સમાંતર શ્રેણીનું સ્પષ્ટ સૂત્ર

અહી કોષ્ટક માં અમુક પદ આપેલા છે જયારે n = 1 ત્યારે f ઓફ n = 12 n = 2 ત્યારે f ઓફ n = 5 n = 3 ત્યારે f ઓફ n = - 2 અને n = 4 ત્યારે f ઓફ n = - 9 આપેલ છે આમ એક રીતે વિચારીએ તો આ ફન્સન f તે એક શ્રેણી દર્શાવે છે જેમાં શ્રેણીનું પ્રથમ પદ છે 12 શ્રેણીનું બીજું પદ છે 5 શ્રેણીનું ત્રીજુ પદ - 2 અને શ્રેણીનું ચોથું પદ છે - 9 તે જ રીતે અનંત સુધી પદ મેળવી શકાય બરાબર ધ્યાન થી જોતા જણાશે કે આ એક સમાંતર શ્રેણી છે પહેલા પદ પરથી બીજું પદ મેળવવા 7 બાદ કરવા પડે બીજા પદ પરથી ત્રીજુ પદ મેળવવા ફરી વખત 7 બાદ કરવા પડે તેજ રીતે અગાવ ના પદ માંથી 7 બાદ કરતા આપણને પછીનું પદ મળે છે તો શું આ રીતે આપણે આ વિધેય ને વ્યાખ્યિત કરી શકીએ તેને અહી વ્યાખ્યિત કરીએ કે f ઓફ n = હવે અહી n ની જે કિંમત મુકીશું તેને તેના સદભ માં આપણને વિધેયની કિંમત મળે તેથી જો આપણે પહેલા પદ 12 થી શરુ કરીએ અને તેમાંથી 7 બાદ કરવાના છે હવે તે કેટલી વખત બાદ કરવાના છે અહી ઉપર જોતા પહેલું પદ 12 છે એટલે કે પહેલું પદ મેળવવા આપણને 7 બાદ કરવાના નથી તે સીધા 12 મળે છે બીજું પદ મેળવવા 7 એક વખત બાદ થશે ત્રીજુ પદ મેળવવા પ્રથમ પદ માંથી બે વખત 7 બાદ થશે , એક અને બે અને ચોથુ પદ મેળવવા ત્રણ વખત 7 બાદ કરવા પડે આમ જેટલા મુ પદ મેળવવું હોય તેના કરતા એક ઓછી વખત 7 બાદ કરવા પડે હવે તે બરાબર છે કે નહિ તેને ચકાસીએ જોn = 1 લઇએ તો અહી 1 - 1 = 0 થઇ જશે અને 7 ગુણ્યા 7 = 0 જ મળે માટે 12 - 0 = ફક્ત 12 મળે અહી પહેલું પદ 12 છે બીજાપદ ની વાત કરીએ n ની જગ્યા એ 2 લેતા 2 - 1 = 1 અને 7 ગુણ્યા 1 = 7 આમ 12 માંથી એક વખત 7 બાદ કરતા આપણને 5 મળે છે n = 3 માટે ચકાસીએ તો 3 - 1 = 2 અને 7 ગુણ્યા 2 = 14 માટે 12 ઓછા 14 કરીએ તો આપણને - 2 અટેલે કે ત્રીજુ પદ મળે છે આમ અહી વિધેય આપણે જે વ્યાખ્યા આપી છે તે યોગ્ય છે વધુ એક ઉદાહરણ લઈએ આપણી પાસે અહી પહેલેથી જ વિધેયની વ્યાખ્યા આપી દીધેલ છે તેમજ એક કોષ્ટક છે જેમાં પણ 4 પદ આપેલા છે અને જો તેને શ્રેણી સ્વરૂપે દર્શાવીએ તો પહેલું પદ છે - 100 બીજું પદ - 50 ત્રીજુ પદ 0 અને ચોથુ પદ 50 આ રીતે આ એક શ્રેણી મળે છે જે પણ સમાંતર શ્રેણી છે તેવુ દેખાય છે જુઓ કે પહેલા પદ માં 50 ઉમેરતા બીજું પદ મળે છે ફરી વખત 50 ઉમેરવા પડે અને વધુ એક વખત 50 ઉમેરતા પછી નું પદ મળે છે હવે વીડિઓ અટકાવીને તમે જાતે ચકાસી જુઓ કે અહી વિધેય ની જે વ્યાખ્યાઓ આપેલી છે તેમાંથી કઈ વ્યાખ્યા સાચી છે કદાચ એક કરતા વધુ વ્યાખ્યા પણ સાચી હોય શકે પહેલી વ્યાખ્યા માટે પણ ચકાસીએ તો અહી - 100 થી શરુ કર્યું છે અને પછી તેના અગાવ ના પદ માં 50 ઉમેરતા આપણને તે પદ મળે છે અહી આપણે જોયું કે પહેલા પદ માં 50 ઉમેરતા આપણને બીજું પદ મળ્યું અહી આપણે જોયું કે પહેલું પદ - 100 અને જો n = 1 લઇએ તો 1 - 1 = 0 એટલે કે - 100 માં એકપણ વખત 0 ઉમેરવાની જરૂર નથી - 100 એ પોતેજ પહેલું પદ છે ત્યારબાદ પહેલા પદ પરથી બીજું પદ મેળવવા આપણે એક વખત 50 ઉમેર્યા માટે જો n = 2 લઇએ તો 2 - 1 = 1 અને 50 ગુણ્યા 1 એટલે કે 50 આમ તે યોગ્ય છે બીજુ પદ મેળળવા માટે એક વખત 50 , -100 માં ઉમેરવા પડે તે જ રીતે ત્રીજા પદ માટે અને ચોથા પદ માટે પણ તે યોગ્ય છે માટે કહી શકાય કે આ વ્યખ્યા બરાબર છે જુઓ કે ચોથુ પદ મેળવવા માટે અહી 4 લઈએ તો 4 - 1 = 3 અને 50 ગુણ્યા 3 = 150 એટલે કે ત્રણ વખત 50 ઉમેર્યા આમ જો પહેલું પદ - 100 હોય તો તેમાં 1 , 2 , 3 વખત 50 ઉમેરતા આપણને ચોથુ પદ મળે છે બીજી વ્યાખ્યા છે , f ઓફ n = - 150 + 50 n તે માટે આપણે અહી એક કોષ્ટક દોરીએ જેમાં n ની અમુક કિંમતો લઈને આપણે f ઓફ n મેળવી જોઈએ જો n = 1 હોય તો - 150 + 50 ગુણ્યા 1 = 50 અને તેમ કરવાથી આપણને મળે - 100 અહી પ્રથમ પદ - 100 છે આમ તે બરાબર છે જો બીજું પદ શોધવું હોય તો - 150 + 50 ગુણ્યા 2 જે થશે 100 અને - 150 અને 100 કરવાથી આપણને - 50 મળે અહી બીજું પદ પણ - 50 છે આમ તે પણ યોગ્ય છે ત્યારબાદ n = 3 લઇએ તો - 150 + 50 ગુણ્યા 3 જે થશે 150 અને 150 , - 150 = 0 મળે છે આ આ એક યોગ્ય વ્યખ્યા છે પણ તમે કદાચ કહેશો કે તે બંને જુદી જુદી દેખાય છે પણ જો બીજ ગણિત ની રીતે આ ઉપર ની વ્યખ્યા નું સાદુરૂપ આપીએ તો તે મળે - 100 + 50 નું વિભાજન કરીએ તો 50 ગુણ્યા n = 50 n અને 50 ગુણ્યા - 1 = - 50 મળે હવે આ - 100 અને - 50 નો સરવાળો કરીએ તો આપણને - 150 મળે છે અને આ 50 n આ બંને વ્ય્ખ્યાઓ જુદી દેખાતી હોવા છતાં બીજ ગણિત ની રીતે તે યોગ્ય છે ત્રીજી વ્યાખ્યા માટે ચકાસીએ જો n = 1 લઈએ તો 50 ગુણ્યા 1 = 50 અને - 100 + 50 કરવાથી આપણને - 50 મળે જયારે અહી પ્રથમ પદ - 100 છે આમ આ ત્રીજી વ્યાખ્યા યોગ્ય નથી