જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

પાયથાગોરસના પ્રમેયની ભાસ્કરની સાબિતી

12મી સદીના ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કર દ્વારા વિકસિત પાયથાગોરસના પ્રમેયની આકૃતિ સાથેની એક સુંદર સાબિતી. સલ ખાન દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આ વીડિઓ માં આપને 12 મી સદી માં થઇ ગયેલા ભારતીય ગનીત્શાશ્ત્રી ભાસ્કર દ્વારા આપવા માં આવેલા પાયથાગોરસના પ્રમેય વિષે ભણીશું આપને તેની શરૂઆત એક ચોરસ થી કરીશું જે હું અહી દોરી રહી છું અપને તેને અમુક અંશે નમેલો હોઈ તે રીતે દોરીએ કારણ કે તે કદાચ થોડું સરળ થશે હું તેને અહી ઘણી સારી રીતે દોરવાની કોશિશ કરી રહી છું તો તે કૈક આવો દેખાશે અને આ ચોરસ હોવાથી તેનો આ ખૂણો આ ખૂણો આ ખૂણો અને આ ખૂણો કાત્ખુનો થશે આપની પાસે જે ચોરસ છે તેની બધી જ બાજુઓ ના માપ સમાન છે આપને ધરી લઈએ કે તેની લંબાઈ c છે આ દરેક બાજુ ની લંબાઈ c છે અને હવે હું આ ચોરસ ની અન્દેર નાહના નાહના 4 ત્રિકોણ બનાવવા જઈ રહી છું તેના માટે અહી થી હું એક સીધી લીટી દોરીસ જે અહી સુધી લામ્બવીસ અને અહી થી એક ત્રાસી લીટી દોરીસ માટે આ કાત્ખુનો થશે હવે તે જ પ્રમાણે અહી આ શીરો બિંદુ થી ઉપર સુધી જઈશું માટે આ પણ કાત્ખુનો થશે તેજ પ્રમાણે અહી થી એક લીટી દોરીશું તેથી આ કાત્ખુનો થશે અને આ પણ કાત્ખુનો થશે તો આપને નિયમે ચોરસ માંથી ચાર કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવિયા અને તેની વચ્ચે આપની પાસે કૈક લંબચોરસ અને ચોરસ જેવું લાગે છે તે આપને હમણાં કહી શકીએ નહિ કે આ ચોરસ છે હવે આપને એ જોવાનું છે કે શું આ બધા જ કાટકોણ ત્રિકોણ સમરૂપ છે હા તે હોઈ શકે કારણકે બધા કર્ણ ની લંબાઈ સમાન છે આની લંબાઈ સમાન છે અને કાત્ખુના ની સામે ને બાજુ ને કર્ણ કેહવામાં આવે છે એટલે અહી દરેક કર્ણ ની લંબાઈ સમાન છે તેમની લંબાઈ c જેટલી છે અહી દરેક ત્રિકોણ ના અનુરૂપ ખૂણા ઓ એકરૂપ છે જો અપની પાસે અનુરૂપ બાજુ અને અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ હોઈ તો આ દરેક ત્રિકોણ એકરૂપ થશે હવે આપને ધરી લઈએ કે અહી આજે ખૂણો છે તે થીતા માપ નો છે તો અહી આ ખૂણો ૯૦ ઓછા થીતા માપ નો થશે કારણકે આ બંને ખૂણા કોતીકોન ના ખૂણા છે આ બંને ભેગા થઈને કાત્ખુનો બનાવે છે હવે જો આ ખૂણો ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો હોઈ અને આનો અને આનો સરવાળો ૯૦ અંશ થવો જોઈએ કારણકે આપની પાસે આ ૯૦ અંશ નો ખૂણો વધે છે ત્રિકોણ ના બધા ખૂણા ના માપ નો સરવાળો 180 અંધ થાય છે માટે અહી આ ખૂણો થીતા માપ નો થશે હવે જો આ ખૂણો થીતા માપ નો હોઈ તો અહી આ ખૂણો ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો થશે જો આ ખૂણો ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો હોઈ તો અહી આ ખૂણો થીતા માપ નો થશે તેવી જ રીતે જો આ ખૂણો થીતા માપ નો હોઈ તો અહી આ ખૂણો ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો થશે જો આ ખૂણો ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો હોઈ તો અહી આ ખૂણા નુ માપ થીતા થશે અને જો આ ખૂણો થીતા નો હોઈ તો અહી આજે ખૂણો છે કે ૯૦ માયનસ થીતા માપ નો થશે આમ આપને જોઈ શકીએ કે આ બધા જ ત્રિકોણ માં 3 ખૂણા ઓ થીતા 9૦ માયનસ થીતા અને ૯૦ અઊન્શ ના છે આમ આ દરેક ત્રિકોણ ના ખૂણા ઓ ના માપ સમાન છે અને તેના કર્ણ ના માપ પણ સમાન છે આમ આ ચારે કાટકોણ ત્રીકોનો એકરૂપ થશે આપને હવે ધરી લઈએ કે આ ત્રિકોણ ની લાંબી બાજુ ઓ ની લંબાઈ b જેટલી છે એટલે કે આ દરેક બાજુ ઓ ની લંબાઈ જેને હું ભૂરા રંગ વડે દર્શાવી રહી છું તે બધી જ બાજુ ઓ લંબાઈ b જેટલી છે ત્રિકોણ ની લાંબી બાજુ ઓ ની લંબાઈ એટલે કે અહી આ લંબાઈ આ માપ b જેટલું થશે અને તેવી રીતે આ દરેક નાહની બાજુઓ ની લંબાઈ કે જેને હું કેસરી રંગ વડે દર્શાવી રહી છું આ દરેક નાહની બાજુ ઓ નું માપ અહી આ માપ a જેટલું થશે આમ આ ઉંચાઈ અથવા વેધ ની માબાઈ a છે હવે આપને કૈક રસપ્રદ કરીએ સવ પ્રથમ આપને આ અખા ચોરસ નું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ તો આ અખા ચોરસ નું ક્ષેત્રફળ c ના પદ માં શું થશે તો આ c ગુણ્યા c નો ચોરસ છે એટલે કે અહી તેનું ક્ષેત્રફળ અહી આખા ચોરસ નું ક્ષેત્રફળ એ c ગુણ્યા c એટલે કે c નો વર્ગ થશે હવે આપને આ દરેક માંથી ૨ ત્રીકોનો ને ગોઠવીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધી તેનો સરવાળો કરીએ અને તે આપણને a અને b ના પદ માં મળશે તે પરથી આપણને પાયથાગોરસ નો પ્રમેય મળશે તે માટે સવ પ્રથમ આપને આ ચોરસ ને કોપી કરીને પેસ્ટ કરીએ આ પ્રમાણે હવે આપને અહી આ ડાબી તરફ ના ઉપર ના ભાગ ને નીચે જમણી બાજુ મુકીશું તે માટે આપને અહી આ ત્રિકોણ ને કોપી કરીને કટ કરીશું અને પછી અહી પેસ્ટ કરીશું આ પ્રમાણે તો અહી ભુંસાઈ ગયેલી લાઈન ને વ્યવસ્થિત દોરીએ આ અને આ બાજુ કે જે હવે અહી છે માટે આપને અહી આ ભાગ ને ઉપર થી અહી મુકયો આ પ્રમાણે હવે તેજ રીતે અહી આ ત્રિકોણ ને આપને અહી નીચે મુકીશું તો ફરીથી અહી આ ત્રિકોણ ને કટ કરીને તેને કટ કરીને અહી પેસ્ટ કરીએ તેને અહી આ પ્રમાણે પેસ્ટ કરીએ કૈક આ રીતે આ ભુંસાઈ ગયેલી બાજુ ઓ ને વ્યવસ્થિત દોરીએ કૈક આ પ્રમાણે માટે આપને આ ત્રિકોણ ને ખસેડીને અહી મુક્યો એટલે કે અહી આજે ત્રિકોણ છે આ ત્રિકોણ તે હવે અહી છે આ પ્રમાણે તેવી જ રીતે અહી આજે ત્રિકોણ છે તે ત્રિકોણ અહી છે આ પ્રમાણે અને પછી આ વચ્ચે નો ભાગ કે જે અહી છે તે આ છે આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ આ આમ આપને બધા જ ભાગ ને ફરીથી ગોથાવિયા હવે આપને આ નવી આકૃતિ નું ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકીએ આ મારો તમારા માટે એક સવાલ છે જે આપને મૂળ આકૃતિ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું જ મળવુ જોઈએ આપને તેને a અને b ના પદ માં મેળવી શું હવે આપને અહી આ નીચે ની બાજુ ની લંબાઈ શોધી શકીએ તો અહી આ નીચે ની બાજુ ની લંબાઈ આ લંબાઈ શું થશે આ લંબાઈ એ b છે અને આ લંબાઈ a છે માટે આ આખી લંબાઈ a વત્તા b જેટલી થશે હવે અહી આ બાજુ ની લંબાઈ એ આ બાજુ ની લંબાઈ જ છે એટલે કે અહી આ લંબાઈ પણ a થશે તો આપને અહી a ગુણ્યા a નો ચોરસ બનાવી શકીએ આપને અહી a ગુણ્યા a નો ચોરસ જેને હું બતાવી રહી છું તે બનાવી શકીએ માટે અહી આ ચોરસ નું ક્ષેત્રફળ a નો વર્ગ થશે તો હવે બાકી રહેલા ભાગ નો ક્ષેત્રફળ શું થશે જો અહી આ લંબાઈ a હોઈ તો અહી આ લંબાઈ પણ a જ થશે અને જો પછી આખી લંબાઈ a વત્તા b હોઈ તો અહી આ બાકી રહેલા ભાગ ની લંબાઈ b જેટલી થશે માટે આ આખા ભાગ નું ક્ષેત્રફળ જેને હું અહી ભૂરા રંગ વડે બતાવી રહી છું આ આખા ભાગ નું ક્ષેત્રફળ b ગુણ્યા b એટલે કે b નો વર્ગ થશે આ આખી જ આકૃતિ નું ક્ષેત્રફળ a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ થશે અને તેના બરાબર c નો વર્ગ કારણકે આ ના બરાબર આનું જ ક્ષેત્રફળ થાય આ બંને આકૃતિ ઓ નો ક્ષેત્રફળ સમાન છે પરંતુ અહી આપને તેના ભાગ ને વ્યવસ્થિત ગોઠવ્યું છે અને આ પાયથાગોરસ ના પ્રમેય ની સાબિતી ભાસ્કરે આપને આપી હતી