If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :5:27

બહુપદીના શૂન્યો & તેનો આલેખ

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

બહુપદી વિધેય વાય ઈઝ ઇકવલ ટુ એક્ષ ક્યુબ પ્લસ થ્રી એક્ષ સ્ક્વેર પ્લસ એક્ષપ્લસ થ્રીના વાસ્તવિક શૂન્યોનો ઉપયોગ કરીને નીચેઆપેલા આલેખમાંથી યોગ્ય આલેખ પસંદ કરો આપણે આ પ્રશ્નને ઘણી બધી રીતે ઉકેલી શકીએ સૌપ્રથમ આપણે આ બધા ગ્રાફ જોઈએ અને તેના શૂન્યો શું છે તે મેળવીએ અને તે શૂન્યો એટલેકે રૂટ્સને આપેલ પોલીનોમીયલમાં મૂકી ચકાસીએ કે વાય ઈઝ ઇકવલ ટુ જીરો મળે છે છે કે નહિ સૌપ્રથમ આપણે ગ્રાફ એ ને ઉકેલીએ અહી આપણે જોઈ શકીએ કે આ બિંદુ આગળ આપણને એક રૂટ મળે છે જે એક્ષ બરાબર માઈનસ થ્રી આગળ મળતું હોય તેવું લાગે છે આથી આ બિંદુ આપણને માઈનસ થ્રી જીરો મળે આપણે આ એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ થ્રી ને આપેલ પોલીનોમીયલમાં મુકીએ આથી આના બરાબર માઈનસ થ્રી ક્યુબ પ્લસ થ્રી ઇન્ટુ માઈનસ થ્રી સ્ક્વેર પ્લસ માઈનસ થ્રી પ્લસ થ્રી હવે આને ઉકેલતા માઈનસ થ્રી ક્યુબ આપણને માઈનસ ટ્વેન્ટી સેવેન મળે પ્લસ થ્રી ઇન્ટુ થ્રી સ્ક્વેર થ્રી સ્ક્વેર ઈઝ ઇકવલ ટુ નાઈન થાય અને નાઈન ઇન્ટુ થ્રી આપણને ટ્વેન્ટી સેવેન મળે પ્લસ માઈનસ માઈનસ થ્રી પ્લસ થ્રી અહી માઈનસ ટ્વેન્ટી સેવેન અને પ્લસ ટ્વેન્ટી સેવેન કેન્સલ થઇ જશે તેજ રીતે માઈનસ થ્રી અને પ્લસ થ્રી કેન્સલ થઇ જશે અને તેને બરાબર જીરો મળશે આથી ગ્રાફ એ સાચો છે હવે આજરીતે આપણે ગ્રાફ બીને ઉકેલીએ તો અહી આપણને એક રૂટ મળે છે જે એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ ટુ આગળ મળતું હોય તેવું લાગે છે અને તેજ રીતે એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ વન આગળ મળે છે અને એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ થ્રી આગળ મળતું હોય તેવું લાગે છે અહી આપણે જાણીએ છીએ કે એ આપણો યોગ્ય વિકલ્પ છે છતાં પણ જો તમે એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ ટુ એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ વન અથવા તો એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ થ્રી તમે આ પોલીનોમીયલમાં મુકશો તો તમને એના બરાબર જીરો મળશે નહિ તેજ રીતે જો તમે એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ ફોર અને એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ સેવેન આપેલ પોલીનોમીયલમાં મુકશો તો તમને જીરો જવાબ મળશે નહિ કારણકે ગ્રાફ એમાં એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ ફોર અથવા તો એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ સેવેન આગળ રીઅલ ફંક્સન એટલેકે વાસ્તવિક વિધેય જીરો થતું નથી જો બીજી રીતે વિચારીએ તો આ ફંક્સન થશે નહિ કારણકે આપેલ પોલીનોમીયલના થ્રી રૂટ્સ મળશે આથી ટોટલ આપણને ત્રણ શૂન્યો મળવાના છે એટલેકે થ્રી રૂટ્સ મળવાના છે હવે તે થ્રી રૂટ્સ વેયલ અથવા તો ઈમેજનરી હોઈ શકે હવે આ પ્રશ્નની ચાવી એ છે કે કાલ્પનિક શૂન્ય કાલ્પનિક શૂન્યો જોડીમાંજ મળે જોડીમાજ મળે છે આથી આ પ્રશ્નની ચાવી એ છે કે કાલ્પનિક શૂન્યો જોડીમાંજ મળે છે હવે જો ત્રણેય શૂન્યો આપણા વાસ્તવિક હોય તોઅહી આપણે જોઈ શકીએકે આગ્રાફમાં આપણને ત્રણેય શૂન્યો વાસ્તવિક મળે છે પરંતુ આગળ જોયા પ્રમાણે આ આપણો સાચો ઉકેલ નથી હવે બીજી શક્યતા એ છે કે એક વાસ્તવિક બીજ તથા બે કાલ્પનિક બીજ પણ હોઈ શકે અને અહી આપણે જોયું કે બે વાસ્તવિક બીજ છે પણ આ શક્ય નથી હવે બીજી શક્યતા એ છે કે એક વાસ્તવિક બીજ હોઈ શકે એક વાસ્તવિક અને બે કાલ્પનિક બીજ હોઈ શકે અહી આ ગ્રાફમાં આપણે જોઈ શકીએ કે આપણને બે રીઅલ રૂટ એટલેકે વાસ્તવિક બીજ મળે છે પરંતુ આ ગ્રાફ સાચો નથી આપણે અહી જોઈ શકીએકે આપણને બે વાસ્તવિક બીજ મળે છે પરંતુ આ શરત માટે તે સાચું નથી અને જો બે વાસ્તવિક બીજ મળે તો એક કાલ્પનિક બીજ મળે પરંતુ તેના માટે આ શક્ય નથી હવે ધારી લઈએ કે આપણી પાસે આ ગ્રાફ નથી અને તમને કોઈ આના બીજ શોધવાના કહે તો એવા સંજોગોમાં તમે આના અવયવ પાડી શકો તો આપણે આના અવયવ પાડીએ વાય ઈઝ ઇકવલ ટુ એક્ષ ક્યુબ પ્લસ થ્રી એક્ષ સ્ક્વેર પ્લસ એક્ષ પ્લસથ્રી હવેજો ઘણીબધી ટમ્સમાં કોમનફેક્ટોર આવતા હોય તો આપણે ગ્રુપ એટલેકે સમુહ વાળી મેથડનો યુઝ કરી શકીએ હવે આ પહેલી બે ટમ્સનું આપણે એક ગ્રુપ બનાવીએ આ બંને માંથી આપણને કોમન ફેક્ટોર એક્ષ સ્ક્વેર મળે છે આથી એક્ષ સ્ક્વેર બ્રેકેટમાં એક્ષ પ્લસ થ્રી મળે હવે તેજ રીતે આ બે ટમ્સનું આપણે ગ્રુપ બનાવીએ તો આ બંને માંથી આપણને પ્લસ વન કોમનફેક્ટોર મળે છે આથી બ્રેકેટમાં એક્ષ પ્લસ થ્રી હવે આ બંને ટમ્સમાં એક્ષ પ્લસ થ્રી એ કોમનફેક્ટોર છે આથી એક્ષ પ્લસ થ્રી ઇન્ટુ એક્ષ સ્ક્વેર પ્લસ વન હવે જો વાય ઈઝ ઇકવલ ટુ જીરો હોય તો આ બંને ટમ્સમાંથી કોઈ એક ટમ્સ જીરો હોઈ શકે હવે એક્ષ પ્લસ થ્રી ક્યારે જીરો હોઈ શકે આપણે બંનેબાજુ થ્રી ને સપ્ટટ્રેટ કરીએ તો આપણને એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ થ્રી મળે છે હવે તેજરીતે એક્ષ સ્ક્વેર પ્લસ વન ઈઝ ઇકવલ ટુ જીરો ક્યારે હોઈ શકે આથી આના બરાબર આપણને એક્ષ સ્ક્વેર ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ વન મળે આથી એક્ષ એ કાલ્પનિક બને છે અને જો તેને વધુ વ્યાપક રીતે લખીએ તો તેનું મુલ્ય આપણને શંકરસંખ્યામાં પ્રાપ્ત થાય છે અહી આપણને કાલ્પનિક બીજોની જોડ મળે છે અને એક વાસ્તવિક બીજ એક્ષ ઈઝ ઇકવલ ટુ માઈનસ થ્રી આગળ મળે છે