સમ અપૂર્ણાંકની આકૃતિ

જો આ એક લંબચોરસ આકૃતિ એક પૂર્ણ દર્શાવે તો તો અહીં લખીએ એક પૂર્ણ જુઓ કે તે જાંબલી રંગથી દર્શાવેલ છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે આ બીજી લંબચોરસ આકૃતિઓમાંથી કઈ આકૃતિ 1/2 દર્શાવે છે આમ,આપણને 1/2 ની જરૂર છે વિડિઓ અટકાવીને પેહલાં જાતે પ્રયત્ન કરી જુઓ ચાલો હવે સાથે મળીને સમજીએ આપણે અડધા ભાગ માટે વિચારવાનું છે હું અહીં બીજી એક તેવી જ લંબચોરસ આકૃતિ દર્શાવું છું તે આવી કઈંક દેખાશે હવે તેના બે એક સરખા ભાગ કરીએ અને આ આકૃતિનાં અડધાં ભાગને રંગીન દર્શાવીએ જુઓ તે 1/2 દર્શાવે છે હવે આ આકૃતિઓ જુઓ તેમાં કોઈપણ આકૃતિ બે અડધાં ભાગમાં વહેચાયેલ નથી આ આકૃતિ ચાર ભાગમાં વિભાજીત છે આ આકૃતિનાં પાંચ એકસરખાં ભાગ છે એટલે કે તે પંચમાંશમાં વિભાજીત છે આ આકૃતિ એક,બે,ત્રણ,ચાર,પાંચ,છ એકસરખાં ભાગમાં વિભાજીત છે તેમ જ આ આકૃતિનાં ત્રણ એકસરખાં ભાગ છે હવે તેમને 1/2 સાથે સરખાવાની છે તે કઈ રીતે કરીએ કારણ કે તે ચાર એકસરખાં ભાગ,પાંચ એકસરખાં ભાગ,છ એકસરખાં ભાગ અને ત્રણ એકસરખાં ભાગમાં દર્શાવેલ છે પેહલાં ચાર એકસરખાં ભાગમાં વિભાજન કરવું સહેલું થશે તે માટે આ બનેં ભાગનાં બે એકસરખાં ભાગ કરીએ આ બે ભાગ અને આ થયા કુલ 4 ભાગ આમ,તે 1/2 ને જ બરાબર છે જુઓ કે આમ,તે 1/2 ને જ બરાબર છે જુઓ કે રંગીન ભાગમાં આપણે કોઈ ફેરફાર કર્યો નથી આપણે ફક્ત તેનું વધું ભાગોમાં વિભાજન કર્યું છે આમ,આપણે જોઈએ છીએ કે 1/2 એ ચારમાંથી બે ભાગને સમાન છે અહીં ચારમાંથી એક અને બે ભાગ જાંબલી રંગના છે અને અહીં પણ ચારમાંથી એક અને બે ભાગ જાંબલી રંગના છે આમ,૨/4 અને 1/2 ને સમાન છે તે બનેં સમ-અપૂર્ણાંક છે તેવું દેખાતું નથી પણ જો આ બ્લોક ને અહીં ખસેડીએ તો આ બ્લોક જાંબલી રંગનું થશે અને આ રંગ વગરનું હશે અને પછી આ બનેં ભાગ સમાન દેખાશે જેથી કહી શકાય કે અહીં 1/2 ભાગ જાંબલી રંગનો છે આમ, આ આકૃતિ ચોક્કસ 1/2 દર્શાવે છે હવે પંચમાંશ માટે વિચારીએ તે આપણે બે રીતે કરી શકીએ આપણે પેહલાં પંચમાંશ દોરીએ જુઓ કે અહીં 3/5 છે અહીં પણ લખી જ લઈએ 3/6 અને 1/3 હવે આ બાજુ 3/5 દોરીએ ફરીથી એક લંબચોરસ આ આકૃતિના 5 એકસરખાં ભાગ કરીએ આ બે ભાગ ,આ ત્રણ એક સરખા ભાગ, ચાર અને પાંચ એકસરખા ભાગ આપણે માની લઈએ કે આ દરેક ભાગ એકસમાન છે હવે 3/5 ને કઈ રીતે દર્શાવીએ? જુઓ કે આ એક, બે અને ત્રણ પંચમાંશ એક રીતે વિચારીએ તો અહીં જે રીતે આપણે દોર્યું છે તેવું અહીં પણ દેખાય છે આ આકૃતિના ભાગોને ગોઠવીએ તો તે આ રીતે દેખાય બધાં જાંબલી રંગનાં ભાગોને ડાબી તરફ ગોઠવીએ આમ, આ એક,બે અને ત્રણ ભાગ અહીં જોઈ ને જ ખ્યાલ આવી જાય કે 3/5 એ1/2 કરતા મોટો ભાગ દર્શાવે છે જો 3/5 ને અહીં દર્શાવીએ તો તે અહીં સુધીની જગ્યા રોકે આમ,3/5 એ 1/2 ને બરાબર નથી હવે 3/6 માટે શું કહી શકાય? તે વિષે થોડું વિચારીએ ફરીથી એક લંબચોરસ લેતાં તેમાં વચ્ચેથી બે સરખાં ભાગ કરીને એક ભાગને રંગીન દર્શાવીએ બે માંથી એક ભાગ તો તે 1/2 દર્શાવે છે તે આપણે જાણીએ છીએ હવે તેને છ એકસરખાં ભાગમાં વિભાજીત કરી શકાય જો આ બંને ભાગને ત્રણ એકસરખાં ભાગમાં વિભાજીત કરીએ તો 2 ગુણ્યાં 3 જેટલા એકસરખા ભાગ મળે જુઓ આ ત્રણ ભાગ અને અહીં પણ ત્રણ ભાગ અને અહીં પણ ત્રણ એકસરખાં ભાગ આમ,હવે અહીં છ એકસરખાં ભાગ છે અહીં જેટલો રંગીન ભાગ હતો તેટલો જ અહીં પણ છે તેમાં આપણે કોઈ વધારો કે ઘટાડો કર્યો નથી હજી પણ આખી આકૃતિનો 1/2 ભાગ જ છે પણ જો હવે શષ્ટાંશની દૃષ્ટિએ વિચારીએ તો તે એક,બે અને ૩/6 છે આમ ૩/6 એ 1/2 જેટલી કિંમત દર્શાવે છે અહીં પણ એક,બે અને 3/6 અને જો અહીં પણ જાંબલી રંગનાં બધાં બ્લોકને એક સાથે મૂકીએ તો આ પ્રકારની આકૃતિ જોવા મળે આમ,આ પણ1/2 ને બરાબર છે તેમ કહી શકાય હવે 1/3 માટે શું કહી શકાય? વધું એક લંબચોરસ લઈએ હવે તમે તે જાતે દોરીને પણ સમજી શકો છો તેના ત્રણ એકસરખાં ભાગ કરીએ એક બે અને ત્રણ એકસરખા ભાગ આપણે 1/3 વિશે વાત કરી રહ્યા છે અને સ્પષ્ટ રીતે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે 1/3 એ 3/6 કરતા નાનો ભાગ છે અને 3/6 એ 1/2 ને સમાન છે 1/2 એટલે અહીં સુધીંનો વિસ્તાર જયારે 1/3 ફક્ત અહીં સુધીં છે આમ,1/3 એ 1/2 ને બરાબર નથી