સંખ્યાઓનું વર્ગીકરણ કરવું

અહી અમુક સંખ્યા આપેલ છે જેને આપણે વર્ગીગૃત કરવાની છે અને તેમને જે વિભાગ માં વેચવાની છે તેને અહી ૨ ભાગ તરીકે બતાવીએ એક ભાગને હું આવી રીતે એક વર્તુર ધ્વારા બતાવું છુ આ ભાગમાં આપણે એવી સંખ્યા લય સુ કે જેને બે પુર્ણકો ના ગુણોતર સ્વરૂપે દર્શાવી સકાય જેમાં છેદમાં ૦ ન હોવો જોયે તેવી સંખ્યાઓ ને આપણે કહીશું સંમેય સંખ્યાઓ અને સંમેય ના હોય તેવી સંખ્યાઓ ને આપણે અહી બીજા ભાગ માં દર્શાવ્યે જે ૨ પુર્નાકો ના ગુણોતર તરીકે દર્શાવી સકાય નહિ માટે તેને આપણે કહીશું અસંમેય સંખ્યાઓ સંમેય સંખ્યાઓ માં પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ નો પણ સમાવેશ થાય છે જેને આપણે અહી ભૂરા રંગ ના વિભાગ માં દર્શાવીએ અહી લખીએ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક સંખ્યા એ અપૂર્ણાંક તરીકે કે કે દસોઉંન્સ સંખ્યા તરીકે દર્શાવેલ હોતા નથી તેનો સમાવેશ અહી થશે અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ નાજ ઉપ્ઘણ તરીકે આપણે ઋણ ન હોઈ તેવી ધન સંખ્યા લયસું જેને ફક્ત પૂર્ણ સંખ્યાઓ કહે છે જેમાં ઋણ સંખ્યા નો સમાવેશ થતો નથી એટલે કે એવી પૂર્ણાંક સંખ્યા કે જે ઋણ નથી હવે આપણે અહી સંખ્યાઓ નો વાત કરી રહ્યા છીએ માટે દરેક માં આપણે લખી નાખ્યે કે સંમેય સંખ્યાઓ તેજ રીતે અહી લાખીએ કે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અહી થશે પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને અહી લખીએ અસંમેય સંખ્યાઓ હવે આપણે અહી ઉપર આપેલી સંખ્યાઓ નું વિભાજન કરીએ અને તે આ આકૃતિ માં કયા સ્થાન પર આવશે તે આપણે વિચારીએ સૌ પ્રથમ આપણી પાસે અહી છે ૩ જેને આપણે ૨ પુર્નાકો માં ગુણોતર તરીકે દર્શાવી સકાય એટલે કે ૩ ના છેદમાં ૧ તરીકે દર્શાવી સકાય પણ તેમ દર્શાવાની જરૂર નથી આપણે ૩ ને ફક્ત ૩ તરીકે દર્શાવીએ એટલે કે તે પૂર્ણાંક સંખ્યા છે પણ તે ધન સંખ્યા હોવા ના લીધે આપણે અહી તેને પૂર્ણ સંખ્યાઓ માં મુકીસું આમ ૩ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે અને દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા પણ છે જે દરેક સંમેય સંખ્યા પણ છે આમ ૩ એ સંમેય સંખ્યા છે અને તે ધન હોવાથી આપણે તેને પૂર્ણ સંખ્યાઓ માં દર્શાવી સુ હવે -૫ લઈએ -૫ તેને પણ આપણે ૨ પુર્નાકો નાં ગુણોતર તરીકે દર્શાવી શકીએ પણ તેવું કરવાની જરૂર નથી માટે તે એક પૂર્ણાંક સંખ્યા છે તેને પૂર્ણ સંખ્યા કહી સકાય નહી કારણકે તે ઋણ છે પૂર્ણ સંખ્યાઓ માં ફક્ત ધન સંખ્યાઓ નો સમાવેશ થાય છે આમ તે પૂર્ણાંક સંખ્યા છે અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ના લીધે તે એક સંમેય સંખ્યા છે હવે લઈએ ૦.૨૫ તેને આપણે ૨ પુર્નાકો ના ગુણોતર તરીકે દર્શાવી શકીએ આપણે તેને ૨૫ ને છેદ માં ૧૦૦ વડે દર્શાવી શકીએ આમ તે પૂર્ણાંક સંખ્યા પણ નથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે જેને દર્શાવા માટે ૨ પુર્નાકો નો ગુણોતર દર્શાવા પડે ત્યાર બાદ છે ૨૨ ના છેદ માં ૭ તે પેહ્લે થીજ ૨ પુર્ણકો ના ગુણોતર તરીકે દર્શાવેલ છે તેને આ સિવાય બીજી કોઈ સંખ્યા રીતે દર્શાવી સકાય નહી જો તેને અપૂર્ણાંક માં દર્શાવીએ તો પોઈન્ટ પછીનો ભાગ આગળ ચાલ્યા કરશે આમ આપણ એક સંમેય સંખ્યા છે તે પૂર્ણાંક નથી તેમજ પૂર્ણ સંખ્યા પણ નથી ત્યારબાદ આપણી પાસે છે ૦.૨૭૧૩ જેમાં ૧૩ નો પુનરાવર્તન થાય છે એટલે કે આ સંખ્યા ને આપણે આ રીતે લખી શકીએ કે ૦.૨૭૧૩૧૩૧૩ અનંત સુધી અહી ૧૩ નું પુનરાવર્તન થાય છે હવે જયારે પણ આવી કોઈ સંખ્યા હોઈ તેને આપણે ૨ પુર્નાકો ના ગુણોતર તરીકે દર્શાવી સકાય જે આપણે આગળ જતા સીખી સુ અહી તે કયી રીતે દર્શાવી સકાય તે સમજવામાં વધુ સમય લાગશે માટે હું તમને એક સેહલું ઉદાહરણ લયને સમજવું છુ કે ધારોકે આપણી પાસે ૦.૩ છે તેમાં ૩ નું પુનરાવર્તન થાય છે તેને આપણે ૧ ના છેદ માં ૩ તરીકે એટલે કે ૨ પુર્ણકો ના ગુણોતર તરીકે દર્શાવી સકાય આમ અહી ૨૭ પછી ૧૩નુ પુનરાવર્તન થાય છે માટે તે એક સંમેય સંખ્યા છે તેથી આપણે તેને અહી લખીએ ૦૨૭૧૩જેમાં ૧૩ નું પુનરાવર્તન થાય છે ત્યારપછી ની સંખ્યા છે વર્ગમૂળ ૧૦ કોઈ પણ એવી સંખ્યા કે જે પૂર્ણવર્ગ ના હોય અને તેનું વર્ગમૂળ લેવા માં આવે તો તે હંમેસા અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે તે આપણે અહી સાબિત કરીસુ નહિ પણ જો એક રીતે વિચારીએ તો તમે આ સંખ્યા ને ૨ પુર્નાકો નો ગુણોતર તરીકે દર્શાવી શકો નહિ અને જો ૧૦ નું વર્ગમૂળ મેળવ્યે તો દસ્હંસ ચિન્હ પછી એવી સંખ્યાઓ મળશે જે અલગ અલગ હશે જેનું પુનરાવર્તન થતું હશે નહી જેનું ચોક્કસ ક્રમ માં પુનરાવર્તન થતું હશે નહિ માટે એવી સંખ્યા કે જે પૂર્ણવર્ગ નાહોય તેનું વર્ગમૂળ હમેસા અસંમેય સંખ્યા હોઈ છે ત્યાર બાદ આપણી પાસે છે ૧૪ ના છેદ માં ૭ જે ૨ પુર્નાકો ના ગુણોતર સ્વરૂપે દર્શાવેલ છે જેમાં અન્સ માં પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે અને છેદ માં પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે હવે જો ૧૪ ભાગ્યાં ૭ કરીએ આપણને મળે ૨ જે એક પૂર્ણ સંખ્યા છે અને પૂર્ણ સંખ્યા ને ૨ સંખ્યાઓ નો ગુણોતર તરીકે દર્શાવાની જરૂર નથી આમ કોઈ પણ રીતે વિચારતા તે સંમેય સંખ્યા છે પણ તેનું સાદું રૂપ આપતા આપણને પૂર્ણ સંખ્યા મળે છે જે જે ધન છે માટે આપણે તેને પૂર્ણ સંખ્યાઓ માં દર્શાવ્ય કે ૧૪ ના છેદ માં ૭ નુ સાદુંરૂપ મળે છે ૨ આમ ૧૪ ના છેદમાં ૭ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે હવે આપણી પાસે છે ૨ પાય જેમાં પાય એ એક અસંમેય સંખ્યા છે અને તેને કોઈ પણ પૂર્ણ સંખ્યા સાથે ગુણીએ તો પણ તે અસંમેય જ મળે આમ ૨ પાય એ એક અસંમેય સંખ્યા છે માટે તેને અહી દર્શાવ્ય ત્યાર પછીની સંખ્યા છે - વર્ગમૂળ ૨૫ ૨૫ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે જેનું વર્ગમૂળ મળે ૫ અને બાર ઋણ ની નીસાની હોવાની લીધે આપણે તેને -૫ તરીકે બતાવી શકીએ જે આપણે પેહલા પણ અહી દર્શાવેલ છે આમ -૫ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે તેથી - વર્ગમૂળ ૨૫ ને આપણે અહી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માં બતાવીએ આ બંને એકજ સંખ્યાઓ છે પણ અલગ અલગ રીતે દર્શાવેલ છે આમ - વર્ગમૂળ ૨૫ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે હવે અહી આપણી પાસે છે ૯ છેદમાં ૭ અહી ૯ નું ધન વર્ગમૂળ લેવાનું છે માટે તેને આપણે આ રીતે દર્શાવ્ય કે ૩ ના છેદમાં ૭ અને તે ૨ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ નો ગુણોતર છે માટે તે એક સંમેય સંખ્યા છે જેને અહી દર્શાવ્ય વર્ગમૂળ ૯ ના છેદમાં ૭વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ ધારોકે આપણી પાસે છે પાય ના છેદ માં પાય તો તે સુ છે પાય નો પાય વડે ભાગાકાર કરીએ તો આપણને મળે ૧ અને ૧ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે માટે પાય ના છેદ માં પાય એ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે જે એક દર્શાવાની વિશિષ્ઠ રીત છે