સમરૂપતા નો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરસ પ્રમેયને સાબિત કરીએ

આપણી પાસે જે અહીં ત્રિકોણ છે ટ્રાએંગલ છે તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે તે રાઈટ ટ્રાએંગલ છે કારણ કે તેમાં 90 ડિગ્રીનો ખૂણો છે અથવા તેમાં કાટખૂણો એટલે કે રાઈટ એંગલ છે હવે આપણે કહીએ કે આ રાઈટ ટ્રાએંગલની સૌથી મોટી બાજુ જે આ 90 ડિગ્રીના ખૂણાની સામેની બાજુ છે આપણે તેને કર્ણ એટલે કે હાઇપોટેનિયસ કહીએ અને હું આ વિડિઓ દ્વારા રાઈટ ટ્રાયેંગલની બાજુઓની લંબાઈ એટલે કે લેંથ વચ્ચે સંભંધ સાબિત કરવા મંગુ છું તો આપણે આ AC ની લંબાઈ એટલે કે લેન્થને A કહીએ આ BC ની લેન્થને D કહીએ અને આ AB હાઇપોટેનિયસની લેન્થને C કહીએ હવે આપણે આ A B અને C ના સંભંધ વિશે સમજીએ અને તે કરવા માટે સૌ પ્રથમ એક બીજી રેખા એટલે કે લાઈન અથવા રેખાખંડ એટલે કે લાઈન સેગ્મેન્ટ રચીસ જે આ બિંદુ c અને કર્ણની વચ્ચે હશે આ પ્રમાણે અને તે અહીં કાટખૂણે છેદશે આપણે આ બિંદુને D કહીએ અને જો તમે એવું વિચારો કે તમે આ હંમેશા કેવી રીતે કરી શકો તો તમે એવું વિચારી શકો કે તમે આખા ટ્રાએંગલને એ રીતે ફેરવો અને આ તેની સાબિતી થશે નહિ પરંતુ તમને આ બિંદુ કેવી રીતે મળે છે તેનો સામાન્ય ખ્યાલ થશે તો હું અહીં આ ટ્રાયેંગલને આ પ્રમાણે ફેરવું એટલે કે રોટેટ કરું આ પ્રમાણે આપણે હવે હાઇપોટેનિયસ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ આ બિંદુ B છે અને આ બિંદુ A છે આપણે આ સમગ્ર બાબતને અહીં રોટેટ કરી અને આ બિંદુ C છે અને તમે એવું વિચારી શકો કે કોઈ પથ્થરને દોરીથી બધીને બિંદુ C પરથી એવી રીતે ફેંકવામાં આવે છે કે જેથી તે આ હાઇપોટેનિયસ સાથે કાટખૂણો બનાવે રેખાખંડ CD લખવા માટે આપણે આ પ્રમાણે કરીએ જ્યાં આપણે આ બિંદુને D કહીએ મેં આ શા માટે કર્યું તે જાણવા આપણે આ બંને સમરૂપ ત્રિકોણ એટલે કે સિમિલર ટ્રાયેંગલ વચ્ચેના રસપ્રત સબંધોને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીએ કારણ કે આપણી પાસે અહીં 3 ટ્રાયેંગલ છે ટ્રાયેંગલ ADC ટ્રાયેંગલ DBC અને આ આખો ટ્રાયેંગલ ABC આપણે આ ત્રોણેય ટ્રાયેંગલ વચ્ચેની સમરૂપતા એટલે કે સિમીરાંટી સાબિત કરવાની કોશિશ કરીએ હું તમને કહું કે ADC એ આ મોટા ટ્રાયેંગલને સિમિલર છે કારણ કે તે બંનેમાં આ રાઈટ એંગલ છે ADC નો રાઈટ એંગલ અહીં છે કારણ કે જો આ ખૂણો 90 ડિગ્રીનો હોય તો આ ખૂણો પણ 90 ડિગ્રીનો થાય કારણ કે તેઓ એક બીજાના પૂરક એટલે કે સપ્લીમેન્ટ છે અને તેમનો સરવાળો 180 ડિગ્રી થાય તેથી આ બંનેમાં રાઈટ એંગલ છે નાના ટ્રાએંગલનો રાઈટ એંગલ અહીં છે અને મોટા ટ્રાયેંગલનો રાઈટ એંગલ અહીં છે અને પછી એ બંનેમાં ખૂણો DAC અને BAC એ સામાન્ય ખૂણો છે આપણે આ નાના ટ્રાયેંગલથી શરૂઆત કરીએ હું તેને અહીં છાયાંકિત કરીશ આ પ્રમાણે તો તે આ ટ્રાએંગલ છે જેના વિશે આપણે વાત કરી રહ્યા છીએ ટ્રાયેંગલ ADC હું અહીં આ ભૂરા ખૂણાથી રાઈટ એંગલ તરફ જાઉં છું અને આ રાઈટ એંગલ અહીં લાગુ પડશે નહિ તે મોટા ટ્રાઇંગ માટે અહીં લાગુ પડશે આપણે કહી શકીએ કે ટ્રાએંગલ ADC એ ટ્રાએંગલ A પછી રાઈટ ટ્રાએંગલ એટલે કે C અને પછી B એટલે કે ટ્રાએંગલ ADC એ ટ્રાયેંગલ ACB ને સિમિલર છે તો આ સિમિલર હોવાથી તેમની બાજુઓના સબંધ વચ્ચેનો ગુણોત્તર આપણે લખી શકીએ દાખલ તરીકે સિમિલર ટ્રાએંગલમાં આપણે અનુરૂપ બાજુના ગુણોત્તર વિશે જાણીએ છીએ આપણે જાણીએ છીએ કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર અચળ એટલે કે કોન્સ્ટન્ટ હોય છે તો આપણે આ નાના ટ્રાએંગલના હાઇપોટેનિયસનો ગુણોત્તર લઈએ અહીં હાઇપોટેનિયસ AC છે એટલે કે AC /AC ઓવર આ મોટા ટ્રાએંગલનો હાઇપોટેનિયસ જે AB છે એટલે કે AC ઓવર AB અને તે બરાબર AD ઓવર AC AC થશે કારણ કે આપણે એ બતાવવા માંગીએ છીએ કે આ બંને ટ્રાએંગલની અનુરૂપ બાજુઓને આપણે લઈએ છીએ જુઓ AD એ અહીં ભૂરા ખૂણા અને રાઈટ એંગલ વચ્ચે છે અને AC એ આ મોટા ટ્રાએંગલમાં ભૂરા ખૂણા અને રાઈટ એંગલની વચ્ચે છે આ બંને મોટા ટ્રાએંગલ માંથી છે અને આ બંને નાના ટ્રાએંગલ માંથી છે એ જોવામાં થોડું ગુંચવણ ભર્યું લાગે પરંતુ આપણે સિમિલારિટી એટલે સમરૂપતાનું વિધાન સાચું લખ્યું છે અનુરૂપ બાજુઓને શોધી શકો નાના ટ્રાએંગલમાં AC એ મોટા ટ્રાએંગલમાં AB ને અનુરૂપ છે અને નાના ટ્રાએંગલમાં AD એ મોટા ટ્રાએંગલમાં AC ને અનુરૂપ છે હવે આપણે જાણીએ છીએ કે AC = A એટલે કે AC ને આપણે a તરીકે ધારીએ છીએ AD માટે આપણે કઈ ધાર્યું નથી AB ને આપણે c ધાર્યું છે આપણે AD ને d તરીકે ઓળખીએ આ પ્રમાણે અને આ સમગ્ર ભાગને આપણે c કહ્યો છે અને આ DB ને આપણે E તરીકે ઓળખીએ આથી આપણા માટે તે થોડું સરળ બનશે AD ને આપણે d કહીએ એટલે કે આપણી પાસે a ઓવર c = d ઓવર a થશે ચોકડી ગુણાકાર એટલે કે ક્રોસ મલ્ટીપ્લિકેશન કરતા a .a એટલે કે a સ્કવેર બરાબર c .d એટલે કે cd મળે આ એક રસપ્રત પરિમાણ છે હવે આપણે અહીં જે બીજો ટ્રાએંગલ છે તેની સાથે શું કરવું તે જોઈએ તેમાં અહીં આ રાઈટ એન્ગલ છે અને આ મોટા ટ્રાએંગલમાં અહીં આ રાઈટ એંગલ છે અને આ બંનેમાં આ ખૂણો સામાન્ય છે તો ખુખુ સમરૂપતા એટલે કે એંગલ એંગલ સિમીરાલીટીને આધારે આ બંને ટ્રાએંગલ સિમિલર છે એટલે કે ટ્રાએંગલ BDC આપણે અહીં ગુલાબી ખૂણાથી કાટખૂણા આપણે અહીં ગુલાબી ખૂણાથી જમણી બાજુ રાઈટ એંગલ અને પછી જેને નામ નથી આપ્યું તે તરફ જઈએ હવે આપણે આ મોટા ટ્રાએંગલ પર ધ્યાન આપીએ આપણે પહેલા રાઈટ એંગલ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ ગુલાબી ખૂણાથી રાઈટ એંગલ અને પછી જેને નામ નથી આપ્યું એટલે કે ટ્રાએંગલ BDC એ ટ્રાએંગલ BCA ટ્રાએંગલ BCA ને સિમિલર બનશે હવે આપણે કેટલા પ્રકારના સબંધો અહીં રજુ કરીએ નાના ટ્રાએંગલમાં ગુણોત્તર BC અને BA ફરીથી આપણે આ બંનેના હાઇપોટેનિયસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ BC અને BA એટલે કે BC ઓવર BA અને તે બરાબર BD ઓવર BC એટલે કે BC હું અનુરૂપ શિરોબિંદુઓ લઇ રહી છું આપણે જાણીએ છીએ કે BC એ D બરાબર છે b = BA એ c બરાબર છે અને BD એ E બરાબર છે ફરીથી ક્રોસ મલ્ટીપ્લિકેશન કરતા b .b એટલે કે b સ્કવેર = c .e એટલે કે ce થશે હવે આપણે અહીં આ બંનેનો સરવાળો કરીએ એટલે કે b સ્કવેર = ce આપણે જો ડાબી બાજુનો સરવાળો કરીએ તો આપણને a સ્કવેર + b સ્કવેર = જમણી બાજુનો સરવાળો કરતા cd + ce મળશે હવે આપણી પાસે આ બંને પદમાં c છે એટલે કે તેના અવયવ પડતા હવે આપણી પાસે આ બંને પદમાં c છે એટલે કે તેના અવયવ પડતા c (d + e ) બાકી રહે હવે d + e શું છે d + e એ આ લંબાઈ છે અને તે c બરાબર છે એટલે કે આપણી પાસે c .c એટલે કે c સ્કવેર બચે હવે આપણી પાસે એક રસપ્રત સબંધ છે એટલે કે આપણી પાસે a સ્કવેર + b સ્કવેર બરાબર c સ્કવેર થશે આપણે આ માર્ઝી પ્રમાણે લીધેલા રાઈટ એંગલ છે આ કોઈ પણ બે રાઈટ એંગલ માટે છે આપણે શોધ્યું કે આ બંને બાજુઓના વર્ગનો સરવાળો એ હાઇપોટેનિયસના વર્ગ બરાબર થશે અને આ ગણિત માટેનો સૌથી પ્રખ્યાત પ્રમેય એટલે કે થિયારમ છે જેને આપણે પાયથાગોરસનો પ્રમેય એટલે કે પાયથાગોરિયન થિયરમ તરીકે ઓળખીશુ પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ સ્પષ્ટ નથી કે આ સાબિત કરનાર તે પ્રથમ વ્યક્તિ છે પરંતુ તેને પાયથાગોરિયન પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેના આધારે આપણે આખું ભૂમિતિ નહિ પરંતુ ભૂમિતિના ઘણા બધા દાખલ કરી શકીએ અને ત્રિકોણમિતિ પણ તેના આધારે કરી શકાય તે ખુબ જ ઉપયોગી છે જો રાઈટ ટ્રાએંગલમાં તમે બે બાજુઓ જાણતા હોવ તો તમે ત્રીજી બાજુને શોધી શકો.