ગુસાઅ અને લસાઅના વ્યવહારિક પ્રશ્નો

વિનય અને રાહુલ જુદા જુદા વર્ગમાં ભણે છે રાહુલના શિક્ષક તેમને પરીક્ષા દીઠ ૩૦ પ્રશ્નો પૂછે છે જ્યારે જ્યારે વિનયના શિક્ષક તેમને પરીક્ષા દીઠ ૨૪ પ્રશ્નો પૂછે છે રાહુલના શિક્ષક દર વર્ષે તેમને ત્રણ પ્રોજેક્ટ પણ કરવા માટે આપે છે બંને વર્ગમાં પરીક્ષાઓની સંખ્યા અલગ હોવા છતાં તેમના શિક્ષકોએ તેમને કહ્યું છે કે વર્ષ દરમિયાન પૂછાતા કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા બંને વર્ગમાં સરખી જ રહેશે તો બંને વર્ગના વિદ્યાર્થીઓ વર્ષ દરમિયાન ઓછામાં ઓછા કેટલા પ્રશ્નો પૂછાવાની અપેક્ષા રાખી શકે છે? તો ચાલો વિચારીએ કે શું થશે?પહેલાં રાહુલના શિક્ષક વિશે વિચારીએ જે દરેક પરીક્ષામાં ૩૦ પ્રશ્નો પૂછે છે આમ પહેલી પરીક્ષા પછી તેમણે ૩૦ પ્રશ્નો પૂરા કરી લીધા છે તેમ કહેવાય અહીં શૂન્ય લઈએ હવે બીજી પરીક્ષા પછી ૬૦ પ્રશ્નો પૂછાઈ ગયા હશે ત્રીજી પરીક્ષા બાદ ૯૦ પ્રશ્નો, જ્યારે ચોથી પરીક્ષા પછી ૧૨૦ પ્રશ્નો થઈ ગયા હશે જો પાંચમી પરીક્ષા પણ લેવાય તો કુલ ૧૫૦ પ્રશ્નો થાય આમ આપણે જેટલું આગળ વધવું હોય તેટલું વધી શકાય જેમાં આગળ વધુ ૩૦ ના ગુણક મળશે આ તમને એક સમજ આપી કે કઈ રીતે આગળ વિચારવાનું છે અહીં ઘણા અવયવી મળી શકે પણ આપણને લઘુત્તમ અવયવીની જરૂર છે આથી રાહુલના વર્ગની વાત વિનય વિશે શું કહી શકાય? તેમને દરેક પરીક્ષામાં ૨૪ પ્રશ્નો પૂછાય છે માટે પહેલી પરીક્ષા પછી ૨૪ પ્રશ્નો પૂછાઇ ગયા હશે બીજી પરીક્ષા પછી ૪૮ પ્રશ્નો, ત્રીજી પરીક્ષા પછી ૭૨ પ્રશ્નો થયા હશે વધુ ૨૪ પ્રશ્નો લેતાં ૯૬ પ્રશ્નો આપણે ૨૪ ના અવયવી લઇ રહ્યા છીએ હવે પાંચમી પરીક્ષા પછી કુલ ૧૨૦ પ્રશ્નો થશે જો છઠ્ઠી પરીક્ષા લેવાય તો ૧૪૪ પ્રશ્નો થાય હજી વધુ આગળ વધી શકાય હવે જુઓ કે પ્રશ્નમાં શું પૂછ્યું છે? બંને વર્ગના વિદ્યાર્થીઓ વર્ષ દરમિયાન ઓછામાં ઓછા કેટલા પ્રશ્નો પૂછાવાની અપેક્ષા રાખી શકે છે? ઓછામાં ઓછા એટલે તે બિંદુ જ્યાં તેમના પ્રશ્નોની સંખ્યા સરખી મળે છે જુઓ કે બંને પરીક્ષાના પ્રશ્નો ની સંખ્યા અલગ અલગ હોવા છતાં એક બિંદુ એવું છે જ્યાં સમાન સંખ્યા મળે છે અને તે છે ૧૨૦ રાહુલના શિક્ષક એક વખતમાં ૩૦ પ્રશ્નો પૂછે છે અને વિનયના શિક્ષક એક વખતમાં ૨૪ પ્રશ્નો પૂછે છે છતાં તેમને વર્ષ દરમિયાન ૧૨૦ પ્રશ્નો પુછાશે આમ આપણો જવાબ છે ૧૨૦ જુઓ કે તેમની પરીક્ષાઓની સંખ્યા અલગ અલગ છે રાહુલની કુલ ૧, ૨, ૩ અને ૪ પરીક્ષાઓ થશે જ્યારે વિનયની ૧, ૨, ૩, ૪ અને ૫ પરીક્ષાઓ થશે તેમ છતાં તેમને પુછાતા પ્રશ્નોની સંખ્યા ૧૨૦ જ રહેશે હવે જો ગાણિતિક રીતે વિચારીએ તો તેઓ આપણને ૩૦ અને ૨૪ નો લ.સા.અ. શોધવાનો કહે છે ૩૦ અને ૨૪ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી અને તેમનો લ.સા.અ. થશે ૧૨૦ હવે આ રીતે અવયવી દર્શાવ્યા વગર બીજી રીતે પણ લ.સા.અ. માટે વિચારી શકાય અને તે રીત છે અવિભાજ્ય અવયવની રીત જુઓ ૩૦ એટલે બે ગુણ્યા પંદર,પંદર બરાબર ત્રણ ગુણ્યા ૫ આમ ૩૦ બરાબર બે ગુણ્યા ત્રણ ગુણ્યા ૫ હવે ૨૪ માટે ગણતરી કરીએ ૨૪ બરાબર બે ગુણ્યા ૧૨,૧૨ બરાબર બે ગુણ્યા ૬ અને ૬ બરાબર બે ગુણ્યા ૩ આમ ૨૪ બરાબર બે ગુણ્યા બે ગુણ્યાં બે ગુણ્યાં ત્રણ માટે હવે આપણે એવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવાની છે જે ૩૦ અને ૨૪ વડે વિભાજ્ય હોય તે ૩૦ વડે વિભાજ્ય હશે એટલે કે તે સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવોમાં બે ગુણ્યા ત્રણ ગુણ્યા ૫ હોવા જોઈએ જે ૩૦ દર્શાવે છે એટલે કે તે સંખ્યા ૩૦ વડે વિભાજ્ય છે તેમ દર્શાવે છે હવે જો તે સંખ્યાને ૨૪ વડે વિભાજ્ય દર્શાવવું હોય તો તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં ત્રણ વખત બે અને એક વખત ત્રણ હોવા જોઈએ આપણી પાસે અહીં એક વખત ત્રણ તો છે તેમજ એક વખત બે પણ છે માટે હવે ફક્ત આપણને વધુ બે ની જરૂર છે બે ગુણ્યા બે આમ આ આખુ પદ તે સંખ્યાને ૨૪ વડે વિભાજ્ય બનાવે છે હવે આજે અવિભાજ્ય અવયવો મળ્યા તે ૩૦ અને ૨૪ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવીના અવિભાજ્ય અવયવ છે તેમ કહી શકાય જો આમાંથી કોઇપણ બે ને દૂર કરીએ તો તે સંખ્યા ૨૪ વડે વિભાજ્ય રહેશે નહીં જો બે અને ત્રણને દૂર કરીએ અથવા ત્રણ અને પાંચને દૂર કરીએ તો ૩૦ વડે વિભાજ્ય નહી રહે હવે જો આ બધાનો ગુણાકાર કરીએ તો બે ગુણ્યા બે ગુણ્યા બે બરાબર આઠ ગુણ્યાં ત્રણ બરાબર ૨૪ ગુણ્યાં ૫ બરાબર ૧૨૦,ચાલો વધુ એક ઉદાહરણ જોઈએ, ઉદયભાઇએ ૨૧ પેનનું એક પેકેટ અને ૩૦ પેન્સિલનું એક પેકેટ ખરીદ્યું તે પોતાના વિદ્યાર્થીઓ માટે બધી પેન અને પેન્સિલનો ઉપયોગ કરીને અમુક સેટ બનાવવા માંગે છે ઉદયભાઇ વધુમાં વધુ કેટલા સેટ બનાવી શકે વધુમાં વધુ શબ્દ થી આપણને એ ખ્યાલ આવી જાય છે કે ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ અથવા ગુ.સા.અ શોધવાનું છે એટલે કે આ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાની છે તેના વિશે એક કરતાં વધુ રીતો છે ચાલો જોઈએ કે આ બંને સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવી એટલે કે ગુ.સા.અ શું મળે? અહીં લખીએ ૨૧ અને ૩૦ આમ એવી મોટામાં મોટી સંખ્યા જેના વડે આ બંનેને ભાગી શકાય ચાલો તેમના અવિભાજ્ય અવયવ મેળવવાના છે આ સંખ્યાના બધા અવયવો મેળવીને જોઈ શકાય કે સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ કયો છે? અથવા બીજી રીત બંને સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ તો ચાલો અવિભાજ્ય અવયવની રીતે જ ગણીએ ૨૧ એટલે કે ત્રણ ગુણ્યા ૭ આ બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે ૩૦ બરાબર બે ગુણ્યા ૧૫ અને ૧૫ બરાબર ત્રણ ગુણ્યા ૫ હવે જુઓ કે બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવો અવયવ કયો છે? બંનેમાં એક જ અવયવ ૩ સામાન્ય છે આમ જવાબ થશે ૩,તેનો અર્થ એ છે કે આ બંનેને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચી શકાય થોડું વધુ સ્પષ્ટ કરીએ આ પ્રશ્નનો જવાબ થશે ત્રણ, ચાલો તો આકૃતિ દોરીને સમજીએ ૨૧ પેનને અહીં દર્શાવીએ તે માટે હું ૨૧ વર્તુળ કરું છું ૧,૨,૩,૪,૫,૬,૭,૮, ૯,૧૦,૧૧,૧૨,૧૩,૧૪,૧૫ ,૧૬,૧૭,૧૮,૧૯,૨૦ અને ૨૧ અને પછી ૩૦ પેન્સિલ તેને અલગ રંગથી દર્શાવીએ ૧, ૨, ૩, ૪, ૫, ૬, ૭, ૮, ૯, ૧૦, હવે કોપી- પેસ્ટ કરીને બાકીની સંખ્યા દર્શાવીએ આ થયા ૨૦ અને આ થઈ ૩૦ પેન્સિલ આપણે શોધ્યું કે ત્રણ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે જેના વડે આ બંને સંખ્યાઓને નિઃશેષ ભાગી શકાય માટે આ બંનેને ત્રણના સમૂહમાં વિભાજિત કરીએ પેનના સાત સાતના ત્રણ સમૂહ થશે અને પેન્સિલના ત્રણ સમૂહ જે ૧૦ ૧૦ ના થશે જો ત્રણ વ્યક્તિ વર્ગમાં આવે તો આપણે તેને સાત પેન અને ૧૦ પેન્સિલનો એકે સેટ આપીએ આમ ઉદયભાઇ વધુમાં વધુ ત્રણ સેટ બનાવી શકે અને દરેક સેટમાં ૭ પેન અને ૧૦ પેન્સિલ હશે આમ ખરેખર તો આપણે આ બંનેનો ગુ.સા.અ શોધ્યો જેના વડે આ બંને સંખ્યાને નિશેષ ભાગી