સમ અને વ્યસ્ત પ્રમાણનો પરિચય

આ વિડિઓમાં આપણે સમપ્રમાણ અને વ્યસ્થ પ્રમાણ વિશે સમજીશું અહીં ડાબી બાજુ એ આપણે સમપ્રમાણના ઉદાહરણ અને અહીં જમણી બાજુ વ્યસ્થ પ્રમાણ વિશે સમજીએ હવે જો કોઈ બે ચલ સમપ્રમાણમાં છે તેમ દર્શવવું હોય તો તેને આ રીતે લખી શકાય કે y = કોઈ અચળાંક ગુણ્યાં x જેને શબ્દોમાં આ રીતે દર્શાવાય કે y એ x ના સમપ્રમાણમાં છે અથવા સમપ્રમાણમાં ચલે છે અહીં kએ કોઈ પણ અચલ સંખ્યા હોઈ શકે દાખલતરીકે આપણે તેને આ રીતે પણ દર્શાવી શકીએ કે y = x અહીં k ની કિંમત 1 છે તેમ કહી શકાય આ રીતે પણ દર્શાવી શકાય કે y = 2x જ્યાં 2 એ અચળાંક છે આમ પણ હોઈ શકે કે y = 1 /2x જ્યાં 1 /2 એ k ની કિંમત એટલે કે અચળાંક છે અથવા આમ પણ હોઈશકે કે y =-2x જ્યાં -2 1 અને અચળાંક છે આમ પણ હોઈ શકે કે y = -1 /2x અથવા y = પાઇ ગુણ્યાં x અથવા y = - પાઇ ગુણ્યાં x અને તમને ખ્યાલ આવી ગયો હશે કે x સાથે કોઈ પણ અચલ સંખ્યા ગુણાયેલી હોય તો y અને xનું અહીં સમપ્રમાણ છે તેમ કહી શકાય આપણે તેને સાથે પણ સમજીએ અહીં ધન અને ઋણ બંને અચળાંક લઈને સમજીએ ધારો કે આપણી પાસે છે y = 2x તે માટે અમુક કિંમતો લઈને સમજીએ x ની કિંમતો માટે y શું મળે છે તે જોઈએ જો x ની કિંમત 1 હોય તો y મળશે 2 ગુણ્યાં 1 = 2 બરાબર 2 લઈએ તો y થશે 2 ગુણ્યાં 2 = 4 આમ જયારે આઓને x ના બમણા કરીએ છીએ ત્યારે એ જ બાબત y સાથે પણ થાય છે એટલે કે તે પણ બમણા બને છે આમ તે સમપ્રમાણ દર્શાવે છે x માં જેટલા પ્રમાણમાં વધારો થાય y માં પણ એટલા જ પ્રમાણમાં વધારો થશે x માં જેટલા પ્રમાણમાં ઘટાડો થાય એટલા જ પ્રમાણમાં y માં પણ ઘટાડો થશે માટે તે સમપ્રમાણ દર્શાવે છે આમ આ આપેલ ઉદાહરણ માંથી કોઈ પણ માટે આ બાબત સાચી છે વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ y = -2x ને બદલે આપણે અહીં લઈએ y = -3x અહીં પણ અમુક કિંમતો લઈએ જેમાં x ની દરેક કિંમત માટે y ની કિંમત શું મળે છે તે જોઈએ જો x = 1 લઈએ તો y થશે -3 ગુણ્યાં 1 = -3 જો x = 2 લઈએ તો y થશે -3 ગુણ્યાં 2 = -6 ફરી વખત જુઓ કે આપણે અહીં બમણા કાર્ય કે બે સાથે ગુણાકાર કર્યો માટે -3 પરથી -6 મેળવવા અહીં પણ તેના બમણા કરવા પડે એટલે કે -3 ને 2 સાથે ગુણાકાર કરવો પડે વધુ એક કિંમત લઈને જોઈએ ધારો કે x ની કિંમત છે 1 /3 તો y ની કિંમત થશે -3 ગુણ્યાં 1 /3 એટલે કે -1 જુઓ આપણે અહીં 1 નો 3 વડે ભાગાકાર કર્યો છે તો -3 ને 3 વડે ભાગતા આપણને મળે છે -1 આમ x નો જે દિશામાં ફેરફાર થાય તે જ દિશામાં y માં પણ ફેરફાર થાય છે હવે ઘણી વખત સમપ્રમાણ થોડું અલગ રીતે પણ આપેલું હોય છે દાખલ તરીકે આપણે આ ઉદાહરણ પરથી જોઈએ જો બંને બાજુ x વડે ભાગીએ આપણે મળે y /x = -3 અથવા હવે જો બંનેને y વડે ભાગીએ તોતે થશે 1/x = -3 ગુણ્યાં 1/y આ ત્રોણેય એક જ બાબત દર્શાવે છે કે x અને y સમપ્રમાણમાં છે અહીં આ બંને પદોનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને આ જ પદ મળે આ રીતે પણ કરી શકાય કે બંન બાજુ -3 વડે ભાગીએ તો તે થશે - 1 /3 y = x જો હવે અહીં એમ કહી શકાય કે x એ y ના સમચારણમાં છે અથવા સમપ્રમાણમાં છે હવે y સાથે કોઈ અચળાંક ગુણાયેલ છે આમ y એ x ના સમપ્રમાણમાં છે તેને આપણે આ રીતે પણ દર્શાવી શકાય કે x એ y ના સમપ્રમાણમાં છે બંને એક જ બાબત દર્શાવે છે આ બંને પરિસ્થિતિમાં આ જે અચળાંક છે તેની કિંમત બદલાઈ જશે તે એક બીજાના વ્યસ્થ થઇ જશે જેમ અહીં -3 છે તો અહીં -1 /3 છે પણ બંને સમપ્રમાણમાં છે અથવા સમચલણમાં છે તેમ કહેવાય હવે વ્યસ્થપ્રમાણ વિશે સમજીએ અહીં પણ બે ચલ લઈએ જરૂરી નથી કે દર વખતે x અને y લેવા અહીં ચલ તરીકે a અને b પણ હોઈ શકે અથવા m અને n પણ હોઈ શકે m = k ગુણ્યાં n એ રીતે પણ લખી શકાય માટે અહીં લખવું પડે કે m એ n ના સમપ્રમાણમાં છે પણ આપણે અહીં y અને x લીધા છે તો અહીં પણ y અને xની મદદથી સમજીએ વ્યસ્થ પ્રમાણમાં થશે y = કોઈ અચલ સંખ્યા ગુણ્યાં 1 /x અહીં કોઈ અચળાંક સાથે x ગુણાયેલો હતો જયારે અહીં કોઈ અચળાંક સાથે 1/x ગુણાકારના સબંધમાં છેતેના ઉદાહરણ લઈએ તો તે હોઈ શકે y = 1 /x અથવા y = 2 ગુણ્યાં 1 /x જેને આ રીતે પણ લખી શકાય કે 2 /x તે આ રીતે પણ હોઈ શકે કે y = 1 /3 ગુણ્યાં 1 /x અથવા તો 1 /3x આ રીતે પણ લખાય આમ પણ હોઈ શકે y = -2 /x તેના પણ ઉદાહરણ લઈએ આપણે આ પદ લઈએ y = 2 /x ફરીથી અમુક કિંમતો લઈને તે સમજીએ અહીં x લઈએ અહીં y જો x = 1 તો y થશે 2 ભાગ્યા 1 = 2 જો x = 2 લઈએ તો y થશે 2 ભાગ્યા 2 = 1 આમ જુઓ કે અહીં 1 નો 2 સાથે ગુણાકાર કર્યો જયારે અહીં 2 નો 2 વડે ભાગાકાર કરતા 1 મળશે x માં જેટલા પ્રમાણમાં વધારો તે જ પ્રમાણમાં y માં ઘટાડો જોવા મળે છે અહીં 2 સાથે ગુણાકાર જયારે અહીં 2 વડે ભાગાકાર છે વધુ એક કિંમત લઈએ જો x ની કિંમત લઈએ 1 /2 એટલે કે અહીં 1 નો 2 વડે ભાગાકાર કર્યો તો અહીં 2 નો 2 સાથે ગુણાકાર થશે તો અહીં 2 નો 2 સાથે ગુણાકાર થશે એટલે કે અહીં મળશે 4 આમ 2 ના છેદમાં 1 /2 જે મળે 2 ગુણ્યાં 2 = 4 આ જ બાબત આપણે ઋણ સાથે પણ ચકાસી શકીએ અહીં 2 વડે ભાગાકાર થાય છે જયારે અહીં 2 સાથે ગુણાકાર છે હવે જરૂરી નથી કે વ્યસ્થ પ્રમાણ આ રીતે જ આપેલું હોય તે આ રીતે પણ હોઈ શકે કે જો બંને બાજુ x સાથે ગુણીએ તો તે થશે xy = 2 આ પણ વ્યસ્થ પ્રમાણ જ દર્શાવે છે અથવા જો બંને બાજુ y વડે ભાગીએ તો તે થશે x = 2 /y અથવા આ રીતે પણ લખી શકાય 2 ગુણ્યાં 1 /y જુઓ કે અહીં y = 2/x છે જયારે અહીં x = 2/y છે બંને વ્યસ્થ પ્રમાણ દર્શાવે છે માટે આપણે લખી શકીએ કે y એ x ના વ્યસ્થ પ્રમાણમાં છે અથવા વ્યસ્થ ચલણમાં છે તેમ જ આ રીતે પણ લખી શકાય કે x એ y ના વ્યસ્થ પ્રમાણમાં છે જો આ જ પદને બંને બાજુ 2 વડે ભાગીએ તો તે થશે y /2 = 1 /x આ પણ વ્યસ્થ સંભંધ જ દર્શાવે છે આમ જો કોઈ બે ચલ સમપ્રમાણમાં છે કે વ્યસ્થ પ્રમાણમાં છે તે જાણવા માટે આ રીતે કોષ્ટક બનાવીને ગણતરી કરીને પણ તમે ચકાસી શકો જો x માં જેટલા પ્રમાણમાં વધારો થયો હોય તેટલા જ પ્રમાણમાં y માં વધારો થાય તો તે સમપ્રમાણ દર્શાવે છે અને જો x માં અથવા તો કોઈ એક ચલમાં જેટલા પ્રમાણમાં વધારો થાય તેટલા પ્રમાણમાં બીજા ચલમાં ઘટાડો થતો હોય તો તે વ્યસ્થ પ્રમાણ દર્શાવે છે અથવા બીજી રીતે એ છે કે તમને બે ચલ જે સબંધમાં આપ્યા હોય તેનું બીજ ગણિતની રીતે સદ્ગુરુપ આપીને આ રીતે પદ મેળવો અથવા આ રીતે પદ મેળવો જે સમપ્રમાણ છે કે વ્યસ્થ પ્રમાણ તે દર્શાવે છે.