વિભાજ્યતા માટે સમાંતર શ્રેણી

અહી કહ્યું છે કે 3 અંક ધરાવતી કેટલી સંખ્યાઓ 7 વડે વિભાજ્ય હોય તે શોધો આ પ્રશ્ન માં ધ્યાન રાખવા જેવી 2 બાબતો છે કે 3 અંક ધરાવતી સંખ્યા અને 7 વડે વિભાજ્ય તો તે માટે પહેલા 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યા ઓ ની એક યાદી બનાવીએ પહેલી સંખ્યા થશે 7 ત્યારબાદ 14, 21 એમ આગળને આગળ તે વધતી જશે હવે અહી એક એવી સંખ્યા આવશે કે જે 3 અંક વાળી હશે અને 7 વડે વિભાજ્ય હોય વધુ આગળ જઈએ અહી આપણને એક એવી સંખ્યા મળશે કે જે 3 અંક વાળી છેલ્લી સંખ્યા હોય અને તે પણ 7 વડે વિભાજ્ય જ હોય ફરીથી આ યાદી આગળ વધશે 4 અંક ધરાવતી સંખ્યા ઓ શરુ થશે અને તે અનંત સુધી વધુ ને વધુ સંખ્યા ઓ આવતી જશે કે જે 7 વડે વિભાજ્ય હોય પણ આ પ્રશ્ન મુજબ આપણે જે શોધવાનું છે તે એ છે કે 3 અંક ધરાવતી સંખ્યા ઓ એટલે કે આ સંખ્યા તેમાં જ આ સંખ્યા અને વચ્ચે ની બધી સંખ્યા ઓ જે 7 વડે વિભાજ્ય હોય તે શોધવાનું છે તેની સંખ્યા શોધવાની છે અહી આપણને જે પેટર્ન જોવા મળે છે તે મુજબ દરેક સંખ્યા વચ્ચે નો સામાન્ય તફાવત 7 છે અને તે સમજી શકાઈ તેવી બાબત છે કારણકે આપણે અહી જે યાદી બનાવી છે અહી જે શ્રેણી બનાવી છે તે 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યા ઓ નીજ છે માટે દરેક સંખ્યા વચ્ચે ધન 7 જેટલો સામાન્ય તફાવત છે ખરેખર તો એમ કહી શકાય કે આ યાદી 0 થી શરુ થાય છે કારણકે 0 પણ 7 વડે વિભાજ્ય છે માટે અહી પણ 7 નું જ તફાવત છે હવે આપણે આ સંખ્યા અને આ સંખ્યા શોધવાની છે ત્યારબાદ આ દરેક સંખ્યા માં આપણે 7 ઉમેરતા જઈએ તો બાકી ની સંખ્યા મળતી જશે અને આ 7 ને કેટલી વખત ઉમેરવા પડશે તે ખબર પડી જાય તો કુલ કેટલી સંખ્યા ઓ થશે તે આપણે જાણી શકીએ ટૂંક માં 3 અંક ની પહેલી સંખ્યા તેમજ છેલ્લી સંખ્યા અને તેમાં જે 7 નો વધારો થાય છે તે કેટલી વખત થાય છે તે શોધવાથી આપનો જવાબ આપણને મળી જશે હવે બધી માહિતી આપની પાસે છે ચાલો ગણતરી શરુ કરીએ આ સંખ્યા વિષે વિચારવા માટે આપણે 7 નો ઘડીયો વિચારીએ કે 7*10 = 70 તેવી રીતે 11*7 12*7 કરીને આપણે 100 ની નજીક પહોચીએ તો 14*7 કરવાથી આપણને 98 મળે છે અને 15*7 કરીએ તો આપણને મળશે 105 આમ 105 એ 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેમ પહેલી 3 અંક ધરાવતી સંખ્યા છે તેજ રીતે આગળ વધીએ 3 અંક ધરાવતી છેલ્લી સંખ્યા વિષે વિચારીએ કે જે 7 વડે વિભાજ્ય હોય તોતે માટેની સરળ રીત એ થશે કે 3 અંકની છેલ્લી સંખ્યા છે 999 આપણે જાણીએ છે કે 14*7=98 થાય માટે જો 140*7 કરીએ તો આપણને મળે 980 બીજા 7 ઉમેરીએ તો 987 વધુ 7 ઉમેરીએ તો 994 અને 994 માં 7 ઉમેરીએ તો આપણને મળે 1001 માટે કહી શકાય કે 3 અંક ધરાવતી સૌથી મોટી સંખ્યા કેજે 7 વડે વિભાજ્ય હોય તે છે 994 આ રીતે પણ વિચારી શકાય કે 999 ભાગ્યા 7 કરો અને જે શેષ વધે તેને 999 માંથી બાદ કરશો તો આપણને મળે 994 999 ને 7 વડે ભાગીએ તો શેષ 5 મળે અને 999 માંથી 5 બાદ કરીએ તો આપણને મળશે 994 હવે આપણે આ બંને નો તફાવત મેળવીએ જે આ બધી સંખ્યા ઓ સૂચવે છે અહી 994 માંથી 100 બાદ કરીએ તો મળે 894 અને બીજા 5 બાદ કરીએ તો તે થશે 889 આમ માનીલો કે અહી 7 7 ની કેટલી લાઈન થશે જે 889 ને બરાબર હોય આમ આપણે એવી ધારણા કરવાની છે કે આ 2 સંખ્યા ઓ જે 7 7 નો અંતર ધરાવતા અમુક રેખા ખંડ છે જેનો સરવાળો 889 જેટલો છે હવે તે કેટલા રેખા ખંડ છે તે શોધવા માટે આપણે 889/7 કરીએ અહી દરેક પદ વચ્ચે 7 7 નો જ તફાવત છે માટે આપણનેજે જવાબ મળશે તે પૂર્ણ સંખ્યા જ હશે 8/7 કરીએ તો 7 એકા 7 એક શેષ વધશે માટે તે 18 થશે તેથી 7 દુ 14 4 શેષ વધે અને અહી થશે 49 માટે 7*7 = 49 આમ આપણને લગભગ અહી જવાબ મળી ગયો છે પણ એક બાબત હજી ઉમેરવાની બાકી છે આપણે અહી જે ગણતરી કરી તે આ જે રેખા ખંડ છે તેની સંખ્યા દર્શાવે છે જે 127 થશે અને તે આ છેલ્લી સંખ્યા સહીત ની સંખ્યા ઓ દર્શાવે છે પણ આપણે તેમાં આ સંખ્યા પણ લેવી પડશે કારણકે આ પણ 3 અંક ની જ સંખ્યા છે 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેથી અહી +1 કરીએ માટે હવે આપણને કુલ મળી 128 સંખ્યા ઓ જે 3 અંક ની છે અને 7 વડે વિભાજ્ય છે હવે આ પ્રકાર નોજે પ્રશ્નો છેતે સમાંતર શ્રેણીનો છે આપણે તેને અહી 7 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યા ઓ ની યાદી બનાવીને ઉકેલ મેળવ્યો છે પણ જો સમાંતર શ્રેણી ના સૂત્ર મુજબ ગણતરી કરીએ તો આ થશે આપનું પહેલું પદ જેને આપણે સમાંતર શ્રેણી માં a તરીકે ઓળખીએ છે આમ તો અહી પહેલું પદ 0 છે પણ પ્રશ્ન મુજબ 3 અંક ધરાવતી સંખ્યા ઓ નું પહેલું પદ થશે 105 અહી સામાન્ય તફાવત છે 7 કારણકે 7 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા ઓ ની સમાંતર શ્રેણી જોઈએ છે તેથી અહી લખીએ d = 7 અંતિમ પદ જેને આપણે l તરીકે ઓળખીએ છીએ અથવા જેને આપણે an અથવા tn કહી શકીએ તે છે 994 an = 994 અને આપણે શોધવાનું છે કે કેટલી સંખ્યા ઓ 7 વડે વિભાજ્ય છે માટે n ની કિંમત મેળવવાની છે હવે જો તે સૂત્ર દર્શાવીએ તો તે છે a = (n-1) d = અંતિમ પદ જે છે an કિંમતો મુકતા a ની કિંમત છે 105 + (n-1) ગુણ્યા d ની કિંમત 7 = an ની કિંમત છે 994 અહી 994 માંથી 105 બાદ કરીએ તો આપણને મળશે n = 889 અને આ 7 ભાગાકાર ના સબંધ માં જશે માટે 889/7 જે આપણે અહી જોયું હતું જે અહી વચ્ચે ની સંખ્યા ઓ દર્શાવે છે જે અંતિમ સંખ્યા સુધીની છે અને આપણે તેમાં આ પહેલી સંખ્યા પણ ઉમેરવાની છે તેથી અહી કરીએ +1 જે અહી આપેલ છે -1 તેમ અહી થશે +1 આમ તેનો જવાબ થશે 128 જે 3 અંક ધરવતી સંખ્યાઓ દર્શાવે છેજે 7 વડે વિભાજ્ય હોય આ પ્રકારના અલગ અલગ દાખલા પુછાય શકે 3 અંક ને બદલે 4 અંક ધરાવતી સંખ્યા વિષે પૂછેલું હોય અને 7 ને બદલે બીજી કોઈ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોય તેવો પણ પ્રશ્ન હોય શકે ટૂંકમાં આપની પાસે પહેલી સંખ્યા હોવી જોઈએ તેમજ છેલ્લી સંખ્યા હોવી અને તેમની વચ્ચે નો સામાન્ય તફાવત હોવો જોઈએ જો આ બાબતો હોય તો આ પ્રકાર ના સૂત્ર ની મદદ થી તેવી સંખ્યા ઓ મળી શકે અહી તે મુજબ જોતા પહેલી સંખ્યા છે 105 છેલ્લી સંખ્યા છે 994 અને દરેક પદ વચ્ચે નો સામાન્ય તફાવત છે 7 અને તે માહિતી ની મદદથી આપણે અહી જવાબ મેળવ્યો છે