જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

અંતર સૂત્ર

અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર કઈ રીતે શોધવું તે શીખો, જેમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો જ ઉપયોગ છે. કોઈપણ બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર શોધવા આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયને d=√((x_2-x_1)²+(y_2-y_1)²) તરીકે ફરીથી લખી શકીએ. સલ ખાન અને CK-12 Foundation દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આ વિડીઓમાં આપણે કોઈ પણ સમતલમાં કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર કઈ રીતે શોધાય તે શીખીશું અને અહી ખરેખર તો પાયથાગોરસના પ્રમેયનો જ ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે ઉદાહરણથી શરૂઆત કરીએ અહી મારી પાસે એક બિંદુ છે તે છે 3 ,-4 તેને અહી ગ્રાફમાં દર્શાવીએ 1 ,2 ,3 અને 1 ,2 ,3 ,4 જેટલું નીચે જવાનું છે તે બિંદુ અહી આવશે આ બિંદુ છે 3 ,-4 મારી પાસે બીજું પણ બિંદુ છે જે છે 6 ,0 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 હવે y દિશામાં કોઈ પણ ફેરફાર થતો નથી તેથી તે બિંદુ x અક્ષ પર જ આવશે કારણ કે અહી y યામ 0 છે આ બિંદુ થશે 6 , 0 હવે આપણે આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર જાણવા માંગીએ છીએ આ ભૂરું બિંદુ આ કેસરી બિંદુથી કેટલું દુર છે તે આપણે શોધવું છે એટલે કે આપણે આ અંતર શોધવું છે આવું અંતર પહેલા તમે કશે જોયું નહિ હોય પરંતુ પાયથાગોરસના પ્રમેય વિશે તમે જરૂર જાણતા હસો શું આપણે અહી પાયથાગોરસનો પ્રમેય લગાડી શકીએ અહી તમે કોઈ ત્રિકોણ જોઈ શકતા નથી પરંતુ તે ત્રિકોણ હું અહી દોરું છુ હું તમારા માટે ત્રિકોણ આ રીતે દોરું છુ આ ત્રિકોણ કઈક આ રીતે દેખાશે અહી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને આ કાટખૂણો છે પાયા તરફથી પાયો જમણીથી ડાબી તરફ જાય છે અને આ બાજુ ઉપરથી નીચેની તરફ જાય છે માટે આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જો પાયાની લંબાઈ અને વેધની લંબાઈ આપણે શોધી શકીએ તો પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે આ લાંબી બાજુ એટલે કે કાટખૂણાની સામેની બાજુ નું માપ શોધી શકીએ છીએ અહી આ કાટખૂણાની સામેની બાજુ છે એટલે કે આ કર્ણ છે અને તે આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકીએ છીએ આ અંતર બરાબર કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનો વર્ગ હવે આ ત્રિકોણને હું જરા અહી મોટો દોરું છુ અહી આ કર્ણ છે આ એક બાજુ અને આ બીજી બાજુ છે ધારો કે અહી આ અંતર d છે જે કર્ણની લંબાઈ છે અને આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તો વિચારો હવે આપણે આ બે બાજુઓની લંબાઈ કઈ રીતે શોધી શકીએ સૌપ્રથમ આપણે પાયાને જોઈએ આ અંતર શું થશે આપણે ગ્રાફ પેપરમાં ગણતરી કરીને તે શોધી શકીએ છીએ x = 3 છે અને અહી x = 6 છે જયારે આ અંતર સમાન જ રહેશે આમ xનો તે આ અંત્ય બિંદુ છે તમે ગ્રાફ પેપર પર ગણતરી કરીને પણ તે કરી શકો છો જો તમને ઋણ સંખ્યા મળે તો અંતરનો વર્ગ તો પણ અંતર 6 - 3 જ થશે 6 -3 = 3 આમ અંતર 3 થશે આ xમાં થતો ફેરફાર છે xના અંત્ય બિંદુથી xના પ્રારંભિક બિંદુ શુધીનું અંતર છે આમ 6 - 3 = 3 એ ડેલ્ટા x એટલે કે xના મુલ્યમાં થતો ફેરફાર છે હવે વેધમાં એટલે કે yમાં ફેરફાર થાય છે તેથી આ અંતર ડેલ્ટા y થશે y આ બિંદુ પર અંત પામે છે y = -4 થશે ડેલ્ટા y = 0 - -4 = 4 yની મોટી કિંમત માંથી નાની કિંમત બાદ કરીએ છીએ તે જ પ્રમાણે આપણે xની મોટી કિંમત માંથી નાની કિંમત બાદ કરીએ છીએ માટે આ અંતર 4 થશે અને આ અંતર 3 થશે અથવા આ વસ્તુ આ જ બાબત તમે ગ્રાફ પેપરમાં ગણતરી કરીને પણ કરી શકો છો આ બાજુનું માપ 3 મળે છે અને આ બાજુનું માપ 4 મળે છે હવે આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ અંતર એટલે કે dનો વર્ગ = ડેલ્ટા x એટલે કે xમાં થતા ફેરફારનો વર્ગ + ડેલ્ટા yનો વર્ગ એટલે કે yમાં થતા ફેરફારનો વર્ગ અમુક વખત લોકો આ સૂત્રને અંતર સૂત્રના નામથી પણ ઓળખે છે પરંતુ આ ફક્ત પાયથાગોરસનો પ્રમેય જ છે આ બાજુનો વર્ગ + આ બાજુનો વર્ગ બરાબર કર્ણનો વર્ગ કારણ કે આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અંતરનો વર્ગ = ડેલ્ટા xનો વર્ગ એટલે કે 3નો + ડેલ્ટા yનો વર્ગ એટલે કે 4નો વર્ગ = 9 + 16 = 25 થશે આમ dનો વર્ગ = 25 હવે આપણે ઋણ વર્ગમૂળ લઇ શકીએ નહિ કારણ કે અંતર ક્યારેય ઋણ હોતું નથી માટે ધન વર્ગમૂળ લેતા d = વર્ગમૂળમાં 25 = 5 આમ આ અંતર થશે 5 આ ઉદાહરણમાં આપણે આ અંતર શોધવાનું હતું આ બિંદુ આ બિંદુથી કેટલું દુર થાય છે તે શોધવાનું હતું અને જવાબ છે આ બિંદુ આ બિંદુથી 5 એકમ જેટલું દુર છે અહી આ અંતર સૂત્ર છે પરંતુ આ એક પ્રકારનો પાયથાગોરસનો પ્રમેય જ છે આપણે વધુ ઉદાહરણ લઈએ ધારો કે મારી પાસે એક બિંદુ છે X1 ,Y1 આ એક ખાસ પ્રકારનું બિંદુ છે અને બીજું એક બિંદુ છે X2 , Y2 તમે આવું સૂત્ર અમુક જગ્યાએ જોશો અંતર બરાબર વર્ગમૂળમાં (X2 - X1 ) + (Y2 - Y1 ) આખાનો વર્ગ અહી આ એક પ્રકારનું અંતર સૂત્ર છે આ ફક્ત પાયથાગોરસનું પ્રમેય જ છે અહી આ xમાં થતો ફેરફાર છે તેથી આપણે આને ડેલ્ટા x કહીશું આપણે કોઈ પણ xને પહેલા લઇ શકીએ છીએ કારણ કે જો તમને ઋણ જવાબ મળશે તો તેનો વર્ગ કરીશું તો તેનો જવાબ ધન જ થઇ જશે તેથી આ ડેલ્ટા x એટલે કે xમાં થતા ફેરફારનો વર્ગ છે અને આ ડેલ્ટા yનો વર્ગ છે એટલે કે yમાં થતો ફેરફારનો વર્ગ છે આમ અંતરનો વર્ગ = ડેલ્ટા xનો વર્ગ + ડેલ્ટા yનો વર્ગ આ અંતર સૂત્ર છે આપણે અંતર સૂત્રને એક ઉદાહરણ દ્વારા સમજીએ તે માટે પહેલા આપણે એક બિંદુ લઈએ -6 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 -6 ,-4 જે અહી આ બિંદુ થશે -6 ,-4તેવી જ રીતે બીજું એક બિંદુ લઈએ 1 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 અને 7 આ બિંદુ થશે જે છે 1 , 7 આમ આપણે આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માંગીએ છીએ ઉપર જેવી બાબત અહી લાગુ પડશે આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો જ ઉપયોગ કરીશું પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માટે અહી આપણે એક ત્રિકોણ દોરીએ છીએ આપણે અહી આ અંતર શોધવાનું છે અહી આ અંતર એ xમાં થતો ફેરફાર છે જયારે અહી આ અંતર એ yમાં થતો ફેરફાર છે તેથી આ અંતરનો વર્ગ + આ અંતરનો વર્ગ = આ અંતરનો વર્ગ તો તે આપણે અહી શોધ્યો આપણે xની મોટી કિંમત માંથી નાની કિંમતને બાદ કરીશું કોઈ પણ રીતે તે થઇ હશે છે સૌપ્રથમ અંતરનો વર્ગ dનો વર્ગ = xમાં થતા ફેરફાર xની મોટી કિંમત માંથી xની નાની કિંમત બાદ કરીશું તેથી 1 - -6 આખાનો વર્ગ + yમાં થતો ફેરફાર yની મોટી કિંમત માંથી નાની કિંમત બાદ કરીશું તેથી આપણને મળશે 7 - -4 આખાનો વર્ગ આમ આપણને મળશે અંતરનો વર્ગ = 1 - -6 જે થશે 7 આખાનો વર્ગ તમે તેને ગણીને પણ જોઈ શકો છો 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 માટે આ અંતર 7 થશે xમાં થતો ફેરફાર + 7 - -4 આખાનો વર્ગ જે થશે 11નો વર્ગ ફરીથી 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 માટે આ અંતર થશે 11 d = હવે આપણે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલીએ તો 7નો વર્ગ જે થશે 49 + 11નો વર્ગ = થયું 170 170નું વર્ગમૂળ નીકળીએ જે આવે છે 13 પોઈન્ટ કઈક પાછળ મળે છે આપણે આશરે લઈએ 13.04 તેથી d = 13.04 આપણને આ અંતર મળે છે 13.04