવતુ સમીકરણ ચકાસો .
તમારે સુરેખ સમીકરણના નીચે દર્શાવેલ ગુણધર્મથી પણ પરિચિત થવું જોઈએ: $y$ ‍-અંત:ખંડ અને $x$ ‍-અંત:ખંડ અને ઢાળ.

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું ઢાળ- અંત:ખંડનું સ્વરૂપ શું છે
રેખાના ઢાળ-અંત:ખંડ સમીકરણમાંથી તેના ઢાળ અને $y$ ‍-અંત:ખંડ કઈ રીતે શોધી શકાય
રેખાના ઢાળ અને $y$ ‍-અંત:ખંડ આપેલ હોય ત્યારે તેનું સમીકરણ કઈ રીતે શોધી શકાય

ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ શું છે?

ઢાળ-અંતઃખંડ એ સુરેખ સમીકરણનું એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ છે. તેનું નીચે પ્રમાણે એક સામાન્ય બંધારણ હોય છે . ડ્રમ રોલ ...

y = m x + b

અહી,

m

અને

b

એ કોઈ પણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ ઢાળ- અંત:ખંડના સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2.7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
એ સાચું છે કે આ સમીકરણ આગળના સમીકરણ કરતા અલગ છે કારણકે અચળ પદ—i.e., સાદી સંખ્યા— $x$ ‍-પદ પહેલા આવે છે.
છતાં, સરવાળોએ પરિવર્તનીય હોવાને કારણે, આ મૂળભૂત રીતે તો એક જ સ્વરૂપ છે. તમે એવું કહી શકો કે આ સમીકરણ $y = m x + b$ ‍ ને બદલે $y = b + m x$ ‍ સ્વરૂપે હોવું જોઈએ, પરંતુ આનો અર્થ એક સમાન જ છે.

બીજી બાજુ, આ સુરેખ સમીકરણો ઢાળ- અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં નથી:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

ઢાળ- અંત:ખંડ સ્વરૂપએ સુરેખ સમીકરણનું મુખ્ય સ્વરૂપ છે. ચાલો આમ શા માટે છે તે આપણે થોડું ઊંડાણમાં સમજીએ.

ઢાળ- અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં સહગુણક

આપણે તેને સ્પષ્ટ કરીએ અથવા સાદુરૂપ આપીએ તે પહેલા, ઢાળ- અંત:ખંડ સ્વરૂપનો ફાયદોએ છે કે તે રેખાની બે મુખ્ય વિશેષતા દર્શાવે છે.

ઢાળ $m$ ‍ છે.
$y$ ‍-અંત:ખંડનો $y$ ‍- યામ $b$ ‍ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેખાનો $y$ ‍-અંત:ખંડ $(0, b)$ ‍ પર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, રેખા

y = 2 x + 1

નો ઢાળ

2

અને

y

-અંત;ખંડ

(0, 1)

પર છે:

હકીકત એ છે કે આ સ્વરૂપ ઢાળ અને

y

-અંત:ખંડ આપે છે અને આથી તેને ઢાળ- અંત:ખંડ કહેવામાં આવે છે!

તમારી સમજ ચકાસો

પ્રશ્ન 1

$y = 5 x - 7$ ‍ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાનો ઢાળ શું છે?

પ્રશ્ન 2

$y = x + 9$ ‍ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાનો ઢાળ શું છે?

પ્રશ્ન 3

$y = 6 x - 11$ ‍ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાનો $y$ ‍-અંતઃ ખંડ શું છે?

પ્રશ્ન 4

$y = 4 x$ ‍ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાનો $y$ ‍-અંતઃ ખંડ શું છે?

પ્રશ્ન 5

$y = 1 - 8 x$ ‍ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાનો ઢાળ શું છે?

પ્રશ્ન 6

કઈ રેખાનો $y$ ‍-અંતઃ ખંડ $(0, 4)$ ‍ પર છે?

પ્રતિબિંબ સમીકરણ

જો કોઈ રેખા આપણને ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં આપી હોય તો આપણે તેનો ઢાળ કઈ રીતે શોધી શકીએ?

કોયડો 1

આમાંથી કયુ રેખાનું સમીકરણ હોઈ શકે?

કોયડો 2

એવી રેખાનું સમીકરણ લખો જેનો ઢાળ $10$ ‍ અને $y$ ‍-અંત:ખંડ $(0, - 20)$ ‍ હોય.

આ શા માટે કામ કરે છે?

ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં તે કેવી રીતે કામ કરે છે તેનું તમને આશ્ચર્ય થશે,

m

ઢાળ આપે છે અને

b

એ

y

-અંત:ખંડ આપે છે.

શું આ કોઈ જાદુ હોય શકે છે? સારું, તે ખરેખર કોઈ જાદુ નથી. ગણિતમાં, હમેશા તર્કસંગત વાતો હોય છે. આ વિભાગમાં આપણે સમીકરણ

y = 2 x + 1

નો ઉદાહરણ તરીકે ઉપયોગ કરી આ ગુણધર્મને સમજીશું.

શા માટે $b$ ‍ એ $y$ ‍-અંતઃખંડ છે

y

-અંત:ખંડ પર,

x

-નું મુલ્ય હમેશા શૂન્ય હોય છે. તો જો આપણે

y = 2 x + 1

નો

y

-અંત:ખંડ શોધવા ઈચ્છતા હોઈએ તો, આપણે

x = 0

મુકી

y

નો ઉકેલ મેળવવો જોઈએ.

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & x = 0 લેતા \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

આપણે એ જોઈએ છીએ કે

y

-અંત:ખંડ પર

2 x

બરાબર શૂન્ય બને છે, અને તેથી આપણને

y = 1

મળે છે.

જો આપણે

y = m x + b

નો

y

-અંત:ખંડ શોધવા માંગતા હોઈએ તો, આપણે

x = 0

મુકી

y

ની કિમત ઉકેલવી જોઈએ.

\begin{aligned} y & = m x + b \\ = m \cdot 0 + b & x = 0 લેતા . \\ = 0 + b \\ = b \end{aligned}

આપણે એ જોઈ શકીએ છીએ કે

y

-અંત:ખંડ પર

m x

શૂન્ય બને છે, અને તેથી આપણી પાસે

y = b

થશે. આ જ કારણે

b

હમેશા

y

-અંત:ખંડ આપશે.

શા માટે $m$ ‍ એ ઢાળ છે

ચાલો ફરી પાછુ આપણે એ બાબત તાજી કરીએ કે ઢાળ એ ખરેખર શું છે. ઢાળ એ રેખાના કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો

y

ના ફેરફારના છેદમાં

x

ના ફેરફારનો ગુણોત્તર છે.

ઢાળ = \frac{y માં થતો ફેરફાર}{x માં થતો ફેરફાર}

આપણે એવા બે બિંદુઓ લઈએ કે જેમાં

x

માં ફેરફાર ચોક્કસ

1

યુનિટ જેટલો છે, અને

y

નો ફેરફાર ઢાળ જેટલો છે.

ઢાળ = \frac{y માં થતો ફેરફાર}{1} = y માં થતો ફેરફાર

હવે આપણે એ જોઈએ કે સમીકરણ

y = 2 x + 1

માં

x

-નું મુલ્ય જો સતત

1

યુનિટ જેટલું વધે તો

y

-નું મુલ્ય કેટલું થાય.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

આપણે એ જોઈએ છીએ કે દર વખતે

x

નું મુલ્ય

1

યુનિટ જેટલું વધે છે,

y

નું મુલ્ય

2

યુનિટ જેટલું વધે છે. કારણકે

y

ની ગણતરીમાં

x

એ

2

નો અવયવી જણાય છે.

ઉપર જણાવ્યા પ્રમાણે

y

માં થતો ફેરફાર એ

x

માં થતા

1

યુનિટ ફેરફારને અનુરૂપ છે કે જે રેખાનો ઢાળ છે. આ કારણે ઢાળ

2

છે.

ચાલો આપણે જોઈએ કે સામાન્ય સમીકરણ

y = m x + b

માં જો

x

-નું મુલ્ય સતત

1

યુનિટ વધે તો

y

-ના મુલ્યમાં શું ફેરફાર જોવા મળે.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$b + 0 \cdot m$ ‍	$= b$ ‍
$1$ ‍	$b + 1 \cdot m$ ‍	$= b + m$ ‍
$2$ ‍	$b + 2 \cdot m$ ‍	$= b + m + m$ ‍
$3$ ‍	$b + 3 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m$ ‍
$4$ ‍	$b + 4 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m + m$ ‍

આપણે એ જોઈએ છીએ કે દર વખતે

x

નું મુલ્ય

1

યુનિટ જેટલું વધે છે,

y

નું મુલ્ય

m

યુનિટ જેટલું વધે છે. કારણકે

y

ની ગણતરીમાં

x

એ

m

નો અવયવી જણાય છે.

ઉપર જણાવ્યા પ્રમાણે

y

માં થતો ફેરફાર એ

x

માં થતા

1

યુનિટ ફેરફારને અનુરૂપ છે કે જે રેખાનો ઢાળ છે. આ કારણે

m

હમેશા ઢાળ આપે છે.

કોયડો 3

રેખાનું સમીકરણ પૂર્ણ કરો.

y =

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

લોગ ઇન

વડે ગોઠવવું:

No posts yet.

શું તમે અંગ્રેજી સમજો છો? ખાનએકેડેમીની અંગ્રેજીની સાઇટ પર વધુ ચર્ચા થતી જોવા માટે અહીં ક્લિક કરો.

પૂર્વ બીજગણિત

Course: પૂર્વ બીજગણિત > Unit 13

આ લેશન પહેલાં તમારે શેની સાથે પરિચિત હોવાની જરૂર છે

તમે આ પ્રકરણમાં શું શીખશો

ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ શું છે?

ઢાળ- અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં સહગુણક

તમારી સમજ ચકાસો

આ શા માટે કામ કરે છે?

શા માટે b‍ એ y‍ -અંતઃખંડ છે

શા માટે m‍ એ ઢાળ છે

વાર્તાલાપમાં જોડાવા માંગો છો?

શા માટે $b$ ‍ એ $y$ ‍-અંતઃખંડ છે

શા માટે $m$ ‍ એ ઢાળ છે