If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

જો તમે વેબ ફિલ્ટરની પાછળ હોવ, તો કૃપા કરીને ખાતરી કરો કે ડોમેન્સ *.kastatic.org અને *.kasandbox.org અનબ્લોક થયા છે.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :9:26

વર્તુળના ક્ષેત્રફ્ળનો સાહજિક ખ્યાલ

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

હું આ વિડિઓ ઘ્વારા એ સાબિત કરવા માંગુ છુ કે શા માટે વર્ટૂર નું ક્ષેત્રફળ એટલે કે સર્કલ નો એરિયા પાય r સ્કવેર છે અને આપણે અહીં પાય થી શરૂઆત કરીએ પાય એ વર્ટૂર નો પરિગ એટલે કે સરકમફેરન્સ અને વ્યાસ એટલે કે ડાયામીટર વચ્ચેનો ગુણોત્તર છે અથવા આપણે તેને સરકામફરન્સ અને ડાયામીટર ની જગ્યાએ 2 ગુણ્યાં ત્રિજ્યા તરીકે પણ જોઈ શકાય હું અહીં બંને બાજુને 2r વડે ગુણી શકું તો આપણને સરકામફરન્સ ને અહીં આ સૂત્ર મળશે પરંતુ ફરી પાછુંસીધી રીતે આપણે પાય ની વ્યાખ્યા પર આવ્યે તો પાય બરાબર સરકામફરન્સ અને ડાયામીટર વચ્ચે નો ગુણોત્તર થાય જો તમે બંને બાજુને દયા મીટર વડે ગુનો તો તમને સરકામફરન્સ બરાબર પાય ગુણ્યાં ડાયામીટર મળે અને આપણી પાસે અહીં સરકામફરન્સ નું સૂત્ર છે ફરી પાછું આ પાય ની વ્યાખ્યા પરથી આવે છે અને આપણે વિચારીએ છીએ કે સર્કલ નો એરિયા પાય r સ્કવેર શા માટે છે તે વિચારતા પેહલા આપણે બહુકોણ એટલે કે પોલીગોનના એરિયા વિષે વિચારીએ જે અહીં આ સર્કલ ના અંદર ના ભાગ માં છે અહીં મારી પાસે પંચકોણ એટલે કે પેન્ટાગોન છે અને તેનો એરિયા બરાબર ૫ ટાઈમ્સ આદરેક ત્રિકોણ નું એટલે કે આ દરેક ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા થશે અને અહીં વેદ એ એટલે કે હાઈટ a છે અને પાયો b એટલે કે બેઝ b છે તો તે હાઈટ a અને બેઝ b ધરાવતા ટ્રાયેન્ગલ ના એરિયા જેટલું થશે તો હાઈટ ટાઈમ્સ બેઝ અથવા બેઝ ટાઈમ્સ હાઈટ ટાઈમ 1 હાલ્ફ અને તે બરાબર 5 ટાઈમ્સ a ટાઈમ્સ b બાય 2 જેટલું થશે અહીં આપણે ફક્ત અંદરના આ પેન્ટાગોન ના એરિયા વિષે નિજ વાત કરી છે આપણે આ પોલીગોનના બહાર નો જે ભાગ છે જે સર્કલ ના નાના ટુકડા માં જોવા મળે છે તેના એરિયા ને ગણતા નથી પણ જો આપણે પોલીગોન ની બાજુઓ માં વધારો કરીએ તો આ ટુકડા ની જગ્યા ઓછી થાય છે હવે આપણી પાસે 1 2 3 4 5 6 અને 7 બાજુઓ વાળો પોલીગોન છે આપણી પાસે અહીં ઓછી જગ્યા રહેશે એટલે કે અહીં ની આ જે જગ્યા છે તે આ જગ્યા કરતા ઓછી છે આ બાબત માં આપણે સુ કરી શકીએ 1 2 3 4 5 6 અને 7 ટ્રાયેન્ગલ અને આ દરેક ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા ફરીથી a ટાઈમ્સ b ના છેદમાં 2 જેટલો થશે અહીં જે a અને b છે તે અહીં ના a અને b કરતા જુદા છે જો આપણે ટ્રાયેન્ગલ ની સંખ્યા માં વધારો કરીએ તો સર્કલ નો એરિયા વધારે મળે એવું નથી પરંતુ a ની લંબાઈ એટલે કે લેન્થ પણ વધે છે જો આપણે ટ્રાયેન્ગલ માં વધારો કરતાજ રહીએ તો a ની લેન્થ r જેટલી થશે હવે અહીં આ 7 વિષે વિચારીએ 7 ટાઈમ્સ b બરાબર c થાય a ની લેન્થ r જેટલી બનેતે માટે આપણે બહુકોણ માં વધારે ને વધારે ટ્રાયેન્ગલ ઉમેરતા જઈએ છે અને હવે નંબર ઓફ ટ્રાયેન્ગલ ટાઈમ્સ બેસ ઓફ ધ ટ્રોયેન્ગલ સુ થાય તે પોલીગોનની પરિમિતિ એટલે કે પેરિમીટર થશે એટલા કે આ વત્તા આ વત્તા આવત્તા આ વત્તા આ અને વત્તા આ થશે 7 ટાઈમ્સ b એ પોલીગોન ની પેરિમીટર બહુકોણ ની પરિમિતિ એટલે કે પેરિમીટર છે જો આપણી પાસે વધારે ને વધારે પોલીગોન ની બાજુઓ હોઈતો ટ્રાયેન્ગલ ની હાઈટ એ રેડીસ જેટલી થશે તે દરેક ટ્રાયેન્ગલ ના વેઢ જેટલી થશે તે મોટી ને મોટી થશે અને આપણી પાસે જે રેડિયસ છે એટલે કે ત્રિજ્યા છે તે રેડિયસ જેટલી બનશે જો આપણે ઘણા બધા ટ્રાયેન્ગલ વિષે વિચારીએ અને બાજુઓ ની સંખ્યા ગુણ્યાં બેઝ કરીએ તો આપણને પોલીગોન ની પેરિમીટર એટલે કે બહુકોણ ની પરિમિતિ મળે અને આપણે જેટલું વધારે ને વધારે બાજુઓ ઉમેરતા જઈએ તો પોલીગોન ની પેરિમીટર એ વર્ટૂર ના પરિગ એટલે કે સર્કલ ના સરકામ્ફરેન્સ જેટલી બનશે વર્ટૂર ના પરિગ જેટલી બનશે તમે તેને અહીં સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકો છોહવે મારી પાસે 1 2 3 4 5 6 7 8 9 અને 10 બાજુઓ છે તો આ પોલીગોન ની પેરિમીટર 10 ટાઈમ્સ b હું લખી શકું અને હું તેને a બાય 2 વડે ગુણું અને ફરીથી આ સર્કલ નો એરિયા છે તે હું ધારું છુ કારણકે તે a ટાઈમ્સ b બાય 2 છે જે આ દરેક ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા છે હવે જો હું એવું વિચારું કે આ n બાજુ વાળો પોલીગોન છે તો તેનું ક્ષેત્રફળ થવું જોઈએ n ટાઈમ્સ b જે આપણે અહીં જોઈએ છે ટાઈમ્સ a બાય 2 હાઈટ ટાઈમ્સ બેઝ ને 2 વડે ભાગવા માં આવે તો આપણને એરિયા મળે અને તે દરેક ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા છે અને હવે હું n ટ્રાયેન્ગલ વિષે વિચારું છુ તો n ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા એ બરાબર n ટાઈમ્સ 1 ટ્રાયેન્ગલ નો એરિયા હવે જો મારી પાસે અનંત બાજુઓ વાળો પોલીગોન હોઈ તો મારી પાસે ટ્રાયેન્ગલ ની સંખ્યા અનંત હોઈ તો સુ થાય એટલે કે જો n એ અનંત એટલે કે ઇન્ફીનીટી હોઈ તો તમારી પાસે વધારે ને વધારે બાજુઓ અને વધારે ને વધારે ટ્રાયેન્ગલ હોઈ એટલે કે a હાઈટ a રેડીસ જેટલી થશે એટલે કે ટ્રાયેન્ગલ ની હાઈટ એ રેડિયસ જેટલી થાય તો સુ થાય n ટાઈમ્સ b એ પોલીગોન ની પેરિમીટર છે અને તે સરકામ્ફરેન્સ ને સમાન બને છે તો a નું માપ રેડીસ જેટલું થાય અને n ટાઈમ્સ b નું માપ a સરકામફરન્સ જેટલું થાય તો આપણે એવું કહી શકીએ કે nb એ 2 ટાઈમ્સ 5 ટાઈમ્સ r જેટલું થશે જે સરકામફરન્સ ને સમાન જ છે જો a એ રેડિયસ ને સમાન હોઈ અને n b એ 2 પાય r ને સમાન હોઈ તો પોલીગોન નો એરિયા સુ થાય અથવા સર્કલ નો એરિયા શુ થાય સર્કલ નો એરિયા બરાબર nb ની જગ્યાએ હું 2 પાય r લખું અને a ની જગ્યાએ હું અહીં r લખું અને પછી 2 વડે ભાગ જો n બરાબર અનંત હોઈ તો આપણી પાસે પોલીગોન ની અનંત બાજુઓ હોઈ અને અનંત સંખ્યા ના ટ્રાયેન્ગલ પણ હોઈ તમે તેને 2 વડે ભાગો તેથી હવે આ 2 અને આ 2 કેન્સલ થાય જશે અને પછી પાય R ટાઈમ્સ R એટલે કે તે પાય R સ્કવેર જટલું થશે તો જો આપણી પાસે અનંત સંખ્યા માં ટ્રાયેંગલ હોઈ અને અનંત સંખ્યા ની બાજુઓ હોઈ તો તે સર્કલ ના એરિયા બરાબર જ થશે અને જો આપણે સર્કલ નો એરિયા જોઈએ તો આપણને તે પાય R સ્કવેર જેટલું મળે અહીં આ વર્ટૂર નું ક્ષેત્રફળ સર્કલ ના એરિયા જેટલું છે વર્ટૂર નું ક્ષેત્રફળ તમે તેને અનંત બાજુઓ વાળા પોલીગોન ના એરિયા વિષે પણ વિચારી શકો કે જે આ સર્કલ ની અંદર આવેલો છે અને તેનો એરિયા એ સર્કલ ના એરિયા જેટલોજ થશે