બહુપદીના શૂન્યનો પરિચય

ધારો કે આપણી પાસે એક બહુપદી p(x) છે આપણે તેના અવયવ પડ્યા છે તો આપણે આ બહુપદીને અવયવ સ્વરૂપે લખીએ x - 1 ગુણ્યાં x + 2 ગુણ્યાં x - 3 ગુણ્યાં x + 4 હવે આપણે આ વિડિઓમા આ બહુપદીના શૂન્યો એટલે કે ઝીરોસ શોધવા માંગીએ છીએ તમે કહેશો કે બહુપદીનું શૂન્ય એટલે શું થાય તે x ની એવી કિંમતો છે જે આ બહુપદીને શૂન્ય બનાવે જો તેના વિશે બીજી રીતે વિચારવું હોય તો x ની એવી કિંમતો કઈ છે જે p(x) ને શૂન્ય બનાવે છે અથવા જો તેના વિશે બીજી રીતે વિચારવું હોય તો xની એવી કિંમતો કઈ છે જેના કારણે આ પદાવલિ 0 થાય તો x ની એવી કઈ કિંમતો છે જેના માટે x - 1 ગુણ્યાં x + 2 ગુણ્યાં x - 3 ગુણ્યાં x + 4 = 0 થાય તમે વિડિઓ અટકાવો અને જાતે જ તેના વિશે વિચારો અહીં મહત્વની બાબત એ છે કે તમારી પાસે આ પદાવલિઓનો ગુણાકાર છે જો આમાંની કોઈ પણ એક પદાવલિ 0 થઇ જાય તો બાકીની પદાવલિઓ કઈ છે તે મહત્વનું નથી કારણ કે 0 નો ગુણાકાર કોઈ પણ સાથે કરવામાં આવે તો તેના બરાબર 0 જ થાય જેને આપણે શૂન્ય ગુણાકારનું ગુણધર્મ કહીએ છીએ જો તમે આમાંની કોઈ પણ એક પદાવલિ માટે x ની કિંમત શોધી નાખો જે તે પદાવલિને 0 બનાવે તો તેના કારણે આ આખી જ પદાવલિ 0 થઇ જશે તેથી જો આપણે આ બહુપદીના શૂન્યોની વાત કરીએ તો તેના માટે x ની એક કિંમત a થશે જે આ x - 1 ને 0 બનાવે x - 1 ને 0 બનાવે હવે આવું ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે અહીં x = 1 હોય આપણે આ સમીકરણની બંને બાજુ એક ઉમેની શકીએ તેથી આપણને x = 1 મળે આમ અહીં આ બહુપદીનું એક 0 x = 1 છે જો આપણે તેને બીજી રીતે લખવું હોય તો તેને આપણે આ પ્રમાણે લખી શકીએ જયારે x ની કિંમત 1 મૂકીએ ત્યારે આ બહુપદી 0 થાય હું તે કઈ રીતે જાણી શકું જો આપણે અહીં 1 મૂકીએ તો અહીં આ પદાવલિ x - 1 0 થાય અને પછી આ બધાનો 0 સાથે ગુણાકાર પણ 0 જ થાય હવે આ જ સમાન ખ્યાલની સાથે આપણે બહુપદીના બાકીના શૂન્યો પણ શોધી શકીએ હવે કઈ કિંમત આ ભાગને 0 બનાવે x ની કઈ કિંમત x + 2 ને શૂન્ય બનાવે જો આપણે x = -2 લઈએ તો અહીં આ પદાવલિ 0 થઇ જાય તેથી x = -2 આ બહુપદીનો બીજો શૂન્ય થશે આપણે આ રીતે આગળને આગળ વધી શકીએ હવે x ની કઈ કિંમત x - 3 ને 0 બનાવે જો આપણે x = 3 લઈએ તો તે અહીં આ ભાગને 0 બનાવે અને તેના કારણે આ આખી બહુપદી પણ 0 થઇ જાય અને હવે અંતે x ની કઈ કિંમત x + 4 ને 0 બનાવે જો x = -4 લઈએ તો અહીં આ ભાગ 0 થઇ જાય આમ આપણે આ બહુપદીના ચાર શૂન્યો શોધ્યા જયારે x = 1 હોય ત્યારે આ બહુપદી 0 થાય જયારે x = -2 હોય ત્યારે આ બહુપદી 0 થશે જયારે x = 3 હોય ત્યારે પણ આ બહુપદી 0 થાય અને જયારે x = -4 હોય ત્યારે પણ આ બહુપદી 0 થાય હવે બહુપદીના 0 વિશે રસપ્રત બાબત કઈ છે તમે આ શૂન્યોનો ઉપયોગ કરીને આ બહુપદીનો આલેખ કેવો દેખાશે તે જાણી શકો ઉદા તરીકે આપણે અહીં જાણીએ છીએ કે આ બહુપદી આ શૂન્યો આગળ 0 થાય હું અહીં એક રફ આલેખ દોરીશ આ x અક્ષ છે અને અહીં આ y અક્ષ છે y અક્ષ 1 ,2 ,3 ,4 અહીં ડાબી બાજુ -1 ,-2 ,-3 ,-4 હવે આપણે જાણીએ છીએ કે જયારે x =1 હોય ત્યારે આ બહુપદીની કિંમત 0 થાય માટે તે x અક્ષને આ જગ્યાએ છેદે છે તેની કિંમત 0 x = -2 આગળ તેની કિંમત ફરીતી 0 થશે જે અહીં છે ત્યાર બાદ x = 3 અને પછી અંતે x = -4 ફક્ત આટલી માહિતી પરથી તે આલેખ કેવો દેખાશે તે આપણે કહી શકીએ નહિ તેના માટે આપણે બીજી બાબતો પણ શોધવી પડશે જેમ કે આ આલેખ x અક્ષની ઉપર આવશે કે નીચે આવશે પરંતુ આપણે એટલું જાણીએ છીએ કે તે અહીં આ બિંદુઓ આગળ x અક્ષને છેદે છે માટે તેનો આલેખ કઈક આ રીતે દેખાઈ શકે તે આલેખ કંઈક આ પ્રમાણે દેખાઈ શકે અથવા તે આલેખ કંઈક આ પ્રમાણે પણ દેખાઈ શકે પરંતુ તે ચોક્કસ કેવો દેખાશે તે શોધવા આપણે હજુ વધારે ગણતરીઓ કરવી પડે પરંતુ મેં અહીં આ આલેખ દોર્યો છે અને તે કંઈક આ રીતે દેખાય છે તમે અહીં જોઈ શકો કે આપણે જે પ્રમાણે અનુમાન કર્યું હતું તે જ પ્રમાણે આ આલેખ દેખાય છે તે 4 x ની કિંમતો આગળ x અક્ષને છેદે છે અહીં આ x = -4 છે જે બહુપદીનો એક 0 છે ત્યાર બાદ આ x = 3 જેને તમે અહીં જોઈ શકો તે પણ બહુપદીનો એક શૂન્ય છે ત્યાર બાદ x = -2 જે અહીં છે તે પણ બહુપદીનો શૂન્ય છે અને અંતે x = 1 આપણે ભવિષ્યના વિડિઓમાં આના વિશે ઊંડાણમાં અભ્યાસ કરીશું