ગુણાકાર માટે ગુણધર્મ અને પેટર્ન

અહીં કેટલા ફુગ્ગા છે તે આપણે શોધવાનું છે . આપણે તે ગણીને જણાવી શકીએ . પણ હવે આપણી પાસે તે માટે વિચારવાના બીજા ઉપાયો પણ છે . કારણ કે તેઓ એક સરસ ભાતમાં ગોઠવાયેલા છે , માટે આપણે તેને આડી અને ઉભી હરોળમાં સંખ્યાના ગુંણાકર આધારે સરળતથી ગણી શકીએ . આ દરેક વસ્તુને એક - એક કરીને ગણવા કરતા તે વધુ સરળ પડે . . આમ , જુઓ કે આપણી પાસે અહીં 1 , 2 , 3 , 4 , આડી હરોળ છે . તેમજ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ઉભી હરોળ છે . આમ આ ચિત્રમાં 4 આડી હરોળ છે .અને 7 ઉભી હરોળ છે . 4 આડી હરોળ અને 7 ઉભી હરોળ અહીં તમારે આ બાબત ધ્યનમાં રાખવાની છે કે આડી અને ઉભી હરોળની સંખ્યા ગુણાકાર આધારે તમે વસ્તુઓની કુલ સંખ્યા મેળવી શકો . 4 આડી હરોળ ગુણ્યાં 7 ઉભી હરોળ . હવે તેવું શામાટે થાય ? તેમ કરવાથી શા માટે આપણે વસ્તુઓની કુલ સંખ્યા મળે ? જુઓ કે 4 આડી હરોળ દર્શાવે છે . આપણી પાસે વસ્તુઓના 4 સમૂહ છે . અને દરેક હરોળમાં કેટલી વસ્તુઓ છે ? ઉભી હરોળની સંખ્યા જેટલી વસ્તુઓ છે . 4 હરોળમાંથી દરેક હરોળમાં 7 વસ્તુઓ છે . આમ , 7 વસ્તુઓન 4 સમૂહ . અથવા બીજી રીતે પણ જોઈ શકીએ . આ દરેક ઉભી હરોળને એક સમૂહ તરીકે જોઈ શકો . માટે તે થશે 7 સમૂહ અને દરેક કેટલી વસ્તુઓ છે ? જુઓ આ આડી હરોળની સંખ્યા જેટલી વસ્તુઓ છે . એટલેકે આ દરેક ઉભી હરોળમાં ચાર - ચાર વસ્તુ ઓ છે . આમ , 4 વસ્તુઓના 7 સમૂહ . અને આપણે જાણીએ જ છીએ કે આ બંને રીતે આપણે અહીં રહેલી કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા મળશે . આમ ,આ બંને બાબતો સમાન છે . 4 ગુણ્યાં 7 બરાબર 7 ગુણ્યાં 4 . અને આ બાબતો ઉકેલ આપણે એક કરતા વધારે રીતથી મેળવી શકીએ . 4 ,4 વસ્તુ ઉમેરીને પણ ગણી શકાય . દા.ત 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 . માટે 4 ગુણ્યાં 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 . માટે આપણે મળે 28 આપણે અહીં ગણી પણ શકીએ કે 28 વસ્તુઓ છે . તે જ રીતે 7 , 7 વસ્તુ ઉમેરીને પણ ગણી શકાય . 7 , 7 ગુણ્યાં 2 , 14 , ગુણ્યાં 3 , 21 ,ગુણ્યાં 4 , 28 દરેક વખતે 7 ઉમેરવા આમ , બીજી રીતે પણ 28 મળ્યા . પણ જો આ રીતે ગણતરી કરવાનું તમે કદાચ જાણતા ન હોય અથવા તમને આ રીતે અઘરું લાગતું હોય અથવા 4 ગુણ્યાં 7 શું મળે તે તમને ખબર ન હોય જે ખરેખર તો તમને જાણી લેવું જોઈએ તેવી પરિસ્થિતિ બીજી કોઈ રીત છે . જેથી તમે સહેલાઈથી ગણતરી કરી શકો 7 ઉભી હરોળ ને તમે 5 હરોળ અને 2 હરોળમાં વિભાજીત કરી શકો . આમ , અહીં 5 હરોળ વત્તા 2 હરોળ . માટે તેને લખાય . 4 ગુણ્યાં 7 બરાબર 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 2 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 2 હવે તે થોડું રસપ્રદ થઇ ગયું . જુઓ આ સમૂહમાં 4 આડી હરોળ અને 2 ઉભી હરોળ છે . જયારે અહીં 4 આડી હરોળ અને 5 ઉભી હરોળ . માટે હવે આ પીળા રંગનો સમૂહ કેટલી વસ્તુઓ છે .? જુઓ કે તેમાં 4 ગુણ્યાં 5 જેટલી વસ્તુઓ હોય . જયારે હવે આ કેસરી રંગના સમૂહ કેટલી વસ્તુઓ છે ? જે થશે 4 ગુણ્યાં 2 જેટલી વસ્તુઓ હવે જો 4 ગુણ્યાં 5 અને 4 ગુણ્યાં 2 નો સરવાળો કરીએ તો શું મળે ? આપણે મળશે 4 ગુણ્યાં 7 આપણને મળશે 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 2 આમ , જો આ બંને સરવાળો કરીએ તો પહેલા આ ગુણાકાર કરવા પડે . માટે આ બંને પદને કૌંસમાં મૂકીએ આ બંને પદનું સાદું રૂપ આ પદને જેટલું જ મળે . હવે તમે કહી શકો કે 4 ગુણ્યાં 5 એ 20 મળે અને 4 ગુણ્યાં 2 બરાબર મળે 8 હવે તમે કદાચ સમજી ગયા હશો . 4 ગુણ્યાં 7 બરાબર 28 જે 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 2 જેટલું જ મળે . તેમજ 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 4 ગુણ્યાં 2 કરતા પણ તે જ જવાબ મળે . આ ક્રિયાને ખરેખર કહેવાય વિભાજન નો ગુણધર્મ 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 2 એ 4 ગુણ્યાં 5 વત્તા 4 ગુણ્યાં 2 જેટલું જ થાય . હવે જો હું ઉપર થી આ બે માંથી કોઈ પણ રીતે ગણતરી કરી શકુ . તો મારે શા માટે વિભાજનના ગુણધર્મ નો ઉપયોગ કરવો ચાલો,તમને એક અઘરું ઉદાહરણ આપું છુ ધારો કે આપણી પાસે 6 ગુણ્યાં 36 છે તમે તેને કઈ રીતે ઉકેલશો? તે માટે આ 36 ને આપણે એવા બે ભાગમાં વિભાજીત કરીયે જેથી તેનો 6 સાથે સરળતાથી ગુણાકાર કરી શકાય દા.ત , 36 એ 30 અને 6 ના સરવાળા બરાબર છે માટે તેને લખાય 6 ગુણ્યાં 30 વત્તા 6 હવે આગળ શું થાય ? આપણે પહેલા પણ જોયું . 6 ગુણ્યાં આ બને નો સરવાળો જે થશે 6 ગુણ્યાં 30 વત્તા 6 ગુણ્યાં 6 જુઓ આપણે 6 નું વિભાજન કર્યું . 6 ગુણ્યાં 30 વત્તા 6 ગુણ્યાં 6 હવે,આમ શા માટે કરવું ? તેનો ઉપયોગ શુ? હું આ બને પદને કૌંસમાં મુકું છુ પહેલા ગુણાકારની ક્રિયા કરીએ . સામાન્ય રીતે , જયારે પણ તમે ગુણાકાર કે સરવાળો ક્રિયા એક સાથે જુઓ અથવા ભાગાકાર ને જુઓ તો સૌપ્રથમ ભાગાકાર કે ગુણાકારની ક્રિયા કરવી . પછી સરવાળો અને બાદબાકી ક્રિયા કરવી . તો કહો કે 6 ગુણ્યાં 30 શું થાય ? તે સરળતથી ગણી શકાય , જુઓ 6 ગુણ્યાં 3 બરાબર 18 , માટે 6 ગુણ્યાં 30 બરાબર 180 થાય . હવે 6 ગુણ્યાં 6 બરાબર 36 . આમ , 180 વત્તા 36 બંનેનો સરવાળો કરતા. 180 વત્તા 36 , 0 વત્તા બરાબર 6 . 8 વત્તા 3 મળે 11 , 11 નો એક ,વદ્દી 1 1 વત્તા 1 બરાબર 2 આમ , 6 ગુણ્યાં 36 ની કિંમત મળે 216 આપણે અહીં વિભાજન ગુણધર્મ ઉપયોગ કર્યો . આમ , મોટી સંખ્યાના ભાગ પાડી તેનો ગુણાકાર કરતા વધુ સરળતાથી જવાબ મળી શકે . મોટી સંખ્યા ગુણાકાર માટે તે વધુ ઉપયોગ થઇ શકે .