વિશિષ્ટ કાટકોણ ત્રિકોણની સાબિતી(part 1)

આ વીડિઓમાં આપણે ખાસ પ્રકારના ત્રીસ સાઈઠ નેવુંઔંસ વાળા ત્રિકોણ વિષે સમજીશું તમે જાણોજ છો કે શા માટે તેને આવું કહેવામાં આવે છે તે ખૂણાનામાપ માપ ત્રીસઔંસ સાઈઠઔંસ અને નેવુંઔંસ છે આ વીડિઓમાં આપણે જે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ તે ભૂમિતિમાં ઘણું ઉપયોગી છે અને પછી તે ત્રિકોણમિતિમાં પણ ઘણું ઉપયોગી થશે અને તે સાબિતી છે ત્રીસ સાઈઠ અને નેવુંઔંસ ના ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેનું ગુણો હવે ધારોકે કર્ણની લંબાઈ એક્ષ છે યાદ રાખો કે કર્ણ એ નેવું ઔંસ ની સામેની તરફની બાજુ છે જો કર્ણની લંબાઈ એક્ષ હોય તો નાની બાજુની લંબાઈ કે જે ત્રીસઔંસની સામેની બાજુ છે તેની લંબાઈ થશે એક્ષના છેદમાં બે અને આપણે અહી એપણ સાબિત કરવાનું છે કે સાઈઠઔંસના ખૂણાની સામેની બાજુની લંબાઈ તે થશે વર્ગમૂળ ત્રણ ગુણ્યા આ નાની બાજુની લંબાઈ જે થશે વર્ગમૂળ ત્રણ ગુણ્યા એક્ષ ભાગ્ય બે આ બધુજ આપણે આ વીડિઓમાં સાબિત કરવું છે અને પછીના વીડિઓમાં આનો ઉપયોગ કઈરીતે કરી શકાય તે જોઈશું આ ખૂબજ ઉપયોગી પરિણામ છે આ સાબિતીની શરૂઆત એક ત્રીકોણથી કરીએ અને તેમાટે હું અહી એકસમબાજુ ત્રિકોણ દોરું છું સમબાજુ ત્રિકોણ જે કંઇક આવો દેખાય છે આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે ત્રિકોણ એ બી સી હું અહી લખું છું ત્રિકોણ એ બી સી એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે આપણે માની લઈએ કે અહી જે ત્રિકોણ દોર્યો છે તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે સમબજુનો અર્થ એ થાય કે તેની દરેક બાજુની લંબાઈ સમાન છે માની લો કે આ લંબાઈ એક્ષ છે માટે આપણે કે સમબાજુ ત્રિકોણ કેજેની લંબાઈ દરેક બાજુની લંબાઈ એક્ષ છે માટે આબાજુની લંબાઈ એક્ષ થશે આ બાજુની લંબાઈ પણ એક્ષ થશે અને આ બાજુની લંબાઈ પણ એક્ષજ થશે આપણે આગળ જોયું હતું કે સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણા ના માપ સાઈઠઔંસ હોય છે માટે આખૂણો સાઈઠઔંસનો થશે તેજ પ્રમાણે આખૂણો પણ સાઈઠ ઔંસ નો થશે અને આ ખૂણો પણ સાઈઠ ઔંસ નો થશે આપણે અહી એક વેધ દોરીશું આ ઉપરના બિંદુથી અહી સુધી એક વેધ દોરીશું જે આ નીચેના પાયા સાથે કાટખૂણો બનાવે છે માટે જો આ કાટખૂણો હોય તો આ ખૂણો પણ કાટખૂણોજ થશે આવેધ છે અને તે આપાયાની સાથે નેવુંઔંસનો ખૂણો બનાવે છે આ ખૂબજ સરળ સાબિતી છે આ ફક્ત વેધજ નહિ એટલેકે પાયા સાથે લંબજ નથી બનાવતો પરંતુ તે પાયાને દુભાગે પણ છે તમે વીડિઓ અટકાવીને જાતે સાબિત કરી શકો છો અહી તેસાબિતી ખૂબજ સરળ છે આબંને ત્રિકોણો એકરૂપ છે તેમ સાબિત કરીને તેસાબિત કરી શકાયકે વેધ આ નીચેની બાજુને દુભાગે પણ છે હું તે તમારા માટે અહી સાબિત કરું છું સૌપ્રથમ આપણે આ બિંદુને ડી નામ આપી દઈએ માટે ત્રિકોણ એ બી ડી અને અને ત્રિકોણ બી ડી સી આ બંનેમાં આ બાજુ સામાન્ય છે અને પછી આ ખૂણો અને આ ખૂણો એકરૂપ છે તેજ પ્રમાણે આ ખૂણો અને આ ખૂણો એકરૂપ છે આમ જો બંને ખૂણા એકબીજાને એકરૂપ હોય તો ત્રીજો ખૂણો પણ એકરૂપ થાય છે માટે આ ત્રીજો ખૂણો પણ એકબીજાને એકરૂપ થશે આ પરથી આપણે કહી શકીએ કે આ બંને ત્રીકોણો એકરૂપ છે અને આ માટે આપણે એકરૂપતાની ઘણીબધી શરતોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ બાજુ ખૂણો બાજુ એકરૂપતાની શરત અથવા ખૂણો બાજુ ખૂણો એકરૂપતાની શરત આ બંનેમાંથી કોઇપણ એકરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કરીને આપણે કહી શકીએ છીએ કે ત્રિકોણ એ બી ડી એકરૂપ છે ત્રિકોણ સી બી ડી સાથે અને તે ખૂણો બાજુ ખૂણો અથવા બાજુ ખૂણો બાજુ ખૂણો અથવા બાજુ ખૂણો બાજુ એકરૂપતાની શરત પરથી કહી શકાય છે આબંનેપૈકી કોઇપણ એકશરતનો ઉપયોગ તમે કરી શકો છો આએકરૂપતાનો અર્થએ થાયકે તેમની અનુરૂપબાજુઓ પણ એકરૂપ છે માટે આપણે કહી શકીએ કે એ ડી અને સી ડી આ બંને બાજુઓ એકરૂપ છે એ ડી અને સી ડી એકબીજાને સમાન છે જો આ બંને બાજુઓ એક બીજાને સમાન હોય તોતેમનો સરવાળો એક્ષ થવો જોઈએ કારણકે સમબજુ ત્રીકોની બધીજ બાજુઓ ના માપ એક્ષ છે માટે આ બાજુની લંબાઈ એક્ષ ભાગ્યા બે થશે તેજ પ્રમાણે આ બાજુની લંબાઈ પણ એક્ષ ભાગ્ય બે થશે જ્યાર આપણે વેધ દોર્યો ત્યારે આપણે સાબિત કર્યું કે આ ખૂણો અને આ ખૂણો બંને એકરૂપ છે અને તેમનો સરવાળો સાઈઠઔંસ થવો જોઈએ જો બે ખૂણાઓ સમાન માપના હોય અને તેમનો સરવાળો સાઈઠઔંસ થતો હોય તો દરેક ખૂણાનો માપ ત્રીસઔંસ થશે આમ આ બંને ખૂણાના માપ ત્રીસઔંસ છે આમ આપણે એક રસપ્રદ બાબત અહી કરી ત્રીસ સાઈઠ અને નેવુંઔંસના ત્રિકોણમાં જો આ બાજુ કર્ણ હોય તો આપણે અહી એક વેધ દોર્યો કે જેથી સમબાજુ ત્રિકોણનું બે ત્રીસ સાઈઠ અને નેવુંઔંસ વાળા ત્રિકોણમાં વિભાજન થયું આગળ આપણે દર્શાવ્યું તે મુજબ જ અહી પણ થશે નેવુંઔંસ ખૂણાના સામેની બાજુના માપ છે એક્ષ ત્રીસઔંસ ના ખૂણાના સામેની બાજુની લંબાઈ છે એક્ષના છેદમાં બે જે આપણે અહી આ ત્રિકોણમાં બતાવ્યું હતું હવે આપણે ત્રીજી બાજુ માટે જોઈએ ત્રીજી બાજુ કે જે સાઈઠ ઔંસના ખૂણાની સામેની બાજુ છે તે બાજુ છે બી ડી અને આપણે બી ડી નું માપ શોધવા માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું તે થશે બી ડી નો લંબાઈનો વર્ગ વતા આબાજુની લંબાઈનો વર્ગ એટલેકે એક્ષના છેદમાં બેનો વર્ગ બરાબર કર્ણનો વર્ગ તે આપણે અહી લખીએ બી ડી નો વર્ગ વતા એક્ષના છેદમાં બે આખાનો વર્ગ બરાબર કર્ણનો વર્ગ એટલેકે એક્ષ નો વર્ગ આ પાયથાગોરસનો પ્રમેય છે અને આપણે તે પાયથાગોરસનો પ્રમેય આ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં રાખીને લખ્યો છે આ બાજુની લંબાઈનો વર્ગ વતા આ બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બરાબર કર્ણનો વર્ગ હવે આપણે બી ડીનો ઉકેલ શોધીએ બી ડીનો વર્ગ વતા એક્ષ છેદમાં બે આખાનો વર્ગ થશે એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચાર બરાબર એક્ષનો વર્ગ એક્ષના વર્ગને આપણે જરા જુદી રીતે લખીએ ચાર એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચાર સમીકરણની બંને બાજુએથી એકચાતુંર્થંસ એક્ષનો વર્ગ બાદ કરીશું અથવા એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચારને સમીકરણની બંનેબાજુએથી બાદ કરીશું તોઆપણને મળશે બી ડી નો વર્ગ બરાબર ચાર એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચાર ઓછા એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચાર જે મળશે ત્રણ એક્ષનો વર્ગ છેદમાં ચાર બંને બાજુએથી ધન વર્ગમૂળ લઈશું તો આપણને મળશે બી ડી બરાબર વર્ગમૂળ ત્રણ એક્ષ છેદમાં બે ત્રણનું વર્ગમૂળ થશે વર્ગમૂળ ત્રણ એક્ષના વર્ગનું વર્ગમૂળ થશે એક્ષ અને ચારનું વર્ગમૂળ થશે બે આમ બી ડી બરાબર આપણને મળ્યું વર્ગમૂળત્રણ એક્ષના છેદમાં બે આમ બી ડી એ સાઈઠઔંસ ના ખૂણાની સામેની તરફની બાજુ છે અને તે થઇ ગયું જો કર્ણની લંબાઈ એક્ષ હોય તો ત્રીસઔંસના ખૂણાની સામેની બાજુની લંબાઈ થશે એક્ષના છેદમાં બે અને સાઈઠઔંસના ખૂણાની સામેની લંબાઈ થશે વર્ગમૂળ ત્રણ એક્ષ છેદમાં બે