ગુસાઅની સમજ

જો તમે મને અવિભાજ્ય અવયવી કરણનો ઉપયોગ કરીને બે સંખ્યાનો લસાઅ શોધવા માટે કહો તો તે કઈ રીતે કરી શકાય તે હું જાણું છું પરંતુ હવે પ્રશ્ન એ છે કે જવાબ મેળવવા આપણે ખરેખર શું કરી રહ્યા છીએ તેની મને સમજ છે હું અવિભાજ્ય અવયવ શોધું છું તેની મહત્તમ ઘાત લઉં છું અને પછી તે બધાનો ગુણાકાર કરું છું શું હુંતે બધાને સરળ ભાષામાં સમજાવી શકું જોકોઈ વસ્તુને સારી રીતે સમજવી હોય તો શક્ય હોય તેટલા શા માટે અને કઈ રીતે એવા પ્રશ્ન પૂછવા જોઈએ જોતે પ્રશ્ન મુર્ખામી ભર્યા લગતા હોય તોતે પણ પૂછો અને પછી આપણે શું સમજવાનો પ્રયત્ન કરી રહ્યાં છીએ તેના ઊંડાણમાં જાઓ તો આપણે આ વિડીઓમાં લસાઅ એટલે કે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવીને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ ધારો કે મારી પાસે બે સંખ્યાઓ છે 12 અને 18 જો હું અવિભાજ્ય અવયવી કરણનો ઉપયોગ કરીને આ બંને સંખ્યાઓનો લસાઅ શોધવા માંગતી હોવ તો મારો સૌથી મહેલો સ્ટેપ કયું થાય સૌ પ્રથમ આપણે 12ના અવિભાજ્ય અવયવ શોધીએ અને ત્યાર બાદ 18 ના અવિભાજ્ય અવયવ શોધીએ જો તમે તેના અવિભાજ્ય અવયવ શોધો તો 12 પાસે બે વાર 2 અને એક વાર 3 હશે તેવી જ રીતે 18 પાસે એક વાર 2 અને બે વાર 3 હશે હવે થોડીવાર અટકીએ અને એ વિચારીએ કે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને લસાઅ કઈ રીતે શોધી શકાય આપણે અગાઉના વિડિઓમાં આ સમાન બાબત ગુસાઅ માટે કરી હતી આપણે આકૃતિ દોરીને સમજણ મેળવી હતી કે શા માટે અવિભાજ્ય અવયવ લઈને સરળતાથી ગુસાઅ શોધાઈ શકાય તેના વિશે વિચારતા પહેલા આપણે એ વિચારીએ કે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવીનો ખરેખર અર્થ શું થાય છે શું તે 12 અને 18 બંનેનો પ્રથમ સામાન્ય અવયવી ન થાય તે ખરેખર તે જ પ્રમાણે થશે જો હું સંખ્યા રેખા દોરું તેના પાર 12 થી શરૂઆત કરું અને પછી 12 એકમ જેટલા કુદકા મારુ તેવી જ રીતે 18થી શરૂઆત કરો અને પછી 18 એકમ જેટલા કુદકા મારો તો કોઈક જગ્યા એવી આવશે જ્યાં આ બંને સંખ્યાઓ એક બીજાને મળશે અને તેઓ પ્રથમ જે જગ્યાએ મળે છે તેને આપણે લસાઅ કહીએ છીએ તો હવે આપણે એ જાણીએ કે આ લસાઅ કેવો હોવો જોઈએ લસાઅ પાસે 12 અને 18 ના પૂરતા અવયવ હોવા જોઈએ તેથી તે આ બંનેનો અવયવી થશે હવે જો અહીં આ જવાબે 12 ના લસાઅ થવું હોય તો તેને કેટલા બે ની જરૂર છે 12 ની પાસે બે વખત બે છે માટે અહીં પણ બે વખત બે હોવા જોઈએ તેવી જ રીતે 12 ની પાસે ત્રણ એક વખત છે માટે અહીં પણ 3 એક વખત હોવો જોઈએ જો તેની પાસે આટલા અવયવ હોય તો જ તે 12 નો અવયવી થશે જો તેની પાસે એક 2 ઓછો હોય અથવા જો તેની પાસે ત્રણ ન હોય તો તે 12 નો અવયવી થઇ શકે નહિ હવે જો તેને 18 ના લસાઅ થવું હોય તો તેને શેની જરૂર પડે 18 ની પાસે એક વખત 2 છે અહીં આ સંખ્યા પાસે પહેલેથી જ 2 એક વખત છે જો હવે આ સંખ્યાએ 18 ના અવયવી થવું જોય તો તેને 2 વખત 3 ની જરૂર પડે અહીં તેની પાસે પહેલેથી એક 3 છે જે તેને 12 પાસેથી લીધો છે પરંતુ આપણે અહીં વધુ એક 3 ને ઉમેરી શકીએ હવે આ લસાઅ પાસે શક્ય એટલી બધી જ નાની સંખ્યા છે જે 12 અને 18 પાસે હતી તો હવે આપણે તેનો લસાઅ શોધી શકીએ તમે 12 અને 18નો લસાઅ શું થાય તે જાણો જ છો અને આપણને અહીં આ જે જવાબ મળશે તે આ બંને સંખ્યાનો અવયવી થશે કરણ કે આપણી પાસે 2 2 અને 3 છે જેના બરાબર 12 હોય છે તેમજ આપણી પાસે 2 3 3 છે જેના બરાબર 18 થાય છે 2 ગુણ્યાં 2 4 અને પછી 3 ગુણ્યાં 3 9 આમ 4 ગુણ્યાં 3 36 થાય આ બંને સંખ્યાઓનો લસાઅ 36 થાય હવે આપણે તેને બીજી રીતે વિચારીએ તમે અહીં 12ની કલ્પના જુદી રીતે કરી શકો તમે તેને એક વર્તુળ તરીકે જોઈ શકો જેમાં 12 ના અવિભાજ્ય અવયવોનો સમાવેશ થાય છે તેવી જ રીતે 18 ની કલ્પના આ રીતે કરી શકાય હવે અહીં આ બંને ચિત્ર સાથે લસાઅ કઈ રીતે જોડાયેલો છે તમે આપેલા બે ચિત્ર પરથી આ લસાઅ કઈ રીતે શોધી શકો તો હવે 12 ના અવયવ કયા કયા છે કરણ કે જો આ સંખ્યાએ 12 અને 18 બંનેના અવયવી બનવું હોય તો તેને સૌ પ્રથમ 12 ના અવયવી થવું પડશે તમે 12 અથવા 18 કોઈ પણ સંખ્યા પ્રથમ પસંદ કરી શકો હું અહીં 12 પસંદ કરી રહી છું તેથી આ સંખ્યા પાસે એ બધા જ અવયવ હોવા જોઈએ જે 12 પાસે છે 12 પાસે 2 2 અને 3 છે તેથી 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 3 એ 12 નો અવયવી થશે હવે આ સંખ્યા 18 ની અવયવી થાય તે પણ જરૂરી છે તો 18 ના અવયવ કયા કયા છે 18 ના અવયવ 2 3 અને 3 છે પરંતુ જો તમે આ ત્રણનો ગુણાકાર આ સંખ્યાઓ સાથે કરો તે પહેલા એ વિચારો કે આમાંની કેટલીક સંખ્યાનો સમાવેશ લસાઅમાં પહેલેથી થઇ ગયો છે તે સંખ્યાઓ 12 માં પણ છે તો સૌ પ્રથમ એ જોઈએ કે 12 અને 18 માં શું સામાન્ય છે કરણ કે તે બંનેમાં તે સામાન્ય હશે તેનો સમાવેશ પહેલેથી જ લસાઅમાં થઇ ગયો હશે તમે અહીં જોઈ શકો કે આ બંનેના અવયવમાં એક બે અને એક 3 સામાન્ય છે તમે અહીં આ 2 અને 3 ને 18 માં જોઈ રહ્યા છો તેનો પહેલેથી જ સમાવેશ 12 માં થઇ ગયો છે તે પહેલેથી જ 12 નો અવયવી છે તેથી જો આપણે લસાઅમાં ફક્ત આ 3 ને ગુણીએ તો અહીં તે 18 નો અવયવી બની જશે આપણે ફરીથી 2 અને 3 ને ગુણવાની જરૂર નથી તો તમે અહીં લસાઅમાં જોઈ શકો કે તે 2 ગુણ્યાં 2 અને 3 જે સામાન્ય છે તે અહીં છે અને પછી તેનો ગુણાકાર આ 3 સાથે થયો છે આ 3 એ 12 અને 18 માં સામાન્ય નથી 3 નો સમાવેશ 18 માં થાય છે પરંતુ તે અહીં 18 માં બે વખત 3 આવે છે જયારે 12 માં એક જ વખત 3 આવે છે તેથી તમારે ફક્ત તેનો જ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે હવે મારો પ્રશ્ન એ છે કે શું તમે આ આકૃતિ જોઈને આ બંને સંખ્યાઓનો ગુસાઅ કયો આવે તે શોધી શકો અહીં આ 12 ના અવયવ છે અને અહીં આ 18 ના અવયવ છે આ 2 અને 3 એવા છે જે બંનેમાં સામાન્ય છે તેથી 2 ગુણ્યાં 3 આ બંને સંખ્યાઓનો ગુસાઅ થાય આમ ગુસાઅ અને લસાઅને એક જ આકૃતિ વડે દર્શાવી શકાય ગુસાઅ એ ફક્ત આ બંનેનો ગુણાકાર થશે જે આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા હતા આમ 2 ગુણ્યાં 3 બરાબર 6 થાય જે આ બંને સંખ્યાઓનું ગુસાઅ છે અને અહીં તમને જેટલી પણ સંખ્યાઓ દેખાય છે તે બધાનો ગુણાકાર એ તમારો લસાઅ થાય 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 3 જે અહીં છે અને પછી તેનો ગુણાકાર ફરી 3 સાથે હવે આપણે તેની વધુ સારી રીતે સમજ પડે તે માટે બીજું એક ઉદા જોઈએ તેના માટે બે નવી સંખ્યાઓ લઈએ તેબે સંખ્યાઓ 120અને 84 છે વિડિઓ અટકાવો અને તમે તેનો જાતે જ લસાઅ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો સૌ પ્રથમ 120 ના અવિભાજ્ય અવયવ શોધો તેના માટેનું વર્તુળ દોરો ત્યાર બાદ 84 ના અવિભાજ્ય અવયવ શોધો તેને વર્તુળમાં દર્શાવો અને પછી તે બંનેમાં શું સામાન્ય છે તે જુઓ તમે તે બંને આકૃતિને ભેગી કરો અને તમને જે દેખાય તે સંખ્યાઓનું ગુણાકાર કરો આ પ્રમાણે તમને લસાઅ મળી જશે જો આપણે 120ની વાત કરીએ તો અહીં આપણી પાસે ત્રણ વખત 2 એક વખત 3 અને એકવખત 5 છે માટે આ 120 ને 2 નો ઘન ગુણ્યાં 3 ગુણ્યાં 5 તરીકે લખી શકાય અહીં 2 ત્રણ વખત છે તેથી તેને ટૂંકમાં 2 નો ઘન લખી શકાય હવે તેવી જ રીતે 84 ના અવિભાજ્ય અવયવ આ પ્રમાણે થાય તેની પાસે બે વખત 2 એક વખત 3 અને એક વખત 7 છે તેથી 84 બરાબર 2 નો વર્ગ ગુણ્યાં 3 ગુણ્યાં 7 હવે આ બંનેનો લસાઅ બરાબર એવી સંખ્યા થાય જેમાં 120 ના બધા જ અવયવોનો સમાવેશ થઇ જશે માટે લસાઅ બરાબર 2 નો ઘન ગુણ્યાં 3 ગુણ્યાં 5 જેના બરાબર 120 છે હવે અહીં એવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરીએ જેની 84 ને જરૂર છે અને તેનું સમાવેશ આ 120 માં ન થયો હોય તે માટે આપણે આ બંનેમાં શું સામાન્ય છે તે શોધવું પડશે આ બંનેમાં 2 વખત બે અને એક વખત 3 આવે છે કંઈક આ પ્રમાણે તેનો અર્થ એ થયો કે ફક્ત એક જ સંખ્યા બાકી રહી અને તે 7 છે તેથી આનો ગુણાકાર 7 થશે હવે આ જવાબ તમારો લસાઅ થાય હવે આ બધાનો ગુણાકાર કરીએ 7 ગુણ્યાં 5 35 35 ગુણ્યાં 3 102 થાય અને 102 ગુણ્યાં 35 ગુણ્ય 3 105 થાય અને 105 ગુણ્યાં 8 840 થાય આમ અહીં આ બંને સંખ્યાનું લસાઅ 840 છે તમે બધા જ અવયવને ભેગા કરો ત્યાર બાદ તમને જે સંખ્યા દેખાય તેનો ગુણાકાર લસાઅ થાય માટે તમે અહીં સામાન્ય અવયવોનો ગુણાકાર બે વખત નથી કરતા કરણ કે તમારે તે કરવાની જરૂર નથી જો તમને યાદ હોય તો આપણે આ આકૃતિ પરથી ગુસાઅ પણ શોધી શકીએ ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ તે ફક્ત અહીં આ સંખ્યાઓ થશે 2 ગુણ્યાં 2 ગુણ્યાં 3 12 થાય હવે આપણે એ પ્રશ્ન પૂછીએ કે આ પ્રકારની આકૃતિ આપણે પહેલેથી જ જે રીતનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ તેંની સાથે કઈ રીતે સંકળાયેલી છે આપણે લસાઅ શોધવા આ રીતનો ઉપયોગ કરતા હતા તમે સૌ પ્રથમ દરેક અવિભાજ્ય અવયવને જુઓ અને ત્યાર બાદ તેની મહત્તમ ઘાત કેટલી છે તે જુઓ સૌ પ્રથમ બે લઈએ બે ની મહત્તમ ઘાત અહીં 3 છે માટે બે નો ઘન ગુણ્યાં અહીં 3 ની એક ઘાત છે અહીં પણ એક જ ઘાત છે તેથી 3 અહીં 5 ની એક ઘાત છે અહીં કોઈ 5 નથી તમે તેને 5 ની 0 ઘાત તરીકે જોઈ શકો માટે 5 તેવી જ રીતે અહીં 7 ની એક ઘાત છે અને અહીં કોઈ 7 નથી માટે આનો ગુણાકાર 7 સાથે કરીએ અહીં મહત્તમ ઘાત લેવાનું કરણ એ છે કે એક સંખ્યાને બે ની ત્રણ ઘાત જોઈએ છે અને એક સંખ્યાને બે ની બે ઘાત જોઈએ છે તેથી જો આપણે મહત્તમ ઘાત લઈએ તો અહીં આ બંને સંખ્યાઓ ખુશ થઇ જાય અને હવે બીજી આપણે આ રીતનો ઉપયોગ કરતા હતા હવે જો તમે આ બધી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો તો તમને તેનો લસાઅ મળે પરંતુ હવે આ કઈ રીતે કામ કરે છે તે તમને સમજાઈ ગયું હશે.