If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :12:58

ભૂમિતિમાં પદ અને નામ નિર્દેશન

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આ વિડિઓમાં આપણે ભૂમિતિમાં વપરાતા અમુક ચિન્હો વિશે ચર્ચા કરીશું,અમુક ચિન્હો એટલે કે અમુક બાબત વિષે ચર્ચા કરીશું, ભૂમિતિ, સૌ પ્રથમ આપણે પહેલા તો ભૂમિતિ એટલે શું ? તે સમજીએ, મારા મત અનુસાર સૌથી સારી શરૂઆત થશે કે ભૂમિતિ એટલે શું? અહીં આપણે સૌ પ્રથમ ભૂમિતિ નો અર્થ શું થાય? તે સમજીશું, આપણી પાસે મૂળ શબ્દ છે ભૂમિતિ અને ભૂમિતિમાથી આ પહેલો શબ્દ છે ભૂ , ભૂ જેમકે ભૂગોળ,ભૂશાસ્ત્ર ભૂસ્તરશાસ્ત્ર વગેરે તેનો અર્થ થાય છે, પૃથ્વી, ભૂ નો અર્થ થાય છે પૃથ્વી આપણે બીજો ભાગ જોઇએ જે છે મિતિ,મિતિ શબ્દ માટે જોઈએ તો તમે કહેશો કે મિતિ એ ત્રિકોણમિતિ અને માપન અથવા મીટરપદ્ધતિ છે, જે શબ્દ માપ અથવા માપવું પરથી આવ્યો છે આમ મિતિ એટલે માપન તેથી જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ભૂમિતિ વિશે ચર્ચા કરશે ત્યારે તેનો અર્થ થશે કે પૃથ્વીનું માપન જે ખરાબ નથી કારણ કે આ એક સામાન્ય વિષય છે ભૂમિતિમા આપણે ખરેખર તો આકારો, અવકાશ ,વસ્તુઓ કે જે આપણે જોઈ શકીએ છીએ તે એકબીજા સાથે શું સંબંધ ધરાવે છે? તે વિશે ભણીશું,જ્યારે આપણે ભૂમિતિ વિશે ભણવાનું શરૂ કરીશું ત્યારે આપણે તેમાં રેખા ,ત્રિકોણ ,વર્તુળ ,ખૂણાઓ વગેરે વિશે ભણીશું, આપણે જેમ જેમ આગળ વધીશું તેમ તેમ તેના વિશે ઊંડાણપૂર્વક શીખીશું પરંતુ તેમાં રચના અને ત્રિપરિમાણીય સમતલનો પણ સમાવેશ થાય છે આ બધું જ આપણે જોઇશું,આ બધી જ ગાણિતિક બાબતો છે કે જે આપણે ભૌમિતિક વર્ગીકરણ મુજબ સમજવાની છે તો આપણે પાયાથી શરૂઆત કરીએ અને પછી આગળ વધીશું જો આપણે અહીં ટપકાંથી શરૂઆત કરીએ તો અહીં આ એક નાનું ટપકું છે તે આ પડદા પર આવેલું નાનું ટપકું છે આપણે તેને બિંદુ કહીશું આમ ગાણિતિક વ્યાખ્યા મુજબ આને બિંદુ કહેવામાં આવે છે આપણે તેને વ્યાખ્યાયિત કરીએ,ગણિતની એક રમૂજી બાબત એ છે કે આપણે વ્યાખ્યા જાતે જ બનાવી શકીએ છીએ આપણે એમ કહી શકીએ છીએ કે કાચબા જેવું નાનું પ્રાણી છે પરંતુ આપણે નક્કી કર્યું છે કે આપણે તેને બિંદુ કહીશું તે આપણે રોજબરોજના વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લઈએ છીએ તેથી આ એક બિંદુ છે હવે બિંદુ વિશે કંઈક રસપ્રદ બાબત જોઈએ તે ફક્ત એક જ સ્થિતિ બતાવે છે આપણે એક બિંદુ પરથી ખસી શકતા નથી જો આપણે આ બિંદુ પર હોઈએ અને જો આપણે કોઈપણ દિશામાં ખસવું હોય તો આપણે આ બિંદુ પર લાંબા સમય સુધી રહી શકીશું નહીં આ એક તફાવત છે બિંદુઓ વચ્ચેનો, ઉદાહરણ તરીકે અહીં આ એક બિંદુ છે તેવી જ રીતે બીજું આ એક બિંદુ છે,આ ત્રીજું બિંદુ છે,આ ચોથું બિંદુ છે,આપણે જુદા જુદા બિંદુઓને સંદર્ભ તરીકે લઈને તે પ્રયત્ન કરી શકીએ છીએ આપણી પાસે અહીં લીલું બિંદુ,ભૂરું બિંદુ, ગુલાબી બિંદુ,પીળું બિંદુ છે ભૂમિતિમાં બિંદુનો ઉલ્લેખ કરવા માટે આપણે તેને નામ આપીશું અને તે નામ આપણે મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને આપી શકીએ છીએ ઉદાહરણ તરીકે આ બિંદુ A છે ,આ બિંદુ B છે,આ બિંદુ C છે ,આ બિંદુ D છે આપણે આ બિંદુ લઈએ અને આ બિંદુ ની આસપાસ વર્તુળ દોરીએ,તમે જાણો છે કો કે કેવું વર્તુળ? અહીં આપણે આ બિંદુની ફરતે વર્તુળ દોર્યું છે, જે ખરેખર ખુબ જ રસપ્રદ છે આપણે આ વસ્તુને બિંદુ કહી શકીએ પરંતુ તેની આસપાસ ફરી શકીએ નહીં આમ, આપણે બિંદુની આસપાસ ફરી શકતા નથી હવે જો આપણે એક બિંદુ પરથી બીજા બિંદુ પર જઈએ તો શું થાય? આપણે અહીં એક બિંદુ પરથી શરૂઆત કરીએ અને આપણે વચ્ચેના બધા જ બિંદુઓ લઈશું અને આ 2 બિંદુઓને આપણે જોડીશું તો આપણે આ વસ્તુ કરી શકીએ છીએ તો વિચારો કે આ બાબતને શું કહેવાય? બધા જ બિંદુઓ કે જે A અને B ની વચ્ચે સીધી લીટીમાં જોડાય છે આપણે રોજિંદા જીવનમાં જે ભાષા વાપરીએ છીએ તે વાપરીશું, તે મુજબ કંઈક આવી સીધી લીટી થશે આને આપણે રેખાખંડ કહી શકીએ છીએ આમ,આ રેખાખંડ છે, આ રેખાખંડ છે રોજબરોજના વ્યવહારમાં તમે લીટી કહી શકો છો પરંતુ ગાણિતિક ભાષામાં તેને રેખાખંડ કહેવામાં આવે છે કારણ કે આપણે આગળ જોઈશું તો જણાશે કે જ્યારે આપણે ગાણિતિક ભાષામાં વાત કરીશું તો રેખા અને રેખાખંડ એ બંને કંઈક અલગ અલગ બાબત છે તેથી આ રેખાખંડ છે તે જ પ્રમાણે આપણે બિંદુ D અને બિંદુ C ને પણ જોડી શકીએ છીએ આમ આ બિંદુ D અને C વચ્ચેના આ વચ્ચેની આ લીટીને પણ રેખા ખંડ કહે છે તેથી સ્પષ્ટ રૂપે આ ગુલાબી રેખાખંડ છે, આ પીળો રેખાખંડ છે,આમ આપણે આને રેખાખંડ નામ આપીએ છીએ,બિંદુની જેમ હવે આપણે રેખાખંડનું પણ નામ નિર્દેશન કરીએ, નામ આપવાની સારી રીત એ છે કે તમે તેના અંત્યબિંદુ પરથી તે લખી શકો છો માટે અહીં 2 બિંદુઓ છે બિંદુ A અને બિંદુ B પરંતુ બિંદુ A અને બિંદુ B પણ આ રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ છે કારણ કે તેનું પ્રારંભિક અને અંત્યબિંદુ A અને B છે, ચાલો તો તે લખીએ, આમ આ રેખાખંડ માટે A અને B બંને અંત્યબિંદુઓ છે, બંને અંત્યબિંદુઓ છે, ગણિતમાં તેને અંત્યબિંદુ કહેવું પડે છે કારણ કે તે નામ ખરેખર સારું છે ફરીથી આપણે આ રેખાખંડને નામ નિર્દેશિત કરીએ કે જેમાં તેના આ બંને નામ આ બંને અંત્યબિંદુઓ છે રેખાખાંડને નામ આપવાનો એક સારો ઉપાય છે કે તેના અંત્યબિંદુઓ લખીએ તો પહેલા આ એક રેખાખંડ માટે તેના અંત્યબિંદુઓ લખીશું અને રેખાખંડ દર્શાવવા માટે આ રીતે તેના ઉપર એક લીટી દોરીશું અહીં નીચેના રેખાખંડ માટે પણ તેવું જ થશે તેના અંત્યબિંદુના નામ લખીશું અને તેની ઉપરની લીટી કરીશું જે દર્શાવે છે કે તે રેખાખંડ છે આને બીજા નામથી પણ લખી શકાય રેખાખંડ DC અથવા રેખાખંડ CD ,તે જ પ્રમાણે આને AB પણ કહી શકાય અને રેખાખંડ BA પણ કહી શકાય કે આ બંને સમાન બાબત જ છે હવે તમે કહેશો કે અમને આટલી બાબત શીખવાથી સંતોષ થયો નથી કે જ્યાં ફક્ત A અને B વચ્ચેનું અંતર જ લેવામાં આવે છે હવે આ ખરેખર એક નવો રસપ્રદ ખ્યાલ છે જ્યારે આપણે ફક્ત બિંદુ A પર હોઈએ છીએ એટલે કે જ્યારે આપણે ફક્ત કોઈપણ એક બિંદુ પર હોઈએ છીએ અને આપણે આગળ જઇ શકતા નથી અથવા તો કોઈ પણ દિશામાં અંતર કાપી શકતા નથી તો તે બિંદુ વગર આપણી પાસે કોઈ જ વિકલ્પ નથી એટલે કે અંદર સફર કર્યા સિવાય કોઇ જ ઉપાય નથી આપણે ઉપર નીચે કે ડાબી જમણી બાજુ ખસી શકતા નથી ફક્ત એક જ બિંદુ પર રહેવું પડે છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે બિંદુ એ શૂન્ય પરિમાણ ધરાવે છે , શૂન્ય પરિમાણ ધરાવે છે હવે આપણી પાસે છે આ એક વસ્તુ જે છે રેખાખંડ અને આ રેખાખંડ માટે આપણે કહી શકીએ કે આપણે ઓછામાં ઓછુ ડાબી કે જમણી તરફ અથવા રેખાખંડ ઉપર જઈ શકીએ છીએ આપણે A પરથી B પર અથવા B પરથી A પર જઈ શકીએ છીએ તેથી આપણે રેખાખંડ પર આગળ કે પાછળ જઈ શકીએ છીએ તેથી આપણે કહી શકીએ કે રેખાંખંડ એ એક પરિમાણ ધરાવે છે એક પરિમાણ્વીય ખ્યાલ છે આ એક સારો ખ્યાલ છે આ સંપૂર્ણ રીતે એક રેખાખંડ છે કારણકે આપણે આ રેખાખંડની ઉપર કે આ રેખાખંડની નીચે જઈ શકતા નથી જયારે તે ખરેખર હોય તો રેખાખંડ માટે આપણે કંઈપણ વિચારી શકીએ છીએ અથવા તો અમુક પ્રકારની લાકડીઓ છે કે જે સીધી હોય છે પરંતુ તેમાં ખરેખર તો તેની પહોળાઈ હોય છે પરંતુ ભૂમિતિમાં રેખાખંડની પહોળાઈ હોતી નથી,ભૂમિતિમાં રેખાખંડની ફક્ત લંબાઈ જ હોય છે.આ તેની લંબાઈ છે,ફક્ત લંબાઈ જ હોય છે તેથી આપણે લંબાઇની દિશામાં ખસી શકીએ છીએ તેથી આપણે કહ્યું કે રેખાખંડ એ એક પરિમાણ ધરાવે છે એટલે કે તે એક પરિમાણ્વીય ખ્યાલ છે અને બિંદુને આપણે બધી દિશામાં ખસી શકતા ન હોવાથી તે શૂન્ય પરિમાણ ધરાવતો ખ્યાલ છે જ્યારે રેખાખંડમા આપણે સીધી દિશામાં આગળ પાછળ ખસીએ છીએ ત્યારે તે ફક્ત તેની લંબાઈ જ હોય છે તો તેને કઈ રીતે લખી શકાય આમ રેખાખંડ લખવા માટે તેની ઉપર આ રીતે ફક્ત એક લીટી કરીને તેનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે જો આપણે AB ની ઉપર ફક્ત લીટી કરીએ તો તે કહી શકાય કે તે રેખાખંડ છે જો આપણે એમ કહીએ કે AB બરાબર 5 એકમ છે અથવા 5 સેમી. અથવા 5 મીટર કઈ પણ હોઇ શકે 5 એકમ દર્શાવે છે તો તેનો અર્થ એ થાય કે A અને B વચ્ચેનું અંતર 5 છે એટલે કેઆ રેખાખંડ AB ની લંબાઈ પાંચ છે હવે આપણે આ રેખાખંડ ને આગળ લંબાવીએ આપણે તેને ફક્ત એક જ દિશામાં આગળ લંબાવીશું તો આપણે શરૂઆત બિંદુ A પરથી કરીએ અને આપણે બિંદુ A પરથી શરૂ કરીને બિંદુ D ની દિશામાં તેને આગળ વધારીએ છીએ આપણી પાસે ફક્ત જવાનો એક જ રસ્તો છે આપણે A ની દિશામાં આગળ વધી શકીશું નહીં પરંતુ D ની દિશામાં જ આગળ વધી શકીએ છીએ આ એક નાની બાબત છે જે આપણે અહીં જોઈ જે રેખાખંડ જેવો જ દેખાય છે પરંતુ આપણે તેના અંત્યબિંદુએથી તેને આગળ એક તરફ લંબાવ્યું છે આપણે અહીં આ બાબતને કિરણ કહી શકીએ છીએ આમ ગાણિતિક ભાષામાં તેને કિરણ કહે છે કિરણના બિંદુને પ્રારંભિક અથવા ઉદ્ભવ બિંદુ કહે છે આમ કિરણના શરૂઆતના બિંદુને પ્રારંભિકબિંદુ અથવા ઉદ્ભવબિંદુ અથવા શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે આ શબ્દ ઘણી બધી વખત જોવા મળશે આપણે બીજા વિષયમાં ઉદ્ભવબિંદુ વિષે જોયું છે આ કિરણનું ઉદ્ભવબિંદુ છે પરંતુ રેખાખંડમાં તે ઉદ્ભવબિંદુ હોતું નથી તેથી આપણે તેને આ રીતે નામ આપીએ છીએ અને કિરણ વિશે રસપ્રદ બાબત એ છે કે તે પણ એક પરિમાણીવ્ય આકૃતિ છે પરંતુ આપણે અંત્યબિંદુથી તેને ફક્ત એક તરફ લંબાવી છે અને આ રીતથી આપણે કિરણોનો ઉલ્લેખ કરી શકીએ છીએ આ કિરણને નામ નિર્દેશીત કરવા માટે તેના 2 બિંદુઓ નામ લખીને તેના ઉપર એક લીટી કરીને તીર જેવી નિશાની બનાવવામાં આવે છે કે જે દર્શાવે છે કે તે એક હારમાળા અથવા એરે છે અને આ સ્થિતિમાં આપણે મૂળાક્ષરોને કયા ક્રમમાં મુકીશું તે મહત્વનું છે જો આપણે કિરણ માટે BA લખીએ તો તે બીજું કિરણ બની જાય છે તે દર્શાવે છે કે B બિંદુ પરથી શરૂ થઈને A બિંદુથી આગળ વધે છે આમ ખરેખર અહીં આપણે જે દોર્યું છે તે કિરણ DA નથી તે કિરણ AD છે હવે છેલ્લી બાબત મને ખબર છે કે તમે શાના વિષે વિચારો છો? તમે વિચારો છો કે આપણે આ બંને બિંદુઓની બંને તરફ લીટીને લંબાવીએ તો શું થાય? તો ચાલો તેના વિશે સમજીએ આપણે આકૃતિમાં નહીં દોરીએ કારણકે અહીં જગ્યા નથી આપણી પાસે એક બિંદુ છે બિંદુ E અને બીજું બિંદુ છે F અને એક લીટી છે જે બિંદુ E અને F બંનેમાંથી પસાર થાય છે અને તે બંને દિશામાં આગળ વધે છે જ્યારે આપણી પાસે આપણે ભૂમિતિક ભાષામાં વાત કરીશું તો આ બાબતને નામ આપી શકાય છે રેખા માટે ભૂમિતિક ભાષામાં આ બાબતને રેખા નામ આપવામાં આવે છે ધ્યાન રાખો કે રેખાનો ક્યારેય અંત આવતો નથી તે બંને દિશામાં આગળ વધે છે જ્યારે રેખાખંડનો અંત આવે છે તેના પાસે રેખાખંડમા 2 અંત્યબિંદુઓ હોય છે જ્યારે રેખાને અંત્યબિંદુ હોતા નથી કોઈક વખત ફક્ત ખંડ અથવા ભાગ વડે પણ તેને નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે તેથી રેખા EF ને આ રીતે દર્શાવી શકાય EF અને રેખા દર્શાવવા માટે બંને તરફ તીરની નિશાની હોય તેવી લીટી ઉપર દોરવામાં આવે છે જે વસ્તુ તમે અહીં જુઓ છો તે બધી જ ભૂમિતિમાં ભણવામાં આવશે કારણ કે આપણે બાજુઓ આકાર અને 2 બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર સંબંધિત ઘણી બધી બાબતો ભણવાના છીએ જ્યારે તમે આમાંથી કોઈપણ બાબત વિષે વાત કરશો કે જેની કોઈ માર્યાદિત લંબાઈ છે તો તે હંમેશા એક અથવા બંને દિશામાં આગળ વધશે નહીં તો યાદ રાખવું કે તે હંમેશા રેખાખંડ હોય છે હવે આપણે થોડા નવા શબ્દો કે નવી બાબતો વિશે શીખીએ કે જે તમે ભૂમિતિમાં આગળ ભણશો, જો આપણે અગાઉ મુજબ રેખા વિશે વિચારીએ હું હંમેશા કિરણ દોરીશ તો મારી પાસે એક બિંદુ છે એક બિંદુ છે x બીજું બિંદુ છે y અને તેને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે જો આપણી પાસે આ બંનેની વચ્ચે વધુ એક બિંદુ હોય,આ એક બિંદુ કે જેને આપણે z વડે દર્શાવીએ છીએ તો આ એક નવા શબ્દ વિષે જાણીશું અહીં x y z એ ત્રણેય એક જ રેખા પર આવેલા છે રેખા દર્શાવવા માટે આપણે બંને તરફથી તેને લંબાવીશું આમ x y z ત્રણેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે અહીં આ રેખાખંડ x y છે અને આપણે એક નવો શબ્દ ભણીશું તે છે કે અહીં x y z એ ત્રણેય સમરેખ છે સમરેખનો અર્થ એ થાય કે તે ત્રણેય એક જ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ છે તેથી આ ત્રણેય બિંદુઓ સમરેખ છે તેમ આપણે કહી શકીએ તેવો એક જ રેખા પર આવેલા છે અથવા તેઓ એક જ રેખાખંડ xy પર આવેલા છે xz બરાબર zyz છે અને તેઓ સમરેખ છે તેથી xz વચ્ચેનું અંતર જેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે અને yz વચ્ચેનું અંતર બંને સમાન છે આ નિશાની દર્શાવે છે કે બંને સમાન છે આમ, રેખાખંડ x z બરાબર રેખાખંડ yz છે એટલે કે આ બંને અંતર સમાન છે અને આપણે કહી શકીએ છીએ કે અહીંયા z બિંદુ એ x અને y બંને બિંદુઓની ચોક્કસ વચ્ચે આવેલું બિંદુ છે અને તે xy રેખાખંડના 2 સરખા ભાગ કરે છે,તેથી આ પરિસ્થિતિમાં આપણે કહી શકીએ કે z એ ,z એ રેખાખંડ xy નું મધ્યબિંદુ છે,.મધ્ય બિંદુ છે એટલે કે તે વચ્ચે આવેલું બિંદુ છે મધ્યબિંદુ નામ સૂચવે છે કે તે બરાબર વચ્ચે આવેલું બિંદુ છે હવે સમાપ્ત કરીએ તે પહેલા જોઈએ કે શૂન્ય પરિમાણ મારી વસ્તુ એટલે બિંદુ,એક પરિમાણ્વીય વસ્તુ એટલે રેખા , રેખાખંડ , કિરણ વગેરે તમને થતું હશે કે તો દ્વીપરિમાણીય વસ્તુ એટલે શું? દ્વિપરિમાણીય આ બાબત નો અર્થ એ થાય કે તમે આગળ પાછળ ઉપર નીચે બંને દિશામાં જઈ શકો છો આ વિડીઓની સ્ક્રીન કે જે તમે જુઓ છો તે દ્વિપરિમાણીય વસ્તુ છે આપણે તેમાં ડાબી જમણી બાજુ અને ઉપર-નીચે બંને બાજુ જઈ શકીએ છીએ ફક્ત ડાબી જમણી બાજુ જઈ શકે તો તે એક પરિમાણ્વીય હશે અથવા ઉપર નીચે જઇ શકે તો પણ તે એક પરિમાણ્વીય થશે તેથી અહીંના સપાટીને જુઓ કે જે ખરેખર દ્વિપરિમાણીય છે તેમાં આપણે ઉપર-નીચે, ડાબી જમણી બાજુ જઈ શકીએ છીએ માટે આવી વસ્તુને એટલે કે આવી બાબતને 2 પરિમાણીય, 2 પરિમાણીય વસ્તુ અથવા બાબત કહેવામાં આવે છે અને તેને આપણે ગાણિતિક ભાષામાં સમતલ નામ વડે દર્શાવીએ છીએ આમ આ એક સમતલ છે જો તમે કાગળનો નાનો ટુકડો લો અને તેને હંમેશ માટે એક જ દિશામાં વિસ્તારો તો તેને ભૌમિતિક ભાષામાં સમતલ તરીકે ઓળખી શકાય છે જો તમે કાગળનો ટુકડો લો તો તે કંઈકે આવું દેખાય છે અને તેને હંમેશ માટે એક જ દિશામાં વિસ્તારો તો તે સમતલ તરીકે ઓળખાશે,કાગળનો ટુકડો જે પોતે એક મર્યાદિત છે જેને તમે ક્યારેય ભૂમિતિક રૂપમાં જોઈ શકો નહીં પરંતુ તે આપણે તેને અનુરૂપ દોરીએ તો તે કંઈક આવું દેખાશે અને તે એક સમતલ તરીકે વર્તશે કારણકે તે સમતલનો જ એક ભાગ છે હવે જો આપણી પાસે 3 પરિમાણ હોય તો ત્રિપરિમાણીય સમતલ બનશે,ત્રિપરિમાણીય અવકાશ જેમાં તમે ફક્ત ડાબી જમણી તરફ જ નહીં પરંતુ ઉપર નીચે પણ જઈ શકો છો તથા તમે અંદર અને બહાર પણ જઈ શકો છો એટલે કે આ પ્રકારનું પણ વિસ્તાર મળે છે જે હું અહીં દોરવાની કોશિશ કરું છું તમે તે વિસ્તારની અંદર પણ જઈ શકો છો અને બહાર પણ આવી શકો છો આ રીતે તમે ગણિતમાં આગળ અને આગળ જશો તેમ અને તમે આગળ અભ્યાસ પણ કરશો કે 3 કરતાં વધુ પરિમાણ પણ