If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને ઢાળ અચળ છે તેમ સાબિત કરીએ

સલ રેખાનો ઢાળ અચળ છે તેમ બતાવવા સમરૂપ ત્રિકોણ સાથેની ચોક્કસ સાબિતી આપે છે. સલ ખાન દ્વારા નિર્મિત.

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે એલજેબ્રાના ક્લાસમાં જોઈ ગયા કે જો આપણી પાસે એક રેખા હોય તો આ રેખા પાસે xની સાપેક્ષે yમાં થતા ફેરફારનો અચલદર હશે બીજી રીતે વિચારવું હોય તો આ રેખાપાસે સમાન ઢોળાવ હશે અથવા આ રેખાપાસે અચલ ઢાળ હશે ઢાળ એટલેકે સ્લોપને આ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય yમાં થતો ફેરફાર અહીં આ નાનું ત્રિકોણ એ ગ્રીક લેટર ડેલ્ટા છે જે કોઈક ચલમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે ડેલ્ટા y એટલે y માં થતો ફેરફાર છેદમાં x માં થતો ફેરફાર અને જો તમે રેખા સાથે કામ કરી રહ્યા છો તો અહીં આ ઢાળ અચલ થશે રેખા માટે આ ઢાળ અચલ હોય હું આ વીડીઓમાં ભૂમિતિ પરથી સમરૂપતઃ ત્રિકોનોનો ઉપયોગ કરીને આ બાબતને સાબિત કરીશ તેના માટે બે બિંદુના બે ગણ વિશે વિચારીએ આ બિંદુથી શરૂઆત કરીએ અને આ બિંદુ પર પૂરું કરીએ હવે આ બંને બિંદુઓની વચ્ચે xમાં થતો ફેરફાર શું છે આ બિંદુની xની કિંમત અહીં છે અને આ બિંદુની xની કિંમત અહીં છેતે કિંમત અહીં છે માટે xમાં થતી ફેરફાર આથશે ડેલ્ટા x હવે yમાં થતો ફેરફાર શું થાય આ બિંદુ માટે y ની કિંમત અહીં છે અને આ બિંદુ માટે y ની કિંમત અહીં છે માટે આ ઊંચાઈ અથવા આ ઊંચાઈ એ y માં થતો ફેરફરી થશે અગાઉ આ ઊંચાઈ એ ડેલ્ટા y થશે હવે આપણે બીજા બે બિંદુઓનો ગણ લઈએ ધારો કે એક બિંદુ આ છે અને બીજું બિંદુ આ છે જે સમાન બાબત કરીએ હવે અહીં x માં થતો ફેરફાર શું થાય આ બિંદુની x ની કિંમત અહીં છે અને આ બિંદુની x ની કિંમત અહીં છે જો આપણે અહીંથી શરૂઆત કરીને અહીં સુધી જઈએ તો આ અંતર એ આ બંને બિંદુઓની x ની કિંમત વચ્ચેનો ફેરફાર થશે માટે આ અંતર ડેલ્ટા x છે અને હવે y માં થતો ફેરફાર શું થાય આ બિંદુની y ની કિંમત અહીં છે અને આ બિંદુની y ની કિંમત અહીં છે માટે અહીં આ ઊંચાઈ એ y માં થતો ફેરફાર થશે મેં અહીં કોઈ પણ બે બિંદુઓને યાદૃચ્છિક રીતે લીધા છે અને હવે મારે એ સાબિત કરવાની જરુર છે કે અહીં y માં થતો ફેરફાર અને x માં થતા ફેતફરનો ગુણોત્તર આ y માં થતો ફેરફાર અને x માં થતા ફેરફારના ગુણિત્તારને સમાન છે અથવા આ જાંબલી લીટી અને આ લીલી લીટીનો ગુણોત્તર એ આ જાંબલી લીટી અને લીલી લીટીના ગુણોત્તરને સામન છે યાદ રાખો કે હું અહીં યાદ્દચ્છીક બિંદુઓના બે ગણને લઇ રહી છું અને હું આ બાબતને સાબિત કરવા સમરૂપતા એટલે કે સમિલારિટીનો ઉપયોગ કરીશ જો હું કોઈક રીતે એ સાબિત કરું કે આ ત્રિકોણ એ આ ત્રિકોણને સમરૂપતઃ છે તો હું આ બંને ઢાળ સમાન છે એ સરળતાથી સાબિત કરી શકીશ સમરૂપતા કોને કહેવાય એ યાદ કરીએ બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે અને તેના વિશે વિચારવાની ઘણી રીતો છે આ બંને ત્રિકોણો ત્યારે જ સમરૂપ થશે જયારે તેના અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ થાય એટલે કે સમાન થાય જયારે અનુરૂપ ખૂણાઓ કરસ્પોન્ડિંગ એંગલ એકરૂપ હોય અથવા સમાન હોય ઉદાહરણ તરીકે મારીપાસે એકઆ પ્રમાણેનો ત્રિકોણ છે આ રીતે આ ખૂણો 30 અંશ આ ખૂણો 60 અંશનો અને આ 90 અંશનો છે તેવી જ રીતે મારી પાસે બીજો ત્રિકોણ કંઈક આ પ્રમાણે છે આ 30અંશ આ 60અંશ અને આ 90અંશ અહીં તેની બાજુઓની લંબાઈ જુદી જુદી છે તેમ છતાં તેઓ સમરૂપતઃ ત્રિકોણ થશે આ 60 અંશનો ખૂણો આ ખૂણાને અનુરૂપ છે 30 અંશનો ખૂણો આ 30 અંશના ખૂણાને અનુરૂપ છે અને 90 અંશનો ખૂણો આ ખૂણાને અનુરૂપ છે માટે આ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણ છે જો કોઈ પણ બે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણ છે એવું તમે એક વાર સાબિત કરી લો તો પછી તેના પરથી કહી શકાય કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે તેઠો જો આ બંને ત્રિકોણો સમરૂપતઃ ત્રિકોણો હોય તો તેના પરથી એમ કહી શકાય કે આ બાજુ આ ગુલાબી બાજુ અને આ લીલી બાજુનો અંતર આ ગુલાબ બાજુ આ અને આ લીલી બાજુના ગુણોત્તરને સમાન થશે આમ અહીં આ ઢાળ અચલ છે એવું સાબિત કરવા આ શા માટે ઉપયોગી છે તે તમે જોઈ શકો કારણ કે જો આ બંને સમરૂપ ત્રિકોણો હોય તો તેની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર હંમેશા સમાન થશે આપણે અહીં બે બિંદુઓનો યાદૃચ્છિક ગણ લીધો છે પરંતુ તે રેખા પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓના યાદૃચ્છિક બે ગણ માટે સાચું છે તે આખી જ રેખા માટે સાચું થશે હવે સમરૂપતાને સાબિત કરવાનું પ્રયત્ન કરીએ સૌપ્રથમ આપણે એ બાબત કહી શકીએ કે આ બંને ખૂણા કાટખૂણા છે કારણ કે આ લીલી રેખા સંપૂર્ણ પણે સમક્ષિતિજ છે અને આ જાંબલી રેખાએ શિરોલંબ છે લીલી રેખાએ સમક્ષિતિજ દિશામાં જાય છે અને આ જાંબલી રેખા શિરોલંબ રેખામાં જાય છે માટે સ્પષ્ટ રીતે આ બંને ખૂણા કાટખૂણા છે આપણી પાસે એક અનુરૂપ ખૂણો છે જે સમાન છે હવે બીજો અનુરૂપ ખૂણો સમાન છે કે નહિ તે જોઈએ અને તે જોવા આપણે સમાંતર રેખાઓ અને છેદીકા વિશે જે જાણીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીએ આ બંને લીલી રેખાઓને જોઈએ આપણે તેને આ પ્રમાણે વિચારીએ મેં તેને અહીં રેખાખંડ સ્વરૂપે દર્શાવી છે પરંતુ તેઓ આ રીતે આગળને આગળ વધતી રહેશે અહીં આ રેખા એ આ રેખાને સમાંતર છે તેઓ સંપૂર્ણ પણે સમક્ષિતિજ છે અને હવે તમે આ નારંગી રેખાને તેમની છેદીકા તરીકે જહોઈ શકો અને જો તે તેની છેદીકા હોય તો અહીં આ ખૂણો અને આ ખૂણો એ એક બીજાના અનુંકોણો થશે અને આપણે સમાંતર રેખાની છેદીકા પરથી જાણીએ છીએ કે અનુંકોણો સમાન હોય છે માટે અહીં આ ખૂણો એ આ ખૂણાને એકરૂપ થશે હવે આપણે આજ સમાન દલીલ આ ત્રીજા ખૂણા માટે પણ કરી શકીએ પરંતુ આપણે હવે શિરોલંબ રેખાનો ઉપયોગ કરીશું અહીં આ જાંબલી રેખા એ રેખાખંડ છે પરંતુ આપણે તેને આ પ્રમાણે લંબાવી શકીએ આપણે તેને આ પ્રમાણે રેખા સ્વરૂપે જોઈ શકીએ તેજ રીતે આપણે તેને અહીં પણ લંબાવી શકીએ આ શિરોલંબ દિશામાં એટલે કે y દિશામાં જાય છે આ રેખા એ આ રેખાને સમાંતર છે અને ફરીથી આ નારંગી રેખા તેમની છેદીકા છે માટે આ ખૂણો એ આ ખૂણાનો અનુંકોણ થશે તે બંને એકરૂપ થશે આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતર રેખાઓની છેદીકા વડે બનતા અનુંકોણો હંમેશા સમાન હોય છે આપણે તે ભૂમિતિમાં જોઈ ગયા માટે આપણી પાસે હવે બધા જ અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ છે આખૂણો r ખૂણાને એકરૂપ છે આખૂણો આખૂણાને એકરૂપ છે અને પછી આબંને ખૂણા 90અંશના છે માટે આ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણ થાય અહીં આ બંને ત્રિકોણો આ બંને ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણ એટલે કે સિમિલર ટ્રાયેંગલ થાય હવે આપણે બંને બાજુના સામાન્ય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે આ બાજુની લંબાઈને a કહીએ આ બાજુની લંબાઈને b કહીએ આ બાજુની લંબાઈને c કહીએ અને આ બાજુની લંબાઈને d કહીએ આ બંને સમરૂપ ત્રિકોણો છે તેથી અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થશે તેથી a અને b નો ગુણોત્તર બરાબર c અને d નો ગુણોત્તર અને તે ઢાળની વ્યાખ્યા છે y માં થતો ફેરફાર છેદમાં x માં થતો ફેરફાર અને તે સમાન થશે કારણ કે આપણે જોઈ ગયા કે જયારે તમે કોઈ પણ બે બિંદુઓની વચ્ચે કાટકોણ ત્રિકોણની રચના કરો ત્યારે તે બંને ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણો થશે અને જો તે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણ હોય અને સમક્ષિતિજ રેખાની લંબાઈની બાજુનો ગુણોત્તર હંમેશા સમાન થાય અને તે ઢાળની વ્યાખ્યા છે આમ રેખા માટે ઢાળ હંમેશા અચલ થાય.