દ્વિઘાત પદાવલીના (x+a)(x+b) તરીકે અવયવ પાડવાના વધુ ઉદાહરણ

આ વીડિઓમાં આપણે બે ઘાત ધરાવતી બહુપદીના અવયવો પાડતા શીખીશું. જેને દ્વિઘાત બહુપદી પણ કહે છે.દ્વિઘાત બહુપદી એટલે કે જે બહુપદીની સૌથી મોટી ઘાત બે હોય. ધારો કે આપણી પાસે એક દ્વિઘાત બહુપદી છે x સ્કવેર + 10x + 9 અને આ બહુપદીના બે દ્વિપદી સ્વરૂપે અવયવો પાડવાના છે તો તે કઈ રીતે કરી શકાય? અહીં આપણે ચલ તરીકે x લીધો છે જેમાં બહુપદીની સૌથી મોટી ઘાત બે છે હવે જો આપણી પાસે બે દ્વિપદી x + a અને x + b ગુણાકારના સંબંધમાં હોય તો શું થાય? આપણે અગાઉ જોઈ ગયા છીએ કે x નો x સાથે ગુણાકાર થશે માટે તે થશે x સ્કવેર અને ત્યારબાદ x ગુણ્યાં b જે મળે bx + a ગુણ્યાં x જે થશે ax + a ગુણ્યાં b એટલે કે ab.વચ્ચેના બંને પદ x વાળા છે માટે જો તેને બીજી રીતે લખીએ તો થશે x સ્કવેર + બંનેમાંથી x સામાન્ય લઈએ તેથી આપણને મળે b + a અથવા તેને આ રીતે પણ લખી શકાય કે a + b into x + ab અને હવે જો આ દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવો બે દ્વિપદીના ગુણાકાર સ્વરૂપે બતાવવા હોય તો આ જે 10 છે તેને a + b સાથે સરખાવી શકાય એટલે કે એવી બે સંખ્યાઓ જેનો સરવાળો 10 થશે તે જ રીતે આ 9 ને a ગુણ્યાં b સંખ્યા સાથે સરખાવી શકાય અને જુઓ કે પહેલું પદ બંનેમાં x વર્ગ છે બંનેની પેટર્ન સરખાવીએ તો a + b = 10 લખી શકાય a + b = 10 અને a into b એટલે કે ab = 9 લખી શકાય. a into b = 9 અહીં a અને b નો ગુણાકાર 9 જેટલો થવો જોઈએ તે માટે આપણે 9 ના અવયવો વિશે વિચારીએ અહીં તે અવયવો પૂર્ણાંક સંખ્યા સ્વરૂપે જ હોવા જોઇએ ખાસ કરીને આપણે જ્યારે અવયવો પાડતા શીખીએ ત્યારે શરૂઆતમાં તે સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકમાં જ હશે માટે 9 ના અવયવ લખીએ 1 , 3 અને 9 તેથી કહી શકાય કે a અને b 3 ગુણ્યાં 3 હોઈ શકે જેનો ગુણાકાર 9 મળે પણ 3 + 3 કરીએ તો આપણને 10 મળશે નહીં તેથી હવે જો 1 ગુણ્યાં 9 કરીએ તો આપણને 9 મળે અને 1 + 9 કરીએ તો આપણને 10 મળે છે માટે કહી શકાય કે a = 1 અને b = 9 હશે.આમ આપેલ બહુપદીના અવયવ આપણે લખી શકીએ x +1 into x +9 અને જો આ બંનેનો ગુણાકાર કરો તો તમને મળશે x સ્કવેર +10x + 9 જ્યારે આ પ્રકારની દ્વિઘાત બહુપદી હોય એટલે કે જેમાં બે ઘાતવાળા પદનો સહગુણક 1 હોય ત્યારે તેના અવયવો માટે આ રીતે વિચારી શકાય કે એવી કઈ બે સંખ્યાઓ મળે છે કે જેનો સરવાળો આ વચ્ચેના પદના સહગુણકના સરવાળા જેટલો થાય અને તેમનો ગુણાકાર આ અંતિમ પદ જેટલો મળે અને તેમ કરવા માટે આ દ્વિઘાત બહુપદી પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ જો પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ન હોય તો પહેલા તેને તે રીતે ગોઠવવું અને પછી તેના અવયવો મેળવવા અને તે માટે x નો સહગુણક a + b જેટલો હોવો જોઈએ અને આ અંતિમ પદ એટલે કે અચળ પદ a ગુણ્યાં b જેટલો મળવો જોઈએ.વધુ ઉદાહરણ લઇએ હવે ધારો કે આપણી પાસે છે x સ્ક્વેર + 15x + 50 અને તેના અવયવ મેળવવાના છે આ બહુપદીને પણ આ પેટર્ન સાથે સરખાવીએ બંનેમાં પહેલું પદ x વર્ગ છે અને આ જે 15 છે તે a + b જેટલા થવા જોઈએ a + b અને આ 50 છે તે a ગુણ્યાં b જેટલા થવા જોઈએ માટે a into b ,આ પ્રકારના દાખલાઓનો જેમ જેમ વધુ મહાવરો કરશો તેમ તમને આ સંખ્યાઓ ઝડપથી મળી જશે.તેવી કઈ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 15 થાય અને તેમનો ગુણાકાર 50 થવો જોઈએ તે માટે 50 ના અવયવ પાડીએ તે માટે 50 અવયવ મેળવીએ 1 અને 50 , 2 અને 25 પછી 4 વડે 50 ને ભાગી શકાય નહીં માટે 5 ગુણ્યાં 10 ,આ 50 ના અવયવ છે અને હવે જોઈએ કે તેમાંથી કઈ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 15 મળે. 1 અને 50 નો સરવાળો 15 થશે નહીં તે જ રીતે 2 અને 25 નો સરવાળો પણ 15 નહિ મળે પણ 5 અને 10 નો સરવાળો કરીએ તો આપણને 15 મળે છે માટે આ a + b એ 5 + 10 છે અને આ a ગુણ્યાં b એ 5 ગુણ્યાં 10 ને બરાબર છે આમ તેના અવયવ થશે x + 5 અને x + 10 હવે જો આ બંને દ્વિપદીઓનો ગુણાકાર કરીએ આપણને મળે x સ્કવેર + 15x + 50 ચાલો તે કરીને જોઈએ x into x જે થશે x સ્કવેર ત્યારબાદ x into 10 એટલે કે +10x + 5 into x ,જે થશે +5x +5 into +10 જે થશે +50 જુઓ કે 5 અને 10 નો ગુણાકાર કરીએ તો આપણને 50 મળે અને જો 5x + 10x નો સરવાળો કરીએ તો આપણને 15x મળે આમ તે થશે x સ્કવેર +15x +50 વધુ ઉદાહરણ લઈએ અને તેમાં હવે minus ની નિશાનીનો પણ ઉપયોગ કરીએ,ધારો કે હવે આપણી પાસે છે x સ્કવેર - 11x + 24 અહીં પણ તે જ નિયમનો ઉપયોગ કે જો a +b કરીએ તો આપણને -11 મળવા જોઈએ અહીં લખીએ a + b = - 11 અને જો તે બંનેનો ગુણાકાર કરીએ એટલે કે a into b કરીએ તો તે આપણને 24 મળવા જોઈએ હવે અહીં એક વાત બરાબર સમજવાની જરૂર છે કે a અને b નો ગુણાકાર કરીએ તો આપણને 24 મળે છે જે ધન સંખ્યા છે કોઈપણ બે સંખ્યાનો ગુણાકાર જો ધન સંખ્યા મળે તો તેનો અર્થ છે કે તે બંને સંખ્યાઓ સરખી નિશાની ધરાવતી હોવી જોઈએ એટલે કે જો બંને ધન હોય તો જવાબ આપણને ધન સંખ્યા મળે અને જો બંને ઋણ હોય અને તે બે ઋણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ તો પણ જવાબ આપણને ધન સંખ્યા જ મળે પણ અહીં જુઓ કે તેમનો સરવાળો આપણને એક ઋણ સંખ્યા મળે છે માટે જો a અને b ધન સંખ્યા હોય તો તેમનો ગુણાકાર તો ધન મળશે પણ સરવાળો ઋણ મળશે નહીં તેથી કહી શકાય કે a અને b બંને ઋણ સંખ્યાઓ હશે જેમનો ગુણાકાર એક ધન સંખ્યા મળે અને જેમનો સરવાળો કરતાં આપણને એક ઋણ સંખ્યા મળે તેથી અહીં લખીએ કે a અને b બંને ઋણ સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ, જો બંને ધન સંખ્યા હોય તો તેમનો સરવાળો પણ ધન મળે માટે તે બંને ઋણ હશે,તો હવે વિચારીએ કે a અને b શું હશે? તે માટે 24 ના અવયવ મેળવીએ જે થશે 1 અને 24 ત્યારબાદ 2 અને 12 પછી થશે 3 અને 8 વધુ અવયવ મેળવીએ તે થશે 4 અને 6 આ બંનેના અવયવોનો ગુણકારી કરીએ તો આપણને 24 મળે 1 ગુણ્યા 24 = 24 , 2 ગુણ્યાં 12 કરીએ તો 24 મળે આ રીતે આ બંને અવયવોનો પણ ગુણકાર 24 થશે પણ આપણને એ શોધવાનું છે કે તે બંનેનો સરવાળો - 11 થવો જોઈએ, પહેલા આપણે તેને ધન સંખ્યામાં મેળવીએ અને પછી તેને ઋણમાં ફેરવીશું. અહીં જોઇ શકાય અહીં જોઈ શકાય છે કે 3 અને 8 નો સરવાળો 11 થશે આમ જો 3 ગુણ્યા 8 કરીએ અને 24 મળે અને 3 + 8 કરીએ તો આપણને 11 મળે છે પણ હજી આપણને આપણો જવાબ મળ્યો નથી કારણકે અહીં -11 જોઈએ છે પણ જો આ બંને સંખ્યાઓને ઋણ કરી દઈએ તો કદાચ આપણને જવાબ મળી જશે, આમ જો - 3 ગુણ્યાં - 8 કરીએ તો આપણને + 24 મળે અને - 3 + - 8 કરીએ તો આપણને - 11 મળે આમ તે સંખ્યાઓ - 3 અને - 8 છે માટે જો આપેલ બહુપદીના અવયવ પાડીએ તો તે અહીં નીચે લખીએ કે બહુપદી છે x સ્કવેર - 11x + 24 અને હવે તેના અવયવ પાડીએ તો તે થશે x - 3 into x - 8 વધુ ઉદાહરણ લઈએ ધારોકે હવે આપણી પાસે છે x સ્કવેર + 5x - 14 હવે અહીં જોઈ શકાય છે કે પરિસ્થિતિ અલગ છે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર આપણને ઋણમાં મળે છે એટલે કે a into b કરીએ તો આપણને - 14 મળે છે આમ તે બંને સંખ્યાઓમાંથી એક સંખ્યા ધન હશે અને એક સંખ્યા ઋણ હશે તો જ તેમનો ગુણાકાર ઋણમાં મળે અને અહીં જે સરવાળો છે તે + 5 છે માટે a + b = 5 લખીએ તે માટે 14 ના અવયવો વિશે વિચારીએ,એક અવયવ થશે 1 અને 14 પણ અહીં જે રીતે આપેલ છે તે મુજબ એક સંખ્યા ધન હોવી જોઈએ અને એક સંખ્યા ઋણ હોવી જોઇએ અને તેમનો સરવાળો આપણે + 5 લાવવાનો છે અથવા એમ પણ કહી શકાય કે તેમની બાદબાકી કરીને આપણને + 5 મેળવવાના છે 14 અને 1 માંથી જો 1 એ ઋણ લઈએ અને 14 એ ધન લઈએ તો આપણને જવાબ મળે 13 અને હવે 1 ધન લઈએ અને 14 minus લઈએ તો આપણને મળશે - 13 આમ અહીં આ બંને પરિસ્થિતિ શક્ય નથી, 14 ના બીજા અવયવો વિશે વિચારીએ, તે છે 2 અને 7 માટે જો -2 +7 કરીએ તો આપણને + 5 મળે આમ આપણે આ જવાબ મેળવી લીધો છે.બીજી પરિસ્થિતિ માટે પણ વિચારીએ કે જો 2 plus હોય અને 7 minus હોય તો આપણને - 5 મળે પણ આપણે અહીં + 5 જોઈએ છે તેથી આપણો જવાબ થશે એટલે કે આ બહુપદી ના અવયવ થશે x - 2 into x + 7 , - 2 into 7 કરીએ તો આપણને - 14 મળે અને - 2 + 7 કરીએ તો આપણને +5 મળે, વધુ મહાવરો કરીએ જેથી તેને વ્યવસ્થિત સમજી શકીએ ધારોકે હવે આપણી પાસે એક દ્વિઘાત બહુપદી છે x સ્કવેર - x - 56 ફરીથી તેવી બે સંખ્યાઓ કે જેમનો ગુણાકાર minus માં મળે, અહીં -56 છે અને તેમનો સરવાળો અથવા તો એમ કહીએ કે એની બાદબાકી -1 મળવી જોઈએ કારણકે ગુણાકાર - 56 લાવવા માટે એક સંખ્યા ધન હોવી જોઈએ અને એક સંખ્યા ઋણ હોવી જોઈએ આપણે જાણીએ છીએ કે 8 અને 7 નો ગુણાકાર 56 થાય 56 ના બીજા પણ અવયવ મળે તે 28 ગુણ્યાં 2 પણ હોઈ શકે પણ અહીં જે તફાવત લાવવાનો છે તે - 1 છે તેનો અર્થ છે કે તે બે સંખ્યાઓ ક્રમિક હોવી જોઇએ એટલે કે તે નજીકની હોવી જોઈએ પણ અહીં સરવાળો minus માં હોવાને લીધે આપણે કહી શકીએ કે બંનેમાંથી મોટી સંખ્યા ઋણ હશે જો - 8 ગુણ્યાં 7 કરીએ તો આપણને - 56 મળે અને - 8 + 7 કરીએ તો આપણને - 1 મળે જે આ વચ્ચેના પદનો સહગુણક છે તેથી તેના અવયવ થશે x - 8 into x + 7 અવયવ પાડવાની બાબતમાં વિદ્યાર્થીઓને આ બાબત સૌથી અઘરી લાગતી હોય છે તે કઈ રીતે નક્કી કરવું? કે તેવી કઈ બે સંખ્યાઓ છે જેમનો ગુણાકાર આ અંતિમ પદ મળે અને સરવાળો કરતાં આ મધ્યમ પદનો સહગુણક મળે. તમે જો આ બાબત ઝડપથી સમજવા માગતા હોવ અને ગણતરી કરવા માંગતા હોવ તો તે માટે ઘડિયા વ્યવસ્થિત પાકા હોવા જોઇએ અને minus અને plus ની નિશાનીઓનો મહાવરો હોવો જોઈએ, અહીં અંતિમ પદ જે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર થશે તે ધન છે કે ઋણ છે તે નક્કી કરીને નિશાનીઓ વિશે વિચારીને અવયવ પાડવાના હોય છે આમ આ પ્રકારના વધુ ને વધુ દાખલાઓના મહાવરાથી આ બાબત સ્પષ્ટ થશે વધુ એક ઉદાહરણ લઇએ - x સ્કવેર - 5x + 24 અત્યાર સુધી આપણે જેટલા ઉદાહરણ જોયા તેમાં x વર્ગનો સહગુણક +1 હતો જ્યારે અહીં x વર્ગનો સહગુણક - 1 છે હવે અહીં કઈ રીતે અવયવ મેળવીએ? જયારે આ પ્રકારનો દાખલો હોય ત્યારે સૌપ્રથમ આ minus ની નિશાનીને દૂર કરવા - 1 સામાન્ય લેવો જેથી દરેક પદની નિશાની બદલાઈ જશે અને તે થઇ જશે x સ્કવેર +5x - 24 હવે જો -1 ને તમે આ દરેક પદ સાથે ગુણાકાર કરો તો તમને આ બહુપદી મળશે, હવે આગળ જે રીતે આપણે કર્યું હતું તે રીતે જ કરવાનું છે તેવી બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર - 24 થાય અને તે બંનેની બાદબાકી +5 થવી જોઈએ અને અહીં તેમનો ગુણાકાર minus માં હોવાથી તે બંને સંખ્યામાંથી એક ધન હશે અને એક ઋણ હશે. 24 ના અવયવ વિશે વિચારીએ, 1 અને 24 જો -1 + 24 લઈએ તો આપણને 23 મળે અને જો 1 + - 24 કરીએ તો આપણને - 23 મળે કોઇ પણ રીતે આપણને + 5 મળતા નથી 24 ના બીજા અવયવો લઈએ, 2 અને 12 જો - 2 + 12 કરીએ તો + 10 મળે અને 2 + - 12 કરીએ તો - 10 મળે.આમ તે પણ ઉપયોગી નથી, હવે લઈએ 3 અને 8 , જો - 3 + 8 કરીએ તો આપણને +5 મળી જાય છે આમ તે બે સંખ્યાઓ થશે - 3 અને + 8 , - 3 ગુણ્યાં 8 કરીએ તો આપણને - 24 મળે અને - 3 + 8 કરીએ તો આપણને + 5 મળે આમ આપણા અવયવ થશે,અહીં જે - 1 છે એ પહેલા મૂકીએ ત્યારબાદ લખીએ x - 3 into x + 8 હવે જો આ - 1 ને તમે આ બંને સાથે ગુણી નાંખો તો અહીં 3 - x લખીને પણ જવાબ લખી શકાય જો આ રીતે લખીએ તો પણ આપો જવાબ સાચો જ છે.વધુ એક ઉદાહરણ જોઈ લઈએ, ધારો કે આપણી પાસે છે x સ્કવેર - 18x + 72 ફરીથી અહીં - 1 સામાન્ય લઈએ જેથી આપણને કૌંસમાં મળશે x સ્કવેર - 18x + 72 આમ એવી બે સંખ્યાઓ જેમનો ગુણાકાર + 72 થાય તેનો અર્થ છે કે તે બંને સંખ્યાઓ ઋણ હોવી જોઈએ અથવા બંને સંખ્યાઓ ધન હોવી જોઈએ અહીં આપેલ છે તે મુજબ તે બંને સંખ્યાનો સરવાળો ઋણમાં છે માટે કહી શકાય કે તે બંને સંખ્યાઓ ઋણ હશે 72 ના અવયવ વિશે વિચારીએ તો 8 અને 9 નો ગુણાકાર 72 મળે પણ તે બંનેનો સરવાળો કરીએ તો આપણે અહીં દર્શાવીએ અથવા જો તે બંને સંખ્યાઓને ઋણ લઈએ એટલે કે - 9 - 8 લઈએ તો - 9 + - 8 કરતા આપણને - 17 મળે છે પણ આપણને અહીં - 18 જોઈએ છે તો માટે તે 72 ના બીજા અવયવો વિશે વિચારીએ તે છે જે 12 અને 6 અને તે બંને નો સરવાળો પણ 18 થાય છે આમ જો - 6 - 12 કરીએ તો આપણને - 18 મળે આ રીતે અલગ અલગ અવયવો લઈને વિચારવાથી આપને જવાબ મળી જશે આમ આપેલ બહુપદીના અવયવ થશે -1 into x - 6 into x – 12.