ત્રિકોણમિતિય ગુણોત્તરનો પરિચય

આ વિડીઓમાં હું તમને ત્રિકોણમીતીની મૂળભૂત બાબતો વિશે જણાવીશ શબ્દ પરથી આપણને લાગે છે કે આ વિષય જરા અઘરો છે જેમાં ફક્ત ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર વિશે ભણવાનું છે ત્રિકોણમીતી શબ્દમાં ત્રિકોણ આ ભાગનો અર્થ થાય છે કોઈ પણ પ્રકારનો ત્રિકોણ અને પાછળના બે અક્ષર મીતી શબ્દનો અર્થ થાય છે માપ તો ચાલો આપણે તેને જરા ઉદાહરણ લઈને સમજીએ જેનાથી તમને વધુ સમજ પડી જશે હું અહી એક કાટકોણ ત્રિકોણ દોરું છુ આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જે કઈક આવો દેખાય છે કાટકોણ ત્રિકોણ એટલે જેમાં એક ખૂણો 90 અંશનો હોય અહી આ ખૂણો કાટખૂણો છે અને તેનું માપ 90 અંશ હોય છે આપણે તેના પરિમાણ વિશે ભવિષ્યના વિડીઓમાં જોઈશું આ ખૂણો 90 અંશનો છે હવે દરેક બાજુઓના માપ લખીએ અહી આ બાજુની લંબાઈ 3 છે આ બાજુની લંબાઈ 4 છે અને આ બાજુની લંબાઈ ધારો કે 5 છે આ કર્ણનું માપ છે ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણમાં જ કર્ણ આવે છે જે કાટખૂણાની સામેની બાજુ હોય છે અને તે કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી મોટી બાજુ એટલે કે લાંબી બાજુ હોય છે આમ આ કર્ણ છે જે તમે કદાચ ભૂમિતિમાં ભણ્યા હશો અથવા તમે તે પાયથાગોરસના પ્રમેય પરથી પણ ચકાસી શકો છો પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર 3નો વર્ગ + 4નો વર્ગ = 5નો વર્ગ એટલે કે કર્ણનો વર્ગ અથવા કાટકોણ ત્રિકોણની સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ આ પાયથાગોરસનો પ્રમેય છે અહી ત્રિકોણમીતીની અમુક ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે ચાલો તેને આપણે સમજીએ જેમ કે પહેલી ક્રિયા છે sin બીજી છે cos અને ત્રીજી છે tan સાઈનને ટૂંકમાં sin કોસાઈન ને ટૂંકમાં cos અને ટેનજેન્ટને ટૂંકમાં tan વડે દર્શાવવામાં આવે છે આ ત્રોનેય ક્રિયાઓ એ કોઈ પણ ખૂણા માટે મેળવી શકાય છે તે ફક્ત ચોક્કસ બાજુઓનો ગુણોત્તર છે અને તેને દર્શાવવા માટે હું અહી કઈક લખું છુ જે તમને યાદ રાખવા માટે ખુબ ઉપયોગી થશે sin એટલે સાસાક cos એટલે કોપાક tan એટલે ટેસાપા આનો અર્થ એ થાય છે કે sin = સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ સામેની બાજુ જેને આપણે ટૂંકમાં સાબા વડે દર્શાવીશું છેદમાં કર્ણ આ sin નો અર્થ થાય છે તેવી જ રીતે cosનો અર્થ થાય છે cos = પાસેની બાજુ છેદમાં કર્ણ પાસેની બાજુ લઇ છેદમાં આપણે પાબા વડે દર્શાવીશું છેદમાં કર્ણ તેવી જ રીતે tan = ટેનજેન્ટ = સામેની બાજુ છેદમાં પાસેની બાજુ આમ આ બધું જ સામેની બાજુ પાસેની બાજુ અને કર્ણના પદમાં આવશે તો ચાલો આપણે તેને એક ખૂણો લઈને સમજીએ ધારો કે આપણે આ ખૂણો લઈએ છે આ ખૂણો ધારો કે થીટા છે આ બાજુની લંબાઈ 4 છે આ બાજુની લંબાઈ 3 અને આ બાજુની લંબાઈ 5 છે આ કર્ણની લંબાઈ છે આ કર્ણ છે સૌપ્રથમ આપણે sin થીટા શોધીએ sin થીટા = સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ પછી આપણે cos અને tan થીટા પણ શોધીશું sin થીટા બરાબર સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ આપણે આ સૂત્ર યાદ રાખવાનું છે સાસાક, કોપાક અને તેસાપા સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ હવે જુઓ કે થીટાની સામેની બાજુ કઈ થશે અહી આપણે આ ખૂણાને ધ્યાનમાં રાખીએ છીએ તેથી આ ખૂણાની સામેની બાજુ એટલે તેની બંને પાસેની બાજુ સિવાયની બાજુ એટલે આ ખૂણો જે તરફ ખુલે છે તે બાજુ જે છે 3 તેથી સામેની બાજુ થશે 3 છેદમાં કર્ણ કર્ણ એ 5 છે જે આપણે પહેલા જ જોયું તેથી sin થીટા 3 /5 જે સામેની બાજુ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે જે કોઈ પણ નાના કે મોટા ત્રિકોણ માટે તે જ રહેશે હવે આપણે cos વિશે વિચારીએ માટે cos થીટા = પાસેની બાજુ છેદમાં કર્ણ સૌપ્રથમ અહી આપણે નામનિર્દેશન કરી દઈએ આ બાજુ તે આ ખૂણાની સામેની બાજુ થશે એટલે કે સાબા આમ 3 એ આ ખૂણાની સામેની બાજુ છે જે ફક્ત આ થીટા ખૂણા માટે જ લાગુ પડશે આ ખૂણા માટે 4 એ તેની પાસેની બાજુ થશે તેથી આ 4 એ પાસેની બાજુ એટલે કે પાબા છે ફરીથી જણાવી દઉં કે આ બંને ફક્ત આ થીટા ખૂણા માટે જ લાગુ પડશે જો તમે આ ખૂણો લેશો તો આ ખૂણાની સામેની બાજુ એ આ લીલી બાજુ થશે અને આ પીળી બાજુ એ તેની પાસેની બાજુ થશે તો આપણે આ ખૂણા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ cos થીટા માટે આપણી પાસેની બાજુ છે 4 માટે પાસેની બાજુ 4 છેદમાં કર્ણ કર્ણ જે 5 છે તેથી છેદમાં 5 આમ cos થીટા = 4 /5 હવે આપણે ટેનજેન્ટ માટે વિચારીએ ટેન થીટા બરાબર સામેની બાજુ છેદમાં પાસેની બાજુ સામેની બાજુ 3 છે આપણે અહી પહેલા જ દર્શાવી દીધું છે તેથી 3 છેદમાં પાસેની બાજુ જે છે 4 આમ tan થીટા =3 /4 જે આપણે અહી શોધ્યું છે જો આપણે બાજુના માપ જાણતા હોઈએ તો આપણે ત્રિકોણમીતીય ગુણોત્તર શોધી શકીએ છીએ હજી વધુ ત્રિકોણમીતીય ગુણોત્તર છે જે આ મૂળભૂત 3 ગુણોત્તર પરથી જ મેળવી શકાય છે તો ચાલો હવે આપણે આ બીજા ખૂણા માટે વિચારીએ ફરીથી આપણે ઉપર જેવું જ ત્રિકોણ દોરીએ આ મારો કાટકોણ ત્રિકોણ છે આ બાજુનું માપ 4 છે આ બાજુનું માપ 3 છે અને કર્ણનું માપ 5 છે છેલ્લા ઉદાહરણમાં આપણે આ ખૂણાને થીટા તરીકે લીધો હતો તેથી હવે આપણે આ ખૂણો લઈએ છીએ આ ખૂણાને આપણે ધારો કે x કહીશું આ ખૂણો x છે પરંતુ સામાન્ય રીતે તો થીટા જ વાપરવામાં આવે છે ચાલો આપણે હવે આ ખૂણા x માટે આ ત્રોનેય ત્રિકોણમીતીય ગુણોત્તર શોધીએ તો વિચારો sin x શું થશે sin = સામેની બાજુ છેદમાં કર્ણ હવે xની સામેની બાજુ કઈ થશે અહી આ ખૂણો આ તરફ ખુલે છે તેથી આ 4 એ તેની સામેની બાજુ થશે તેથી આ બાજુ એ તેની સામેની બાજુ એટલે કે સાબા થશે યાદ રાખો કે થીટા ખૂણા માટે 4 એ પાસેની બાજુ હતી પરંતુ x એ બીજો ખૂણો હોવાથી 4 એ તેની સામેની બાજુ થશે માટે સામેની બાજુ 4 છેદમાં હવે વિચારો કે કર્ણ શું થશે કોઈ પણ ખૂણા માટે કર્ણ તે જ રહે છે તેથી અહી કર્ણ 5 જ રહેશે તેથી 4 /5 આમ sin x = 4 /5 ચાલો શોધીએ cos x = શું થાય cos = પાસેની બાજુ છેદમાં કર્ણ x માટે વિચારો કે હવે x માટે પાસેની બાજુ કઈ થશે આ કર્ણ છે માટે આ 3 એ તેની પાસેની બાજુ થશે એટલે કે પાબા થશે પાસેની બાજુ એ આ ખૂણા પાસેના શિરોબિંદુથી શરુ થતી કર્ણ સિવાયની બાજુ છે માટે આ 3 એ પાસેની બાજુ થશે તેથી પાસેની બાજુ 3 છેદમાં કારણ જે 5 છે અને છેલ્લે હવે આપણે tan x શોધીએ tan = સામેની બાજુ છેદમાં પાસેની બાજુ માટે tan x થશે સામેની બાજુ જે અહી 4 વડે આપણે દર્શાવી છે તેથી 4 છેદમાં પાસેની બાજુ જે 3 છે તેથી 4 /3 જે થઇગયું પછીના વિડીઓમાં આપણે વધુ ઉદાહરણો જોઈશું પરંતુ હમણાં તમને હું એ વિચારવા માટે આપુ છુ કે જો આ ખૂણો કાટખૂણો 90 અંશની નજીક પહોચી જાય તો શું થાય અથવા 90 અંશથી વધી જાય તો શું થાય આ બધા જ સુત્રો 0થી 90 અંશની વચ્ચે અથવા 90 અંશથી ઓછા માપના ખૂણાઓ માટે જ લાગુ પડી શકે છે પરંતુ સાસાક , કોપાક ,ટેસાપા કોઈ પણ ખૂણા માટે sin ,cos અને tanની કિંમત શોધવા માટે વપરાય છે.