ત્રિકોણની એકરૂપતાની પૂર્વધારણા/સિદ્ધાંત

આપણે જાણીએ છીએ કે જો આપણી પાસે બે ત્રિકોણ હોય અને તેની બધી અનુરૂપ બાજુઓ સરખી હોય અથવા જો ત્રિકોણની ત્રણે ત્રણ બાજુઓ તેની અનુરૂપ બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય તો બાજુ બાજુ બાજુ એટલેકે બાબાબા પ્રમેયને આધારે આપણે કહી શકીએ કે તે ત્રિકોણો એકરૂપ ત્રિકોણો છે પરંતુ હું આ વિડીયોમાં જે બતાવવા માંગુ છું કે જેમ બાબાબા પ્રમેય ત્રિકોણની એકરૂપતા માટે કામ કરે છે તેવી જ રીતે અન્ય ગુણધર્મો પણ છે જે ત્રિકોણ વચ્ચે શોધી શકાય છે જેથી તે બે ત્રિકોણ એકરૂપ રહશે તેથી બાબાબા પ્રમેય કામ કરે છે પરંતુ ખૂણો ખૂણો ખૂણો એટલે કે ખૂખૂખૂ વિશે શું? અહીં આપણે ધારીએ કે મારી પાસે એક ત્રિકોણ છે આ પ્રમાણે અને તેના જેવો જ બીજો ત્રિકોણ અહીં મારી પાસે છે આ પ્રમાણે, તેથી અહીં આ ખૂણો આ ખૂણા સાથે અનુરૂપ થશે, આ ખૂણો આ ખૂણા સાથે અનુરૂપ થશે એટલે કે તે બે ખૂણાના માપ સમાન થશે અને આ ખૂણો અહીં આ ખૂણા સાથે અનુરૂપ થશે, શું આપણે કહી શકીએ કે આ બે એકરૂપ ત્રિકોણ છે? અહીં પ્રથમ કિસ્સામાં એવું જણાય છે કે તે છે ઓછામાં ઓછું મેં જે રીતે દોર્યું છે તેના પરથી તો એવું લાગે છે પરંતુ જ્યારે તમે તેના પર વિચાર કરો તો ત્યારે તમારી પાસે ચોક્કસ સમાન ખૂણાઓ હોઈ શકે અથવા તે સમાન માપ ધરાવતા હોઈ શકે અથવા તે સુસંગત હોઈ શકે પરંતુ વાસ્તવમાં તમે આ ત્રિકોણનું માપ ઉપર કે નીચે કરી શકો છો અને હજુ પણ તે તે જ ગુણધર્મ ધરાવે છે ઉદાહરણ તરીકે જો હું અહીં એક ત્રિકોણ દોરું જે સમાન દેખાય છે કંઈક આ રીતે, તો તે અહીં આ ખૂણો આ ખૂણાને સુસંગત હશે આ ખૂણો અહી આ ખૂણા સાથે અનુરૂપ હશે અને આ ખૂણો અહીં આ ખૂણા સાથે અનુરૂપ હશે એટલે કે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન માપ ધરાવે છે ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓ સમાન છે પરંતુ સ્પષ્ટ રીતે ત્રિકોણ અહીંથી બરાબર નથી તે અન્ય બે ને એકરૂપ નથી તેની બાજુઓ અલગ લંબાઈ ધરાવે છે તેથી અહીં આ બાજુની લંબાઈ આ બાજુની લંબાઈ કરતાં ખૂબ નાની છે અહીં આ બાજુની લંબાઈ આ બાજુની લંબાઈ કરતાં ઘણી ઓછી છે અને આ બાજુની લંબાઈ અહી આ બાજુની લંબાઈ કરતાં બહુ ઓછી છે તેથી ફક્ત ખૂણા ખૂણા ખૂણા સાથે તમે કહી શકતા નથી કે ત્રિકોણ સમાન કદ અને આકાર ધરાવે છે તે સમાન આકાર ધરાવે છે પરંતુ તે સમાન કદ ધરાવતા નથી તેથી ખૂણો ખૂણો ખૂણો પ્રમેય એટલે ખૂખૂખૂ પ્રમેય એકરૂપતા દર્શાવશે નહીં તો તે શું સૂચિત કરે છે? તેના વિશે હજુ આપણે વાત કરી નથી આ સમરૂપ ત્રિકોણ છે તેથી ખૂખૂખૂ પ્રમેય એ સમરૂપ ત્રિકોણ સૂચિત કરે છે હું અહીં સમરૂપ લખું, આપણે રોજિંદા ભાષામાં આ શબ્દનો ઉપયોગ કરીએ છીએ પરંતુ ભૂમિતિમાં આ શબ્દનો ખૂબ જ વિશેષ અર્થ છે સમરૂપ એટલે સમાન વસ્તુઓ સમાન આકાર ધરાવે છે પરંતુ સમાન કદ ધરાવે તે જરૂરી નથી પરંતુ જે સમરૂપ હોય તે એક એકરૂપ નથી ઉદાહરણ તરીકે આ બધા ત્રિકોણો એકબીજાને સમરૂપ છે પરંતુ તે બધા એકરૂપ નથી આ બંને ત્રિકોણ એકરૂપ હોઈ શકે જો તેમની બાજુઓ સમાન હોય પરંતુ મેં તેની ધારણા કરી નથી પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે જો આ ત્રિકોણની બધી બાજુઓ એકબીજા સાથે સમાન હોય તો તે ત્રિકોણો એકરૂપ હોઈ શકે પરંતુ આમાના કોઇપણ અહીં આની સાથે સુસંગત નથી કારણ કે આ સ્પષ્ટ પણે મોટું છે તે સમાન આકાર ધરાવે છે પરંતુ સમાન કદ ધરાવતા નથી તેથી આપણે કહી શકીએ કે ખૂણો ખૂણો ખૂણો પ્રમેય અથવા પૂર્ણ પૂર્વધારણા ત્રિકોણની એકરૂપતા માટે શક્ય નથી પરંતુ બાજુ ખૂણા બાજુ વિશે શું? તેથી હવે આપણે બાખૂબા પ્રમેય વિશે જોઈએ અહીં આપણે એક ત્રિકોણ દોરીએ, મારી પાસે અહીં વાદળી બાજુ છે બીજી મારી પાસે અહીં ગુલાબી બાજુ છે અને ત્રીજી મારી પાસે અહીં મેજેન્ટા બાજુ છે ધારો કે મારી પાસે અન્ય એક ત્રિકોણ છે જેમાં આ વાદળી બાજુ છે તે વાદળી બાજુની જેમજ સમાન લંબાઈ ધરાવે છે,તેને હું અહીં દોરું છું આ રીતે તેથી અહીં આ લંબાઈ અને આ લંબાઈ એકબીજા સાથે સમાન હશે તે પછી અહીં આ ખૂણો એ અહીં આ ખૂણા સાથે એકરૂપ છે એટલે કે તે બંનેના માપ સમાન છે અને પછી આગળની બાજુ એટલે કે અહીં આ લંબાઈ એ આની જેમ જ સમાન છે આપણે જાણીએ છીએ કે બે અનુરૂપ બાજુઓની લંબાઈ જે સમાન છે અને તે બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો યાદ રાખજો અહીં આ મહત્વનું છે કે બે અનુરૂપ બાજુઓ અને તેની વચ્ચેનો ખૂણો પણ એક સરખું માપ ધરાવે છે હવે આપણે આ છેલ્લી બાજુ વિશે વાત કરીએ આપણે અનિવાર્યપણે કહી શકીએ કે આપણે તેને અહીંથી જ શરૂ કરવું પડશે, તમે આ બિન્દુથી શરૂ કરી શકો અને આપણે કોઈપણ પ્રકારનો ત્રિકોણ બનાવવા માંગીએ છીએ પરંતુ ત્રિકોણ રચવા માટેનો ફક્ત એક જ રસ્તો છે તેથી જો આપણે અહીંથી શરૂઆત કરીએ તો આપણે આ રીતે ત્રિકોણ બનાવી શકીએ,તેથી આપણે બે ત્રિકોણ માટે તાર્કિક રીતે જોઇ શકીએ, તેમની એક બાજુની લંબાઈ સમાન છે આગળની બાજુની લંબાઈ પણ સમાન છે અને તે બે વચ્ચેનો ખૂણો એટલે કે અહીં આ ખૂણો આ ખૂણાનું માપ અને અહીં આ ખૂણાનું માપ સમાન છે અહીં પ્રથમ બાજુ એ વાદળી રંગની છે કે જે સમાન લંબાઈ ધરાવે છે અને બીજી બાજુ ગુલાબી છે મેં પહેલાથી જ તેને ગુલાબીમાં લખેલું છે તેથી આપણે જોઈ શકીએ કે જો બે બાજુઓ સમાન હોય એટલે કે સમાન લંબાઈ ધરાવતી હોય અને તે વચ્ચેનો ખૂણો અનુરૂપ હોય તો તેઓ એકરૂપ હોવો જરૂરી છે અહીં ત્રીજી બાજુ મુકવા માટે અન્ય કોઈ જગ્યા નથી તેથી બાખૂબા તેને કેટલીક વાર પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે અથવા જો તે સાબિત થાય તો તેને ક્યારેક પ્રમેય કહેવામાં આવે છે તે દર્શાવે છે કે બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે તેથી બાખૂબા પ્રમેય એ ત્રિકોણની એકરૂપતા દર્શાવે છે આપણી પાસે પહેલા બાબાબા પ્રમેય હતો હવે આપણી પાસે બાખૂબા પ્રમેય છે જેમાં બે બાજુઓ સમાન છે અને તેની વચ્ચેનો ખૂણો સમાન છે તેથી આપણે ચોક્કસપણે કહી શકીએ કે આ ત્રિકોણો એકરૂપ છે,હવે શું? હું ખૂણા અને બાજુઓના તમામ વિવિધ સંયોજન મારફતે જવાનો પ્રયાસ કરૂં છું જો મારી પાસે ખૂણો બાજુ ખુણો હોય તો શું થાય? આપણે તેનો પ્રયાસ કરીએ, હવે મારી પાસે ખૂણો બાજુ ખૂણો એટલે કે ખૂબાખૂ છે તો અહીં આપણે આ ત્રિકોણ તરફ પાછા જઈએ વાસ્તવમાં દરેક કિસ્સાઓ માટે આપણે એક નવું ત્રિકોણ દોરીશું, તેથી ખૂબાખૂ માટે અહીં એક ત્રિકોણ દોરીશ, મારી પાસે એક ત્રિકોણ છે અને આ તેની એક બાજુ છે તેની બીજી બાજુ છે અને આ તેની ત્રીજી બાજુ છે,અહીંના હું ખૂણાને નારંગી રંગમાં બતાવીશ અને અહીં આ ખૂણાને હું પીળા રંગમાં બતાવીશ તેથી જો મારી પાસે અન્ય ત્રિકોણ હોય તો તેની એક બાજુ સમાન હશે અહીં હું તેને બતાવવા માટે વાદળી રંગનો ઉપયોગ કરું છું તેથી એક બાજુ તેથી એક બાજુ કે જે સમાન માપ ધરાવે છે અને તે બાજુના બંને બાજુના બે ખૂણા અથવા તે બાજુના બંને છેડાના ખૂણાઓ સમાન હોય તો શું આ ત્રિકોણ એકરૂપ હોવો જોઈએ? અને આપણે હમણાં જ તેનો ઉકેલ લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ, આ ઔપચારિક સાબિતી નથી આપણે ખરેખર અન્ય વસ્તુઓને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ તેથી આપણી પાસે જે પણ પ્રમેય અને પૂર્વધારણા છે તેનો ઉપયોગ કરીશું આ ખૂણો આ માપનો હશે અને અહીં આ ખૂણો એટલે કે આ ખૂણો સમાન માપનો હશે, તેથી અહીં આ લંબાઈ કોઈ પણ હોઈ શકે, આપણે તેને જ્યાં સુધી લંબાવવા માંગીએ ત્યાં સુધી લંબાવી શકાય છે પ્રથમ મને અહીં નામ આપવા દો,અહીં આ બાજુ અને આ બાજુ સમાન છે તેવી જ રીતે અહીં આ બાજુ પણ કોઈ પણ હોઈ શકે છે મેં તેની લંબાઈને મર્યાદિત કરી નથી ફરી એકવાર આ એક ત્રિકોણની રચના કરે છે કે અહીં આપણે કહી શકીએ કે આપણે લંબાઈ જેટલી ઇચ્છીએ એટલી લાંબી કરી શકીએ અને જ્યાં સુધી ઇચ્છીએ તેટલી ટૂંકી પણ કરી શકીએ છીએ પરંતુ એકમાત્ર રીત એ છે કે તેઓ વાસ્તવમાં એકબીજાને સ્પર્શ કરે છે અને એક ત્રિકોણ બનાવે છે અને આ બે ખૂણા બનાવી શકે છે જો તે આ જ દિશામાં બરાબર સમાન લંબાઈ છે તેથી આ બાજુ વાસ્તવમાં આ બાજુ જેવી જ હોવી જોઈએ અને આ બાજુ એ આ બાજુ જેવી હોવી જોઈએ આ એક ફરી એકવાર આ કોઈ સાબિતી નથી તેને હું તર્ક દ્વારા કહું છું ખરેખર માત્ર તે નક્કી કરવા માટે જે વ્યાજબી સિદ્ધાંત અને ધારણાઓ છે તેનો ઉપયોગ કર્યો છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે ખૂબાખૂ એ બે ત્રિકોણની એકરૂપતા દર્શાવે છે હવે આપણે બીજો પ્રયાસ કરીએ, ખૂણો ખૂણો બાજુ વિશે વિચારીએ અને કેટલાક ભૂમિતિના વર્ગોમાં કદાચ જો તમને પરીક્ષામાં ઝડપથી કરવાનું હોય તો તમે યાદ કરી શકો કે બાબાબા એ ત્રિકોણની એકરૂપતા સૂચવે છે બાખૂબા એ પણ ત્રિકોણની એકરૂપતા સૂચવે છે હું તેને ગોખણપટ્ટીમાં માનતી નથી પરંતુ ક્યારેક આ તર્કનો પણ ઉપયોગ કરવો પડે છે જેમ કે ખૂખૂખૂ ત્રિકોણની એકરૂપતા સૂચવે છે? ના , હું આ કિસ્સો શોધી શકું છું જો આ કાર્ય ફક્ત પોતાને માટે ચકાસવાનો પ્રયત્ન કરો કે તેઓ તાર્કિક અર્થ શા માટે કરે છે ?તે શા માટે એકરૂપતા દર્શાવે છે હવે આપણે ખૂણો ખૂણો બાજુ વિશે વિચારીએ એટલે કે ખૂ ખૂ બા, ફરી એકવાર આપણે એક ત્રિકોણ લઈએ ,અહીં આ તેની કોઈક બાજુ છે તેથી આ વધુ રસપ્રદ બનશે અને આપણે તેની બીજી બાજુઓ દોરીએ અને પછી તેના બે ખૂણા છે તેથી આ બીજી એક બાજુ મેજેન્ટા રંગમાં અને આ ત્રીજી એક બાજુ લીલા રંગમાં છે અને ત્યાં મારી પાસે બે ખૂણા છે અહિ આ પ્રથમ ખૂણો છે અને અહીં આ બીજો ખૂણો છે તેથી આ એક ત્રિકોણ છે જેમાં એક બાજુની લંબાઈ તેથી આ એક બીજો ત્રિકોણ છે જેમાં એક બાજુની લંબાઈ અહીં સરખી છે, આ રીતે, હવે આ બાજુ પર એક ખૂણો કે જેનું માપ સરખું હશે હવે અહીં આ બાજુ કોઈપણ લંબાઇની હોઈ શકે છે તે બાજુની લંબાઈ શું છે? તે મર્યાદિત નથી પરંતુ તે બાજુની બીજી બાજુ જે ખૂણો છે તે ખૂણાનું માપ અહીં લીલા ખૂણાની બરાબર છે ઉદાહરણ તરીકે ઉદાહરણ તરીકે તમારી પાસે લીલી રેખા કંઈક આવી હોઈ શકે અથવા તમારી પાસે લીલી રેખા કંઈક આવી પણ હોઈ શકે આપણે ધારી રહ્યા છીએ કે અહીં આ બાજુની લંબાઈ આ બાજુ જેટલી જ છે અને અહીં આ ખૂણાનું માપ આ ખૂણા જેટલું જ છે અને અહીં આ ખૂણાનું માપ આ ખૂણા જેટલું છે અહીં મેજેન્ટા રંગની રેખા કોઈપણ લંબાઈની હોઈ શકે અને લીલી રેખા પણ કોઇપણ લંબાઈની હોઈ શકે, શું આપણે કોઈપણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ? કે જે આ ત્રિકોણને એકરૂપ હોય કારણ કે અહીં લીલી રેખા નીચે છે ત્યાં તે લીલી રેખા કારણ કે લીલી રેખા અહીં નીચે છે જો આપણે તેને અહીંથી શરૂઆત કરીએ તો જ તે અહીંથી ત્રિકોણ બનાવશે કંઈક આ રીતે તેથી આપણે ખૂણો ખૂણો બાજુ સાબિત કરી શકીએ છીએ અને તે એકરૂપતા દર્શાવે છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે ખૂણો ખૂણો બાજુ એ એકરૂપ ત્રિકોણો દર્શાવે છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે ખૂખૂબા પ્રમેય એ ત્રિકોણની એકરૂપતા દર્શાવે છે આપણે એક બીજી પરિસ્થિતિ વિશે વિચારીએ, જો આપણી પાસે બાજુ બાજુ ખુણો હોય તો શું? તેથી આપણી પાસે જો બાબાખૂ હોય તો શું? ફરી વાર આપણે એક ત્રિકોણ દોરીએ, મારી પાસે અહીં એક આ બાજુ છે બીજી બાજુ આ છે અને ત્રીજી બાજુ આ છે તેથી એક બાજુ બીજી બાજુ અને ત્રીજી બાજુ જાણો કે આપણી પાસે બીજો એક ત્રિકોણ છે જે બે સમાન બાજુઓ ધરાવે છે અને પછી સમાન ખૂણો ધરાવે છે ઉદાહરણ તરીકે આપણી પાસે એક બાજુ છે અને બીજી બાજુ છે પરંતુ ખૂણાનું માપ સમાન નથી તેથી અહીં વાદળી એ આપણી પ્રથમ બાજુ છે જેનું માપ સમાન છે અને મેજેન્ટા એ બીજી બાજુ છે પરંતુ વાસ્તવમાં હું તેને રસપ્રદ બનાવવા માટે કંઈક અલગ બતાવવાનો પ્રયત્ન કરું છું આ બંને બાજુઓ સમાન છે એટલે કે તેમના માપ સમાન છે પરંતુ ખૂણો અત્યંત અલગ છે તેમાં અહીં સમાન ખૂણો હોવો જોઈએ તેથી વાસ્તવમાં લાગે છે કે આપણે ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ પરંતુ તે એકબીજા સાથે સરખું નથી બે બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે અને અહીં આ ખૂણો અલગ છે ઉદાહરણ તરીકે મેં અહીં આ ખૂણાને આ ખૂણા કરતાં નાનું બનાવી દીધું છે અહીં બંને બાજુઓ સમાન છે પરંતુ આ લીલી બાજુ ટૂંકી હશે તેથી તમારી પાસે બાબાખૂ હોય તો તે એકરૂપ ત્રિકોણો હશે તેવું જરૂરી નથી, તેથી જરૂરી નથી કે તે એકરૂપ ત્રિકોણો હશે માટે આ ત્રિકોણો એકરૂપ નથી અને સમરૂપ પણ નથી તેથી અહીં એકરૂપતા જરૂરી નથી, જરૂરી નથી.