If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :5:29

સમાંતર શ્રેણીના n સુધીના પદોનો સરવાળો

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

અહીં એક શ્રેણી આપેલ છે અને જેમાં 30 પદ છે તેમ કહ્યું છે તેમજ આગળ કહ્યું છે કે 19 મુ અને 23 મુ પદ શોધો તે શોધવા માટે એક રીત એ છે કે આ શ્રેણી ને આપણે 30 પદ સુધી લંબાવીએ અને પછી તેમાં 19 મૂ અને 23 મુ પદ કયું છે તે જોઈએ પણ અવે આ શ્રેણી માં આગળ ના પદ કાયા હશે તે કઈ રીતે ખબર પડે જો અહીં ધ્યાન થી જોઈએ તો આપણને જણાય છે કે દરેક સંખ્યા ના વચ્ચે 3 3 ના તફાવત છે અહીં 3 નો તફાવત અહીં પણ 3 અને પણ 3 નો તફાવત છે આમ આગળ ના પદ માં 3 ઉમેરતા આપણને પછીનું પદ મળે છે તે રીતે 3 3 ઉમેરતા જઈએ તો આપણને 30 પદ મળી જાય તો આપણે આ શ્રેણી ના 30 પદ દર્શાવી શકીએ અને પછી તેમાં 19 મુ અને 23 મુ પદ કયું છે તે શોધી શકીએઆ દાખલ માટે આ પદ્ધતિ સહેલી હશે અને એમાં સમય પણ ઓછો લાગશે પણ જો આપણને એમ થયું હોઈ કે આ શ્રેણી માં 3000 પદ છે અને 1009 નું પદ શોધો તો તે ખુબજ લાંબી અને કાંટાળા જનક રીત થઈ જાય તો હવે આપણી પાસે એવી કોઈ રીત હોવી જોઈએ કે જે શ્રેણી ના ગમે એટલા પદ માટે સરળતા થી તેમાં કોઈ પણ પદ શોધી શકાય કારણકે અહીં દરેક પદ વચ્ચેનો તફાવત સરખો છે હવે આપણે આ શ્રેણી માટે વિચારીએ એ અહીં 4 સુ છે 4 એ શ્રેણી નું પ્રથમ પદ છે હવે 7 માટે વિચારીએ તો 7 એટલે પ્રથમ પદ એટલે કે 4 વત્તા આપનો સામાન્ય તફાવત જે 3 છે માટે અહીં લખીએ વત્તા 3 તે રીતે 10 માટે સુ કહી શકાય 10 એટલે 7 વત્તા 3 છે અથવા બીજી રીતે કહીએ તો 4 વત્તા 3 વત્તા 3 તેથી અહીં લખીએ 4 વત્તા 2 વખત 3 અને હવે 13 એટલે 4 અને 4 માં 3વખત 3 ઉમેરીએ આ એક વખત 3 અહીં બીજી વખત 3 અને અહીં ત્રીજી વખત 3 ઉમેરીએ જેથી કરીને આપણને મળે છે 13 તેથી અહીં લખીએ 4 વત્તા 3 વત્તા 3 અને ત્રીજી વખત વત્તા 3 તમે અહીં એક પેટર્ન જોઈ શકો છો અહીં આપણે આ રીતે દર્શાવી શકીએ તેનું કારણ એ છે કે અહીં દરેક પદ વચ્ચે નો તફાવત સરખો છે અહીં જે 4 છે તે આપણો પહેલું પદ છે 7 એ શ્રેણી નું 2 પદ છે જેમાં એક વખત સામાન્ય તફાવત ઉમેર્યો છે અહીં 4 વિષે એમ કહી શકાય કે 4 વત્તા 0 વખત તફાવત ઉમેર્યો છે આગળ વધીએ અહીં આ જે આ જે ત્રીજું પદ છે તેમાં 4 વત્તા 2 વખત સામાન્ય તફાવત છે અને 4 પદ માં 4 માં 3 વખત સામાન્ય તફાવત ઉમેરી છે તો હવે જે પદ શોધવાના છે તેના વિષે આ પેટર્ન પ્રમાણે વિચારીએ તો પેહલા 19 મુ પદ શોધવાનું છે તેના વિષે વિચારીએ અહીં તે દર્શાવીએ કે આપણે 19 મુ પદ શોધવાનું છે અને 19 માં પદ માં પેહલા પહેલું પદ લખીએ 4 આ પેટર્ન પ્રમાણે પહેલું પદ 4 અને જુઓ કે ત્રીજા પદ માટે 2 વખત સામાન્ય તફાવત ઉમેર્યો છે 4 પદ માટે 3 વખત સામાન્ય તફાવત ઉમેર્યો છે તે રીતે વિચારીએ તો 19 માં પદ માટે 4 વત્તા 18 વખત આપણે સામાન્ય તફાવત ઉમેરી રહ્યા છીએ અહીં 18 વખત 3 વત્તા 3 વત્તા 3 લખવા ના બદલે મેં તેને 18 ગુણ્યાં 3 તરીકે દર્શાવેલ છે જે બંને સમાન બાબત છે વધુ સદ્ગુરુપ આપીએ તો 18 ગુણ્યાં 3 બરાબર 54 અને 54 માં 4 ઉમેરીએ તો આપણને મળે 58 આમ આ આપણો 19 મુ પદ છે હવે 23 મુ પદ સોઢીએ 23 માં પદ માટે જે પહેલું પદ છે 4 તેમાં 23 કરતા 1 ઓછી વખત 3 ઉમેરીએ એટલે કે અહીંયા લખીએ 22 ગુણ્યાં 3 ફરીથી સમજી લઈએ કે બીજા પદ માટે એક વખત ત્રીજા પદ માટે પેહલા પદ માં 2 વખત 4 પદ માટે પેહલા પડમાંથી 3 વખત સામાન્ય તફાવત મેળવસે તે રીતે વિચારતાં 23 મુ પદ મેળવવા માટે પેહલા પદ માં 22 વખત 3 ઉમેરવા પડે અને તેમ કરવાથી આપણને મળશે 22 ગુણ્યાં 3 બરાબર 66 અને 66 વતા 4 જે થશે 70 આમ આ બંને પદ આપણને મળી ગયા પણ હ અટકી ન જતા આપણે એ વિચારીએ કે વધુ આગળ પદ શોધવા માટે કહ્યું હોઈ તો કયી રીતે મેળવી શકાય જો આપણને n મુ પદ શોધવાનું હોઈ તો તે કઈ રીતે મેળવાય તે માટે પણ અહીં પેહલા પહેલું પદ જ આવશે પેહલા પદ ને આપણે અહીં એ તરીકે વિચારીએ ત્યારબાદ તેમાં સામાન્ય તફાવત ઉમેરવાનો છે સામાન્ય તફાવત ને આપણે d તરીકે દર્શાવીએ d એટલે ડિફરેન્સ જે તફાવત માટેનો અંગ્રેજી શબ્દ છે હવે અહીં સુ મળશે d ને કયી સંખ્યા સાથે ગુણવાનું છે અહીં જુઓ કે 23 મુ પદ મેંદાવા માટે આપણે અહીં 22 સાથે 3 નો ગુણાકાર કર્યો એટલે કે 22 વખત 3 ઉમેર્યા અહીં 19 છે તો અહીં 18 છે 4 પદ માં અહીં 3 વખત સામાન્ય તફાવત છે ત્રીજા પદ માં અહીં 2 વખત સામાન્ય તફાવત છે તેના પરથી કહી શકાય કે n મુ પદ શોધવું હોઈ તો તેના કરતા એક ઓછી વખત એટલે કે n ઓછા 1 સાથે d નો ગુણાકાર કરવો પડે એટલે કે પેહલા પદ માં n ઓછા 1 વખત સામાન્ય તફાવત ઉમેરવાનો છે અહીં સામાન્ય તફાવત અચલ રહે છે માટે આ રીતે આપણે વિચારી શકીએ આમ આ જે મળ્યું તેને પરિણામ અથવ n મુ પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર કહી શકાય જેના ઘ્વારા શ્રેણી નું કોઈ પણ પદ આપણે શોધી શકીએ છીએ