બહુપદીનું પુનરાવર્તન

હું આ વીડિઓમાં બહુપદી એટલે કે polynomial સમજ આપવા માંગું છું. આ એક એવી પદાવલી છે જેમાં ઘણાં બધા ચલો અથવા અચલ પદો હોય છે અને તેમના ઘાતાંક શૂન્યતર હોય છે આપણે એક ઉદાહરણ લઈને સમજીએ જો આપણી પાસે x નો વર્ગ + 1 હોય તો આ બહુપદી છે ખરેખર તો આ દ્વિપદી છે કારણ કે તેમાં બે પદો છે બહુપદી શબ્દ સામાન્ય છે જેનો અર્થ ઘણા બધા પદ થાય અહીં બહુ નો અર્થ ઘણું થાય અહી આ દ્વિપદી છે હવે જો આપણી પાસે બીજી બહુપદી હોય 4x નો ઘન - 2x નો વર્ગ + 7 તો આ ત્રિઘાત બહુપદી છે કારણકે અહીં આપણી પાસે 3 પદો છે હવે આપણે બહુપદી શું છે? અને શું નથી? તેની વધારે સમજ લઈએ ઉદાહરણ તરીકે જો આપણી પાસે એક પદાવલી હોય જેમકે x ની ઋણ એક દ્વિત્યાંશ ઘાત + 1 તો અહીં આ બહુપદી નથી આપણે તેને બહુપદી એટલા માટે ન કહી શકીએ કે અહી આ ઋણ અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંકમાં છે હવે જો આપણી પાસે બીજી પદાવલી y ગુણ્યાં વર્ગમૂળમાં y - y નો વર્ગ હોય તો તે પણ બહુપદી થશે નહિ કારણ કે અહીં વર્ગમૂળ છે વર્ગમૂળ બરાબર એક દ્વિત્યાંશ ઘાત તો આપણી પાસે દરેક ચલના ઘાતાંકો અનઋણ હોવા જોઈએ માટે આ બંને પદાવલીઓ બહુપદી નથી હવે જયારે આપણે બહુપદી સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ ત્યારે આપણી પાસે અમુક શબ્દોની સમજ હોવી જોઈએ કદાચ તમે તેનાથી પરિચિત હોઈ શકો અને ન પણ હોઈ શકો તો આપણે હવે તે દરેક શબ્દોને સમજીએ સૌથી પહેલા આપણે બહુપદીની ઘાત સમજીએ તેનો અર્થ એ થયો કે બહુપદીમાં સૌથી મોટો ઘાતાંક અહીં આપેલી આ બહુપદીમા અહીં આ પદ એ સૌથી મોટો ઘાતાંક ધરાવે છે માટે આપણે આ બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહી શકીએ આપણે તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહી શકીએ હવે તે ત્રિઘાત બહુપદી કઈ રીતે છે? કારણ કે અહીં આ બહુપદી માં x ની સૌથી મોટી ઘાત 3 છે માટે આપણે તેને ત્રિઘાત બહુપદી કહી શકીએ હવે અહીં આ જે બહુપદી છે આપણે તેને દ્વિઘાત બહુપદી કહી શકીએ દ્વિઘાત બહુપદી કારણ કે આ 2 ઘાત ધરાવતું પદ છે હવે આપણે જો બીજા શબ્દોને સમજીએ તો તે અચળ પદ અને ચલ પદ છે તમે અહીં સારી રીતે જાણો છો કે આ બધા જ પદ ચલ પદ છે અને અહીં આ પદ એ અચલ પદ છે,અહીં આ અચલ પદ છે,હવે છેલ્લો ભાગ એ બહુપદીના સહગુણકોને સમજવાનો છે આપણે એક 5 ઘાતવાળી બહુપદી લઈએ અને તેના વિશે વિચારીએ આપણે અહીં તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી લખતા આપણે તેને ક્રમમાં નથી લખી રહ્યા, હવે તે બહુપદી x નો વર્ગ - 5x + 7x ની 5 ઘાત - 5 છે અહીં તે 5 ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે અહી આ બહુપદી એ 5 ઘાતવાળી બહુપદી છે 5 ઘાતવાળી બહુપદી અને તે શા માટે છે? કારણકે અહીં બહુપદીનો સૌથી મોટો ઘાત 5 છે તેથી તેને 5 ઘાતવાળી બહુપદી કહી શકાય અને તે આપણે શા માટે ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ? આપણે અહીં બહુપદી ના ઘાત ને એટલા માટે ધ્યાનમાં લેવો જોઇએ કારણ કે જ્યારે સંખ્યા મોટી હોય ત્યારે મોટી ઘાત ધરાવતું પદ એ બાકીના પદ કરતાં વધુ મહત્વનું છે તે ઝડપથી વધે છે અથવા ઝડપથી ઋણ બને છે પરંતુ તેની સાથે ધન કે ઋણ સંખ્યા જોડાયેલી છે તેના પર તે આધાર રાખે છે પરંતુ તે બાકીના પદ કરતાં મહત્વનું છે આ પદ દ્વારા આપણે એ સમજી શકીએ કે બહુપદી કેટલી ઝડપથી વધે છે અથવા જો તેનો સહગુણક ઋણ હોય તો કેટલી ઝડપથી ઘટે છે હવે આપણે સહગુણક વિશે વાત કરીશું સહગુણક એટલે કે co-officiant અને તેનો અર્થ શું થાય? આપણે તેનો ઉપયોગ સુરેખ સમીકરણમાં કરી ગયા છીએ સહગુણક અચલ પદ, આ સહગુણક અચલ પદ છે જે ચલ પદ સાથે ગુણાયેલા હોય છે ઉદાહરણ તરીકે આ પદ લઈએ તો તેમાં સહગુણક એ -5છે આપણી પાસે અહીં - 5 છે અને તે આપણો આખો સહગુણક છે તેવી જ રીતે અહીં આ પદનો સહગુણક અહીં આ પદનો સહગુણક 7 છે અહીં કોઇ સહગુણક નથી તે ફક્ત અચળ પદ -5 છે અને અહીં x ના વર્ગનો સહગુણક a છે જે અહીં દર્શાવવામાં નથી આવ્યું પરંતુ આપણે અનુમાન લગાવી શકીએ કે x નો વર્ગ એ એક સાથે ગુણાયો છે અને હવે અંતે હું બહુપદીના પ્રમાણિત સ્વરૂપનો પરિચય આપવા માંગું છું પ્રમાણિત સ્વરૂપ એટલે કે standard form આમાંથી એકપણ હજુ બહુપદીને ઉકેલવા માટે મદદરૂપ બની શકતું નથી પરંતુ જ્યારે આપણે બહુપદીને ઉકેલવાની વાતો કરીશું ત્યારે હું અમુક શબ્દનો ઉપયોગ કરી શકું અથવા તમારા શિક્ષક આ શબ્દનો ઉપયોગ કરી શકે આપણે જેના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તે સમજવું મહત્વનું છે બહુપદીના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં પદોને તેના ઘાતાંકના ક્રમ પ્રમાણે ગોઠવવાના હોય છે આમ અહીં આ અપ્રમાણિત સ્વરૂપ છે જો આપણે આ બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવા માંગતા હોઇએ તો આપણે અહીં આ પદને પ્રથમ મૂકવું જોઈએ તેથી હું પહેલા 7x નો 5 ઘાત લખીશ હવે તેના પછીની નાની ઘાત કઈ છે? અહીં તે x નો વર્ગ છે આપણી પાસે x ની 3 ઘાત કે x ની 4 ઘાતવાળું કોઈપણ પદ નથી, તેથી + x નો વર્ગ ત્યારબાદ મારી પાસે -5x છે - 5x અને પછી આપણી પાસે -5 છે - 5 આમ આ આપણી બહુપદીનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે જ્યાં આપણે પદને ઘાતાંકને ઉતરતા ક્રમમાં લખ્યા છે હવે આપણે બહુપદી સાથે કેટલીક ક્રિયાઓ કરીએ જે બીજ ગણિત માટે ખૂબ ઉપયોગી થશે તો આપણે કેટલીક બહુપદીઓનુ સાદુરૂપ આપીએ,અગાઉના વીડિઓમાં આપણે તેના પર ચર્ચા કરી હતી પરંતુ આ દ્વારા તમે થોડી વધારે સમજૂતી મેળવી શકશો કારણ કે આપણી પાસે અહીં વધારે ઘાત ધરાવતું પદ છે આપણે હવે એક બહુપદી લઈએ -2x નો વર્ગ + 4x - 12 અને પછી તેનો સરવાળો આપણે બીજી બહુપદી સાથે કરીએ 7x + x નો વર્ગ, હવે મહત્વની બાબત એ છે કે જ્યારે આપણે આ બહુપદીઓનુ સાદુરૂપ આપીએ ત્યારે સરખા ચલ અને સરખી ઘાતવાળા પદો એકબીજામાં ઉમેરવાના છે આપણે એક બીજું ઉદાહરણ જોઈશું જ્યાં જુદા જુદા ચલ આપેલા હોય અહીં આપણને કૌંસ આપ્યા છે પરંતુ આપણને તેની જરૂર નથી જો અહી ઋણ નિશાની આપી હોય તો જ આપણે તેનું વિભાજન કરવું પડે પરંતુ આપણને અહીં તેની જરૂર નથી માટે આપણે સરખા ચલ અને સરખી ઘાતવાળા પદોને સાથે લખીએ માટે આપણે આ બહુપદીને આ પ્રમાણે લખી શકીએ -2x નો વર્ગ + 4x - 12 + 7x + x નો વર્ગ હવે આપણે સરખી ઘાતવાળા પદોનો સરવાળો કરીએ અને જ્યારે આપણે સરખા ઘાતની વાત કરીએ ત્યારે તે સરખા ચલ પણ હોવા જોઈએ પરંતુ અહીં આ ઉદાહરણમાં આપણી પાસે ફક્ત એક જ ચલ છે ચલ x હવે આપણે તેનો સરવાળો કરીએ આપણી પાસે અહીં x નો વર્ગ છે અને આ x વર્ગ છે માટે આપણે તે બંનેનો સરવાળો કરીએ - 2x નો વર્ગ + x નો વર્ગ ત્યારબાદ આપણે x વાળા પદોને ભેગા કરીએ 4x અને 7x માટે + 4x + 7x અને પછી આપણી પાસે અચળ પદ એક જ છે, જે -12 છે હવે જો આપણી પાસે -2 હોય અને આપણે તેમાં એક ઉમેરીએ તો આપણને શું મળે? -2x નો વર્ગ + 1x નો વર્ગ બરાબર શું થાય? તેના બરાબર -1x નો વર્ગ થશે પરંતુ અહીં આપણે ફક્ત -x નો વર્ગ લખી શકીએ આપણે અહીં આ -2 અને 1 નો સરવાળો કર્યો છે ત્યાર બાદ 4x + 7x તેના બરાબર 11x થશે અને પછી આપણી પાસે આ અચળ પદ -12 છે આમ આપણે આ 3 પદમાં આ પદાવલિ લખી, જે દ્વિઘાત બહુપદી છે અને આ તેનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે જે પદની ઘાત વધારે હોય તેનો સહગુણક એટલે કે અહીં x ના વર્ગનો સહગુણક -1 છે ત્યારબાદ આ પદનો સહગુણક 11 છે અને અહીં અચલ પદ -12 છે આપણે આવા બીજા કેટલાંક ઉદાહરણ જોઈએ, હું વિચારું છું કે તમને સામાન્ય ખ્યાલ આવી ગયો હશે હવે આપણે થોડું જટિલ ઉદાહરણ લઇએ ધારો કે આપણી પાસે 2a નો વર્ગ b - 3ab નો વર્ગ + 5a નો વર્ગ b નો વર્ગ કૌંસ પૂરો - 2a નો વર્ગ b નો વર્ગ + 4 a નો વર્ગ b - 5b નો વર્ગ છે, અહીં આપણી પાસે ઋણ નિશાની છે અને આપણી પાસે ઘણા બધા ચલ છે આપણે તેને એક પછી એક સ્ટેપ લઈને ઉકેલીશું, સૌ પ્રથમ આપણે આ ઋણ નિશાનીનું વિભાજન કરીશું તેથી અહીં આ જે પ્રથમ ભાગ છે તે તે જ પ્રમાણે લખાશે 2a નો વર્ગ b -3ab નો વર્ગ + 5a નો વર્ગનો b નો વર્ગ, હવે આપણે આ ઋણ નિશાનીનું વિભાજન કરીએ અથવા આ આખી બહુપદી ને -1 વડે ગુણીએ કારણ કે અહીં આપણી પાસે ઋણ નિશાની છે 2a નો વર્ગ b નો વર્ગ - 4a નો વર્ગ b ,ઋણ ગુણ્યાં ઋણ બરાબર ધન થાય, 5b નો વર્ગ, હવે આપણે એકસરખા પદોનો સરવાળો કરીએ, અહીં આપણી પાસે એક પદ a નો વર્ગ b વાળો છે હવે આપણે જોઈએ કે બીજું પદ કોઈ એવું છે કે નહિ? અહીં આ ab નો વર્ગ છે આ a નો વર્ગ b નો વર્ગ છે આ પણ a નો વર્ગ b નો વર્ગ છે અહીં આ પદ a નો વર્ગ b છે આપણે આ બંને પદને નીચે લખીએ,2a નો વર્ગ b - 4a નો વર્ગ b આમ આ બંને પદો સરખા છે હવે આ પદ ab ના વર્ગ વાળું છે આપણે અહીં જોઈએ કે ab ના વર્ગવાળું બીજું કોઈ પદ છે કે નહિ? અહીં ab ના વર્ગવાળું બીજું કોઈ પદ નથી તેથી આપણે ફક્ત આ જ પદ લખીશું - 3ab નો વર્ગ ત્યારબાદ આપણે a નો વર્ગ b ના વર્ગવાળું પદ જોઈશું,તેવું બીજું અહીં કોઈ પદ છે? તેની બાજુમાં જ a નો વર્ગ b નો વર્ગ છે આપણે તે બન્ને પદોને અહીં લખીએ + 5a નો વર્ગ b નો વર્ગ - 2a નો વર્ગ b નો વર્ગ અને અંતે હવે આપણી પાસે b ના વર્ગ વાળુ એક જ પદ છે + 5b નો વર્ગ હવે આપણે તેમનો સરવાળો કરીએ કે 2 - 4 બરાબર કેટલા થાય? તેના બરાબર -2 થાય માટે -2 a નો વર્ગ b ત્યારબાદ આ પદને તેનું તે જ રાખીશું 3ab નો વર્ગ તે પદ કશામાં ઉમેરાશે નહિ ત્યારબાદ આપણે આ બંને પદોને ઉમેરી શકીએ આપણી પાસે કંઈકનું 5 અને કંઈકનું 2 છે અને તે બંનેની બાદબાકી કરીએ તો શું થાય? તેના બરાબર + 3a નો વર્ગ b નો વર્ગ અને છેલ્લે આપણી પાસે આ અંતિમ પદ છે + 5b નો વર્ગ આપણે આ બહુપદીનું સાદુંરૂપ આપ્યું,હવે આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવા માટે કઈક જુદી રીતે વિચારીએ જે પદમાં બંને પદોનો ઘાત સમાન છે આપણે તેને પહેલાં લખી શકીએ માટે આપણે આ પદને પહેલાં લખીએ તેથી 3a નો વર્ગ b નો વર્ગ તમે કોઈપણ પદ પહેલાં લખી શકો ત્યારબાદ આપણે આ બંને માંથી કોઇપણ પદ લખી શકીએ a નો વર્ગ b અથવા ab નો વર્ગ - 2a નો વર્ગ b - 3ab નો વર્ગ અને પછી આપણી પાસે અંતે આ b ના વર્ગવાળુ પદ છે માટે + 5b નો વર્ગ આમ આપણે આ બહુપદીનું સાદુરૂપ આપ્યું એમ કહી શકાય હવે આપણે બહુપદીને કઈ રીતે લખી શકાય? તેના ઉદાહરણ જોઈએ આ વિચાર તમને બહુપદી શા માટે ઉપયોગી છે? તેની સમજ પૂરી પાડશે તમે તેનો ઉપયોગ ફક્ત બીજગણિતમાં જ નહિ પરંતુ દરેક જગ્યા એ કરી શકો આપણે અહીં એ કરવા માંગીએ છીએ કે અહીં જે આ આકૃતિઓ આપી છે તેમના ક્ષેત્રફળને બહુપદી સ્વરૂપે દર્શાવીએ તો અહી આ આકૃતિનુ ક્ષેત્રફળ શું થાય? અહીં આ જે ભૂરો ભાગ છે તેનું ક્ષેત્રફળ x ગુણ્યાં y થશે હવે આ પીળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ શું થાય? તે x ગુણ્યાં z થશે માટે + x ગુણ્યાં z હવે આપણી પાસે 2 લંબચોરસ છે માટે આપણે એકવાર x ગુણ્યા z અને પછી બીજીવાર પણ x ગુણ્યાં z કરીએ છીએ એટલે કે આપણે 2 ગુણ્યાં x ગુણ્યાં z ને ઉમેરી રહ્યા છીએ અહીં આપણી પાસે જે આ બહુપદી છે તે આ આકૃતિનુ ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે હવે આપણે બીજું ઉદાહરણ કરીએ તો અહીં આનુ ક્ષેત્રફળ a ગુણ્યાં b થશે આ પણ a ગુણ્યાં b હોય તેવું જ લાગે છે + a ગુણ્યાં b ,અહીં આ પણ a ગુણ્યાં b લાગે છે માટે ફરીથી + a ગુણ્યાં b હવે અહીં તેઓએ થોડું અલગ દોર્યું છે હું અહીં આ c ને અવગણીશ,તેઓ કદાચ આપણને એવું કહેવા માગે છે કે અહીં આ જે લંબાઈ છે તેઓ અહીં કદાચ આપણને એવું કહેવા માગે છે કે અહીં જે આ છે તે c છે કારણ કે આપણને તે માહિતીની જરૂર પડશે તેઓ એવું કહેવા માગે છે કે આ જે પાયો છે તે c છે હવે જો આપણે એવું ધારીએ કે અહીં આ બીજો ab છે તો + ab ત્યારબાદ આપણી પાસે a ગુણ્યાં c બાકી રહેશે તેથી + a ગુણ્યાં c હવે જો તેને સાદુરૂપ આપીએ તો તે 4ab + ac થશે મેં અહીં ધારણા કરી છે કે આ નાના ચોરસની પહોળાઈ c છે આપણે એ નથી જાણતા કે તે ચોરસ છે કે નહિ પરંતુ જો a અને c સરખા હોય તો જ તે શક્ય બને હવે આપણે આ ઉદાહરણ લઇએ આ ગુલાબી ભાગનું ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય? આપણે આ આખા લંબચોરસનુ ક્ષેત્રફળ શોધીએ અને પછી તેમાંથી આ 2 ચોરસનુ ક્ષેત્રફળ બાદ કરીએ આ આખા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 2xy છે અને પછી આ દરેક ચોરસનુ ક્ષેત્રફળ x નો વર્ગ થશે આપણી પાસે 2 ચોરસ છે એટલે કે - 2x નો વર્ગ હવે આપણે છેલ્લી આકૃતિ માટે કરીએ અહીં આપણે એક વિભાજીત થતી રેખા જોઈ શકીએ તો અહીં આ ભાગનું ક્ષેત્રફળ a ગુણ્યાં b જોઈ શકીએ હવે જો અહીં એક રેખા જોઈએ તો આ ભાગનું ક્ષેત્રફળ પણ a ગુણ્યાં b જ થશે અને પછી આ ભાગનું ક્ષેત્રફળ a ગુણ્યાં b થશે આમ અહીં આ આકૃતિનુ ક્ષેત્રફળ બરાબર 3ab. આશા રાખું કે તમને બહુપદી વિશે સમજ પડી ગઈ હશે.