If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ
વર્તમાન સમય:0:00કુલ સમયગાળો :7:47

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

આપણે સમાંતર શ્રેણી એટલે એરીથમેટીક સિક્વન્સને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ આપણે કેટલીક સંખ્યા a થી શરૂઆત કરીએ અને ત્યાર બાદ તેમાં d ઉમેરતા જઈએ આપણે જે સંખ્યા અહી ઉમેરી રહ્યા છીએ તે ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે આપણે તેને સામાન્ય તફાવત તરીકે ઓળખીએ છીએ તો આપણી શ્રેણીનું બીજું પદ a + d થશે ત્યાર બાદ શ્રેણીનું ત્રીજું પદ a + 2d થશે આમ આપણે શ્રેણીમાં nના પદ સુધી ઉમેરીએ છીએ હવે તમે અહી જોઈ શકો કે આપણે પહેલા પદમાં 0 વખત dને ઉમેર્યો છે ત્યાર બાદ આ બીજા પદમાં 1 વખત d ઉમેર્યો છે અને આ ત્રીજા પદમાં 2 વખત d ઉમેર્યો છે આમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જેમ જેમ પદ ક્રમાંક વધે છે તેમ તેમ આપણે એક ઓછી વાર d ઉમેરીએ છીએ તેથી nના પદ સુધી પહોચતા આપણે nથી ઓછી વખત dને ઉમેરીશું તો આપણને અહી a + n - 1 ગુણ્યા d મળશે તેથી અહી આ આપણું હવે આપણે એ વિચારવા માંગીએ છીએ કે આ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો શું થાય સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાને સમાંતર શ્રેઢી તરીકે પણ ઓળખી શકાય સમાંતર શ્રેઢીએરેથમેતિક સીરીઝ સમાંતર શ્રેઢી એ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો જ છે આપણે તેને s સબ n તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીશું અને તેના = આ દરેક પદોનો સરવાળો તેથી a + a+d + a+2d + nના પદ સુધીનો સરવાળો લઈએ a + n - 1 ગુણ્યા d હવે આપણે જે સમાંતર શ્રેણીમાં જોઈ ગયા એ જ ત્રીક આપણે અહી જોઈએ આપણે અહી આ જ પદોનો સરવાળો કરીએ પરંતુ હવે હું તેનો ક્રમ બદલી રહી છુ આમ હું અહી s સબ n જ લખીશ પરંતુ હવે અહી આ શ્રેણીને આપણે ઉલટા ક્રમમાં લખીએ એટલે કે આપણે છેલ્લા પદને પહેલા લખીએ તેથી અહી મારું nનું પદ a + (n -1)d ત્યાર બાદ છેલ્લેથી બીજું પદ a + (n -2)d ત્યાર બાદ છેલ્લેથી ત્રીજું પદ a + (n -3)d અને આ રીતે આપણે પ્રથમ પદ સુધી જઈએ અને આપણું પ્રથમ પદ a છે હવે આપણે આ બંને સમીકરણનો સરવાળો કરીએ અહી ડાબી બાજુ આપણને s સબ n + s સબ n મળે એટલે કે તે 2 ગુણ્યા s સબ n થશે હવે અહી આ પહેલા બે પદોનો સરવાળો શું થાય અહી આ બે પદનો સરવાળો શું થશે a + (n -1)d તેથી તે 2a + (n -1)d થશે ત્યાર બાદ આપણે આં બે પદો સરવાળો કરીએ આ બે પદો જો આપણે આ બંને પદોનો સરવાળો કરીએ તો આપણને શું મળે a + a 2a થશે ત્યાર બાદ d + (n -2)d = શું થાય આપણે અહી તેને જુદી રીતે લખીને જોઈએ d + (n -2)d = શું થાય તો તે એક d + (n -2)dને સમાન જ થશે આપણે અહી સહગુણકોનો સરવાળો કરી રહ્યા છીએ તેથી તેના = (n - 2 + 1) d થશે એટલે કે તે (n -1)dને સમાન જ થશે આમ અહી બીજું પદ 2a + (n -1)d થશે હવે આપણે અહી આ ત્રીજું પદ ઉમેરીએ આપણે જો આ બંને પદોનો સરવાળો કરીએ તો શું થાય આપણને અહી એક પેટન જોવા મળે છે a + a એ 2a થશે હવે આપણી પાસે 2 + (n - 3) અને કશુક હોય અને આપણે તેનો સરવાળો કરીએ તો આપણને અહી n - કઈક આવું મળે એટલે કે + (n - 1)d મળશે આમ આપણે nમાં પદ સુધી આગળ વધી શકીએ આપણે nમાં પદ સુધી વધી શકીએ અને આ બેનો સરવાળો આ બેનો સરવાળો શું થાય 2a + (n -1)d થશે આમ આપણે 2a + (n -1)d ને વારંવાર ઉમેરી રહ્યા છીએ અને આપણે તે કેટલી વાર કરીશું જયારે આપણે આ બંને સમીકરણનો સરવાળો કર્યો ત્યારે આપણી પાસે n પદની જોડ હતી આપણી પાસે આ દરેકમાં n પદ હતા આ પહેલું પદ આ બીજું પદ આ ત્રીજું પદ અને આપણે nના પદ સુધી પહોચીએ છીએ તો આપણે અહી એવું લખી શકીએ કે 2 ગુણ્યા આ સરવાળો = n ગુણ્યા આ આખી પદાવલી n ગુણ્યા 2a + (n -1)d હવે જો આપણે s સબ n શોધવું હોય તો આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ 2 વડે ભાગવું પડે તેથી અહી s સબ n = n ગુણ્યા 2a + (n -1)d અને તે આખાના છેદમાં 2 થશે આમ આપણને અહી એક સામાન્ય સૂત્ર મળે છે જે કઈક આ પ્રમાણે દેખાશે તે પ્રથમ પદ સામાન્ય તફાવત d અને આપણે કેટલા પદોને ઉમેરીએ છીએ તેનું વિધેય છે આ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો જ છે આપણે તેને સમાંતર શ્રેઢી પણ કહી શકીએ હવે તેને યાદ રાખવું અઘરું છે n ગુણ્યા 2a +(n -1)d અને તે આખાના છેદમાં 2 આપણે છેલ્લા વિડીઓમાં જે ઉદા કર્યું ત્યારે આપણે જોયું હતું કે તે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળા જેવો જ દેખાય છે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળા = પહેલું પદ a સબ 1 + છેલ્લું પદ a સબ n આપણે પ્રથમ પદ અને છેલ્લા પદની સરેરાશ લઇ રહ્યા છીએ ભાગ્યા 2 આપણે આ બંનેની સરેરાશ લઇ રહ્યા છીએ ગુણ્યા પદોની સંખ્યા એટલે કે n શું અહી આ બંને બાબતો સમાન છે આપણે પહેલા પહેલા અને છેલ્લા પદની સરેરાશને પદોની સંખ્યા વડે ગુણી રહ્યા છીએ કારણ કે આપણે દરેક વખતે એક સરખી કિંમતનો વધારો કરીએ છીએ તો આપણે તેને અહી ફરીથી લખીએ અને જોઈએ કે આ પદ અને આ પદ સમાન છે અહી આપણી પાસે જે બે a છે આપણે તેનું વિભાજન કરીએ અને તેને ફરીથી લખીએ s સબ n = n ગુણ્યા 2aની જગ્યાએ a + a +(n -1)d અને તે આખાના છેદમાં 2 કઈક આ પ્રમાણે આપણે અહી 2aનું વિભાજન કર્યું અને તેને a + a તરીકે લખ્યું હવે અહી આ પહેલું પદ છે જે અહી છે અને ત્યાર બાદ આ છેલ્લું પદ જે કઈક આ પ્રમાણે છે આમ આ આખી પદાવલી એ પહેલા અને છેલ્લા પદની સરેરાશ જ છે આપણે પહેલું પદ મેળવી તેમાં અંતિમ પદને ઉમેરી રહ્યા છીએ અને પછી તેને 2 વડે ભાગીએ છીએ અને ત્યાર બાદ આપણે પદોની સંખ્યા વડે ગુણીએ છીએ આમ અહી આ એ પ્રથમ અને છેલ્લા પદની સરેરાશ છે સરેરાશ અને આપણે જોયું તે મુજબ આ કોઈ પણ સમાંતર શ્રેણી માટે સાચું છે.