ઘનમૂળનો પરિચય

આપણે વર્ગમૂળ વિષે હવે જાણી ગયા છીએ દાખલા તરીકે સાતનો વર્ગ બરાબર ઓગણપચાસ અથવા કહી શકાય કે સાત બરાબર વર્ગમૂળમાં ઓગણપચાસ આ વર્ગમૂળ છે એ એમ દર્શાવે છે કે કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરીએ એટલે કે બે વખત ગુણાકાર કરીએ તો આ સંખ્યા મળે દાખલા તરીકે તેને આ રીતે દર્શાવીએ કે વર્ગમૂળમાં ઓગણપચાસ અને હું તેનો વર્ગ કરું તો આપણને તે ઓગણપચાસ મળે અને તેકોઇપણ સંખ્યા માટે સાચું છે ફક્ત ઓગણપચાસ માટેજ નહિ જોઆપણે અહી વર્ગમૂળમાં એક્ષ લઈએ અને તેનો પણ વર્ગ કરીએ તો આપણને એક્ષજ મળે અને તે કોઇપણ સંખ્યા એટલેકે કોઇપણ એક્ષ માટે તે સાચું છે હવે સામાન્ય રીતે અહી એક્ષની વાત કરીએ તો તે અનઋણ સંખ્યા હોવી જોઈએ પણ જેમ જેમ આપણે ગણિતમાં આગળ વધીએ અને કાલ્પનિક સંખ્યાઓ કે શંકર સંખ્યાઓ વિષે વાત કરીએ ત્યારે તેનો ખ્યાલ થોડોક વધુ વિસ્તૃત હશે આમ આગળ જતા ખ્યાલ બદલાશે પરંતુ અત્યારે આપણે જે આ વર્ગમૂળની અંદરની સંખ્યા વિષે વાત કરી રહ્યા છીએ ત્યારે તે અનઋણ હોવી જોઈએ કારણકે આપણે અત્યાર સુધી જેટલી સંખ્યાઓ વિષે જાણીએ છીએ તેમાંથી કોઇપણ સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી આપણને ઋણ સંખ્યા મળે નહિ માટે અહી આ વર્ગમૂળને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે એક્ષ અનઋણ સંખ્યા હશે તેમ માનવું પડે પરંતુ આપણે અહી જે વાત કરવાના છીએ તે ઘનમૂળની વાત છે આ ફક્ત આપણે થોડું પુનરાવર્તન કર્યું હવે આ જે વર્ગમૂળનો ખ્યાલ છે તે ક્યાંથી આવ્યો છે તે પહેલા સમજી લઈએ વર્ગ અને વર્ગમૂળનો ખ્યાલ એ ચોરસના ક્ષેત્રફળ પરથી મળ્યો છે અહી એક ચોરસ દર્શાવું છું જેની ચારેય બાજુઓ એક સમાન છે દરેકની લંબાઈ સરખી છે અને ધારોકે તે સાત છે માટે આ બાજુની લંબાઈ પણ સાત થશે અને તેના ક્ષેત્રફળની વાત કરીએ તોતે સાત ગુણ્યા સાત અથવા તો સાતને વર્ગને સમાન હશે જુઓ આ તેનું ક્ષેત્રફળ છે બીજું એક ઉદાહરણ લઈએ અહી એક વધુ ચોરસ દોરું છું જેની ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને હવે માનીલો કે તેનું ક્ષેત્રફળ એક્ષ આપેલ છે તો તેની બાજુની લંબાઈ શું થશે તેની બાજુની લંબાઈ થશે વર્ગમૂળમાં એક્ષ આમ આ બાજુની લંબાઈ પણ વર્ગમૂળ એક્ષ થશે આ દરેક બાજુની લંબાઈ વર્ગમૂળ એક્ષજ થશે આમ આબાબત પરથી વર્ગ અને વર્ગમૂળનો ખ્યાલ મળ્યો છે તોહવે ઘનમૂળ નો ખ્યાલ ક્યાંથી આવ્યો હશે તે પણ આ બાબતને આધારેજ છે તે માટે હું અહી એક સમઘન લઉં છું જેના દરેક પૃષ્ઠ સમાન છે અહી ઝડપથી હું એક સમઘન દોરવાનો પ્રયત્ન કરું છું તેના અલગ અલગ પૃષ્ઠ અહી દર્શાવ્યા છે અને તેની દરેક બાજુની લંબાઈ અથવા ધારની લંબાઈ કહીએ તોતે બેએકમ છે એમ માની લઈએ તો હવે આ સમઘનનું ઘનફળ શું થશે તેનું ઘનફળ મળશે બે ગુણ્યા બે ગુણ્યા બે એટલેકે બેની ત્રણઘાત જેટલું જેને આપણે બેનોઘન પણ કહીએ છીએ ઘન એટલા માટેજ કહીએ છીએ કારણકે આસમઘન છે અને સમઘન અથવા તો ઘન ઉપરથી જ આ શબ્દ આપણને મળ્યો છે આમ તેની કિંમત થશે આઠ બીજી રીતે વિચારીએ ફરીથી એક સમઘન લઈએ અને આ વખતે સમઘનનું ઘનફળ આપણી પાસે છે એમ માની લઈએ અને તેની બાજુની લંબાઈ શોધવાની છે ધારોકે આ સમઘનનું ઘનફળ છે આઠ અહી લખું છું ઘનફળ બરાબર આઠ તો હવે કહો કે તેની બાજુની લંબાઈ શું થશે તેની બાજુને આપણે અહી એક્ષ વડે દર્શાવીએ આ ત્રણેય અથવા તો દરેક બાજુ એક્ષ માપની હશે કારણકે આ એક સમઘન છે અને સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ સરખી હોય છે હવે તેને સમજવાની બે રીત છે એક રીત એ છે કે એક્ષ ગુણ્યા એક્ષ ગુણ્યા એક્ષ એટલે કે એક્ષની ત્રણ ઘાત બરાબર આઠ છે અથવા આપણે ઘનમૂળનો ઉપયોગ કરીએ અહી ઘનમૂળની નિશાની નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવું છું માટે અહી લખીશું એક્ષ અને જે રીતે વર્ગમૂળની નિશાની હોય છે તેજ રીતે ઘનમૂળની નિશાની મળશે જો આ નિશાની હોય તો તે વર્ગમૂળ દર્શાવે છે પણ જો અહી હું ત્રણ બતાવું તો તે દર્શાવે છે ઘનમૂળ તેજરીતે જોવર્ગમૂળમાં અહી બે દર્શાવીએ તો પણ ચાલે પણ આપણે આ નિશાનીને અહી બે વગર પણ વર્ગમૂળ તરીકે સ્વીકારી લીધેલ છે પણ જો ઘનમૂળ દર્શાવવું હોય તો અહી જે નિશાની છે તેમાં વચ્ચે અહી ત્રણ દર્શાવવા જરૂરી છે હવે આ પદને એ રીતે સમજી શકાય કે એક્ષ એ એવી સંખ્યા છે કે જેનો ત્રણ વખત ગુણાકાર કરતા આપણને આઠ મળે હવે આજ બાબતને અલગ અલગ ઉદાહરણ દ્વારા સમજીએ ધારોકે આપણી પાસે અહી ઘનમૂળમાં સત્યાવીસ છે હવે માની લઈએ કે તેનો જવાબ આપણને એક્ષ મળશે આ પદને આરીતે પણ લખી શકાયકે સત્યાવીસ બરાબર એક્ષની ત્રણઘાત અથવા એક્ષ નો ઘન તોહવે વિચારીએકે એક્ષ ગુણ્યા એક્ષ ગુણ્યા એક્ષ કરવાથી સત્યાવીસ મળે છે તો એક્ષની કિંમત ત્રણ હોઈ શકે આમ એક્ષની કિંમત આપણને મળશે ત્રણ હવે અહી એક પ્રશ્ન પૂછું છું કે જો હું ઘનમૂળમાં હું ઋણ ચોસઠ દર્શાવું અહી ઘનમૂળ દર્શાવું છું તોતેની કિંમત મળવી શક્ય છે કારણકે અહી આપણે સમજ્યા હતા વર્ગમૂળમાં જો કોઈ ઋણ સંખ્યા હોઈ તો તેનું વર્ગમૂળ મળી શકતું નથી જ્યાં સુધી આપણે કાલ્પનિક સંખ્યાઓ વિષે ન જાણતા હોઈએ ત્યાં સુધી આપણે અહી અનઋણ સંખ્યાજ લઈએ છીએ પણ શું ઘનમૂળમાં તેવું શક્ય છે શું કોઈ સંખ્યાનો ઘન કરવાથી એટલેકે તેજ સંખ્યાનો ત્રણ વખત ગુણાકાર કરવાથી આપણને ઋણ સંખ્યા મળે હા તે મળી શકે ધારોકે તેને બરાબર આપણને એક્ષ મળે છે માટે તેને આ રીતે પણ લખી શકાય કે ઋણ ચોસઠ બરાબર એક્ષનો ઘન તો હવે એક્ષની કિંમત શું મળે આપણે ઋણ ચાર ગુણ્યા ઋણ ચાર ગુણ્યા ઋણ ચાર કરીએ તો આપણને શું મળે ઋણ ચારનો ઋણ ચાર સાથે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને ધન સોળ મળે અને ધન સોળનો ફરીથી ઋણ ચાર સાથે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને ઋણ ચોસઠ મળે આમ અહી આપણને ઋણ ચોસઠ મળે માટે કહી શકાય કે અહી એક્ષની કિંમત ઋણ ચાર થશે આમ આ સમજુતીને આધારે કહી શકાય કે આપણે કોઈ પણ ઋણ સંખ્યાનો પણ ઘનમૂળ મેળવી શકીએ અહી જેમ આપણે વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ લીધું છે તે રીતે આપણે ચતુર્થમૂળ પંચમૂળ ષષ્ટમૂળ તે રીતે આગળ પણ લઇ શકીએ પણ તે આપણે ભવિષ્યમાં આગળ જતા શીખીશું પણ હાલ પુરતું આપણે ફક્ત વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ ઉપર ધ્યાન આપવાનું છે હવે અહી આપણે જાણતા હતાકે ત્રણનો ત્રણ વખત ગુણાકાર કરવાથી આપણે સત્યાવીસ મળે માટે સત્યાવીસનું ઘનમૂળ ત્રણ થશે પણ જો હું તમને કોઈ બીજી સંખ્યા આપું દાખલા તરીકે ઘનમૂળમાં અહી હું એકસો પચ્ચીસ દર્શાવું છું તો તેનું ઘનમૂળ મેળવવા માટે એટલે કે આ સંખ્યાનું ઘનમૂળ મેળવવા માટે તેના અવયવો મેળવવા ખાસ કરીને તેના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવવા જેથી તેનું ઘનમૂળ મળી શકે અહી હું અવયવ પાડીને બતાવું છું એકસો પચ્ચીસ એટલે પાંચ ગુણ્યા પચ્ચીસ પચ્ચીસના અવયવ મેળવીએ તો પાંચ ગુણ્યા પાંચ આમ ઘનમૂળમાં એકસો પચ્ચીસને આપણે આ રીતે પણ લખી શકીએ કે ઘનમૂળમાં પાંચનો ઘન અને તેની કિંમત થશે પાંચ પણ જો અહી કોઈ મોટી સંખ્યા હોય તો તેનું ઘનમૂળ સહેલાઇથી મેળવી શકાય નહિ ઘનમૂળ હોય વર્ગમૂળ હોય કે ચતુર્થમૂળ હોય પણ જો અહી કોઈ મોટી સંખ્યા હોય તો તેની માટે થોડી લાંબી ગણતરી કરવી પડે