ચલ, પદાવલિ, અને સમીકરણ

જયારે આપણે મૂળભૂત અંકગણિત સાથે કામ કરીએ છે ત્યારે વાસ્તવિક સંખ્યા વિષે આપણે વિચારીએ છે દાખલા તરીકે 23 + 5 આપણે જાણીએ છે કે અહી આજે સંખ્યા લખી છે તે શું છે અને આપણે તેને ગણી પણ શકીએ છે તે થશે 28 આપણે તેને 2*7 લખી શકીએ આપણે 3/4 પણ કહી શકીએ આ બધી બાબતો માં આપણે જાણીએ છે કે આપણે ખરેખર કઈ સંખ્યા ઓ સાથે કામ કરી રહયા છે પરંતુ હવે આપણે બીજ ગણિત ની દુનિયા માં જવાનું શરુ કરીએ અને તમે તે કદાચ પહેલા જોયું હશે આપણે ચલ વિષે વિચારીએ તમે ઘણી બધી રીતે ચલ વિષે વિચારી શકો તેઓ પોતાની કિંમત ત્યાં જ દર્શાવે છે જ્યાં તેઓ બદલાઈ એટલે કે તેમની અભી વ્યક્તિ ની કિંમત ને બદલી શકાઈ છે ઉદાહરણ તરીકે હું અહી લખું છું x+5 અહી આપણે 1 પદાવલી અથવાતો અભી વ્યક્તિ લખી છે એમ કહીએ x નું મુલ્ય કેટલું છે તેના પર તેનું મુલ્ય આધારિત છે હવે જો x = 1 હોય તો x+5 આમ આ પદાવલી ને અહી લખી છે તેની કિંમત શું થશે હવે જુઓ કે આપની પાસે x=1 છે માટે તે 1+5 થશે જેને બરાબર મળે 6 જો x= -7 હોય x ની જગ્યા એ હવે -7 લઈએ તો x+5 બરાબર ફરીથી xની જગ્યા એ તેની કિંમત જે અહી -7 છે હવે -7 + 5 જે થશે -2 તો હવે અહી નોંધવા જેવી બાબત એ છે કે અહી જે ચલ x છે તેના કિંમત ના આધારે આ પદાવલી ની કિંમત બદલાતી રહે છે તે આપણે સમીકરણ ના સંદર્ભ માં પણ જોઈ શકીએ હવે ખરેખર પદાવલી અને સમીકરણ વચ્ચે નો ભેદ સમજવો પણ ખુબ જરૂરી છે પદાવલી અથવા તો અભીવ્યક્તિ એ ખરેખર તો મુલ્ય દર્શાવતું એક ગાણિતિક વિધાન છે અમુક પ્રકારના જથ્થા માટે નું કથાન આમ અહી લખીએ પદાવલી આમ આ પદાવલી છે x+5 તે આ પ્રકારની પણ હોય શકે આ પદાવલી માં ફેરફાર થવાનો આધાર ચલ ના મુલ્ય ઉપર છે x ની જુદી જુદી કિંમાંત માટે તમે તેનું મુલ્ય શોધી શકો બીજી આ સ્વરૂપે પણ પદાવલી હોય શકે y+z જુઓ આમાં બંને ચલ છે જો y 1 અને z 2 તો 1+2 થશે જો y 0 અને z -1 હોય તો 0 + -1 થશે આ બધાની કિંમત શોધી શકાઈ છે અને આ બધી કિંમત પર આધાર રાખે છે જે એક પદાવલી બનાવે છે હવે સમીકરણ વિષે વાત કરીએ તો સમીકરણ માં પદાવલીઓ ની ગોઠવણી હોય છે અને માટે તેને સમીકરણ કહેવાય છે સમીકરણમાં એક પદાવલી ને બીજી પદાવલી સાથે સરખાવી શકાઈ છે દાખલા તરીકે x+3 = 1 આ પરીસ્તીથીમાં આપની પાસે એક અજ્ઞાત સંખ્યા વાળું સમીકરણ છે અને તેમાં આપણે શોધવાનું હોય છે કે x ની જગ્યાએ શેની જરૂર છે તે ગણતરી તમે મન માં પણ કરી શકો કેટલા વત્તા 3 બરાબર 1 થાય? જો મારી પાસે -2 + 3 હોય તો તેને બરાબર 1 મળે આમ સમીકરણ એ તે બાબત નું નિયંત્રણ કરે છે કે આ ચલ માટે આપણે કઈ કિંમત લઈએ શકીએ પણ તે રીતે તેના પર નિયંત્રણ રાખવું જરૂરી નથી જો આપની પાસે x+y+z = 5 આપેલ હોય તો આ એક પદાવલી બરાબર બીજી પદાવલી થાય 5 એ પણ એક પદાવલી છે અહી કઈક નિયંત્રણ છે જો તમને કોઈ એવું પૂછે કે y અને z શું છે તો પહેલા x જાણવો પડે જો તમને x અને y નું પૂછે તો z ની જાણકારી હોવી જોઈએ ઉદાહરણ તરીકે y=3 અને z=2 હોય તો તો આ ડાબી બાજુની જે પદાવલી છે તે x+3+2 જેટલી થશે માટે તે x+5 થશે આ જુઓ કે આ જે પદ છે તેની કિંમત 5 થશે આમ x+5 = 5 અને તેથી શું વત્તા 5 બરાબર 5 થશે? માટે હવે આપણે કહી શકીએ કે x = 0 હોવો જોઈએ તમને પદાવલી અને સમી કરણ વચ્ચે નો ફરક સમજાઈ ગયો હશે સમીકરણમાં 2 અભીવ્યક્તિઓ ને આપણે સરખાવી રહ્યા છે આપણે અહીંથી મહત્વની બાબત એ જાણવાની છે કે દાખલાના સંદર્ભમાં આપણે ચાલની જુદી જુદી કિંમતો લઇ શકીએ છે થોડાવધુ ઉદાહરણ દ્વારા તે સમજીએ ધારોકે આપણી પાસે એક પદાવલી છે જે x ની y ઘાત ના સ્વરૂપમાં છે અને જો x = 5 તેમજ y = 2 હોય તો આપણને આ અભીવ્યક્તિની કિંમત મળશે x ની કિંમત લઈએ 5 અને y ની કિંમત છે 2 આમ તે 5 ની 2 ઘાત એટલે કે તે 5 ના વર્ગ ને બરાબર થશે જે થશે 25 જો આપણે કિંમતો બદલીને જોઈએ ધારોકે x બરાબર લઈએ -2 અને y બરાબર 3 હવે તેની પણ કિંમત મેળવીએ x ની કિંમત અહિયાં લઈએ -2 અને y ની કિંમત 3 લેતા આમ તે -2*-2*-2 ને બરાબર થાય જે થશે -8 થોડું વધુ અઘરું ઉદાહરણ જોઈએ ધારોકે વર્ગમૂળ માં x+y છે અને તેમાં થી x બાદ કરવાના છે આમ તે પદાવલી થશે વર્ગ્મુલમાં x+y -x અને આપણે એવું કહીએ કે x=1 અને y=8 છે હવે આ પદાવલી ની કિંમત મેળવવા જ્યાં પણ x મળે ત્યાં મુકીએ 1 અહી પણ x ની જગ્યા એ 1 તેમજ જ્યાં પણ y જોવા મળે ત્યાં મુકીએ 8 હવે આ પદાવલી ની કિંમત મેળવીએ અહી x ની જગ્યા એ 1 અને y ની જગ્યા એ 8 મુકેલ છે આમ વર્ગમૂળ માં આપની પાસે 1+8 છે જેની કિંમત મળે 9 અને 9 નું જે થશે 3 આમ આ આખી પદાવલી નું સાદુરૂપ થશે 3-1 = 2 વર્ગ્મુલમાં 1+8 બરાબર 9, 9 નું વર્ગમૂળ 3 અને 3-1 = 2