જો તમને આ સંદેશ દેખાય, તો તેનો અર્થ એ કે અમારી વેબસાઇટ પર બાહ્ય સ્ત્રોત લોડ કરવામાં સમસ્યા આવી રહી છે.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

મુખ્ય વિષયવસ્તુ

સાબિતી : ત્રિજ્યા એ સ્પેર્શક ને લંબ છે

સલ સાબિત કરે છે કે ત્રિજ્યા વર્તુળના છેદબિંદુને જોડે છે તે સ્પર્શકના લંબ હોય છે .

વિડિઓ ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

અહીં આપણને o કેન્દ્રિત વર્ટૂર આપિયું છે અને વર્ટૂર નો સ્પર્શક પણ આપેલો છે હું આ રેખા ને l કહીશ અને સ્પર્શક વર્ટૂર ને a બિંદુએ સ્પર્શે છે આપણને વર્ટૂર ના કેન્દ્ર થી બિંદુ a સુધીની ત્રિજ્યા આપી છે આપણે આ વિડિઓ ઘ્વારા એ સાબિત કરવા માંગીએ છે કે ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક એક બીજાને કાટખૂણે સ્પર્શે છે અને પહેલું પગથિયું એ છે કે આપણે એ સાબિત કરવું પડશેકે બિંદુ a એ વર્ટૂર ના કેન્દ્ર થી સ્પર્શક પર આવેલું સૌથી નજીકનું બિંદુ છે એટલે કે સાબિત કરો કે બિંદુ a એ બિંદુ o થી રેખા l પર સૌથી નજીકનું બિંદુ છે તે વિચારવા માટે આપણે પેહલા રેખા પર ના બીજા એક બિંદુ વિષે વિચાર કરીએ આપણે જાતેજ રેખા l પર એક બિંદુ પસંદ કરીએ તે અહીં હોઈ શકે તે આ જગ્યાએ હોઈ શકે અથવા આ જગ્યાએ હોઈ શકે તો તમને તરત જ જણાશે કે તે વર્ટૂર ની બહાર ના ભાગમાં છે વર્ટૂર ની બહાર ના ભાગમાં આપણે 1 બીજું બિંદુ રેખા l પર લઈએ આપ્રમાણે અને તેને b કહીએ તો તમારે કેન્દ્ર થી b બિંદુ પર જવા માટે ત્રિજ્યા જેટલું અંતર તો જોઈશે પણ તેમાં થોડું વધારે અંતર પણ ઉમેરવું પડશે તો રેખા ખાંડ o b ની લંબાઈ એ સ્પષ્ટ રીતે ત્રિજ્યા ની લંબાઈ કરતા વધુ છે કારણકે આપણે વર્ટૂર ની બહાર જ્યાં સ્પર્શક પર બિંદુ મુકિયુ છે ત્યાં સુધી જવા માટે કેન્દ્ર થી ત્રિજ્યા અને થોડું વધારે અંતર લેવું પડે તો બિંદુ a એજ ફક્ત એવું બિંદુ છે કે વ્યાખ્યા પ્રમાણે આપણને સમજાય છે કે કે આ વર્ટૂર નું સ્પર્શક છે અને આ બિંદુ વર્ટૂર પાર જ આવેલું છે રેખા l પરના બીજા બધાજ બિંદુઓ વર્ટૂર ની બહાર આવેલા છે તો આશા રાખું કે બિંદુ a માટે તમને એ સમજાયું હશે કારણકે જો તમે બીજા બિંદુઓ પસંદ કરો તો તમને ત્રિજ્યા થી થોડું વધારે અંતર મળશે આથી બિંદુ a એ રેખા l પરનું વર્તુર ના કેન્દ્ર થી સૌથી નજીકનું બિંદુ છે એ તમને સમજાયું હશે પરંતુ આપણે તે હજુ પૂરું કર્યું નથી હવે આપણે એ સમજાવવું પડશે કે જો આપણી પાસે 1 રેખા અને 1 બિંદુ છે અને રેખા ખણ્ડ એ તેના સૌથી નજીકના બિંદુ અને મૂળ બિંદુ સાથે જોડાય છે તો તે રેખા ને લમ્બ બનશે આપણે સાબિત કરવાનું છે કે રેખા ની બહાર નું બિંદુ અને રેખા પરનું સૌથી નજીકનું બિંદુ ને જોડતો રેખાખંડ a ને જોડતો રેખાંખણડ એ રેખા ને લમ્બ છે ધારોકે આપણી પાસે એક રેખા છે જેને આપણે l કહીએ અને રેખા ની બહાર એક બિંદુ આવેલું છે બિંદુ o અને રેખા પરની સૌથી નજીકનું બિંદુ અને તેને જોડતો રેખા ખણ્ડ એટલે કે તેને જોડતો રેખાખંડ એ રેખા ને લમ્બ હોઈ છે તેથી આ સીધુજ નીચે જશે અને તે લમ્બ બનશે અને હું તેને વિરોધ આભાસ થી સાબિત કરવા જય રહી છુહું એવું વિચારું છુ કે તે લમ્બ નથી એટલે કે ધારણા આપણે એવું ધારી શકીએ કે રેખા ની બહાર નું બિંદુ અને રેખા પરનું સૌથી નજીકનું બિંદુ બિંદુ ને જોડતો રેખાખંડ એ રેખા ને લમ્બ નથી તો હું તેને કેવી રીતે જોઈ શકું આમાટે આપણે અહીં એક રેખા દોરીએ જેને આપણે l નામ આપીએ અને બિંદુ o અહીં છે જે બહાર નું બિંદુ છે અને રેખા પરનું સૌથી નજીકનું બિંદુ અહીં છે અને જો આપણે આ 2 બિંદુઓને જોડીએ તો રેખા l એ લમ્બ થશે નહિ તો આપણે એવું કરીએ કે આ સૌથી નજીક નું બિંદુ a છે અને આપણે કહી શકીએ કે આ 2 બિન્દુઓએ ને જોડતો રેખા ખણ્ડ લમ્બ નથી તો આપણે a ધારી લીધું છે કે આ લમ્બ નથી અહીં જે આ ખૂણો બને છે તે 90 ઔંશ નો નથી હવે આપણે a ધારીએ કે વિરોધાભાસત ઘ્વારા આપણે તેને સાબિત કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ આ ખૂણો 90 ઔંશ નો થતો નથી તો તમારે એવું બિંદુ શોધવું જોઈએ કે જે સૌથી નજીક હોઈ રેખા પરનું બીજું કોઈ બિંદુ જોવું પડે કે જે o બિન્દુથી નજીક હોઈ તો l થી o સુધીનું નજીક નું બિંદુ આ નથી નજીક નો બિંદુ મારે કેવી રીએ સોઢબુ જોઈએં તે માટે હું અહીં કાટકોણ તરકોનની નજીક કરી શકું અને અહીં આ અંતર જેને આપણે a કહીએ અને અહીં આ આ પાયો જેને આપણે b કહીએ અને હવે કર્ણ જે o થી a નું અંતર છે તેને આપણે c કહીએ અને આને પાયથાગોરસ ના પ્રમેય અનુસાર a નો વર્ગ વત્તા b નો વર્ગ બરાબર c નો વર્ગ કહી શકીએ તેનું મૂલ્ય ધન હોવું જોએ a નું મૂલ્ય c કરતા નાનું હશે આના પછી આપણે તારાં કાઢી શકીશુ કરણકે આ મૂલ્ય ધન છે a અને c ધન છે બધાજ અંતરો ધન છે તો કહી શકાય કે a નું મૂલ્ય c કરતા ઓછું છે કર્ણ શિવાય ની કાટકોણ ત્રિકોણ ની આ બાજુ છે તેનું કેટલું ક્ષેત્રફળ ધારીએ તો તે કર્ણ કરતા નાનું થશે કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે તો a નું મૂલ્ય c કરતા ઓછું છે હવે આપણે એક બિંદુ સોઢીએ જેને આપણે d કહીએ d એ સૌથી નજીક નું બિંદુ છે સૌથી નજીક નું બિંદુ તો આપણે ફરીથી વિરોધ આભાસ ઘ્વારા વિચારીએ આપણે ધાર્યું કે રેખા l પરનું બિંદુ એ એ બિંદુ o થી સૌથી નજીકનું બિંદુ છે પરંતુ આપણે જોઈએ છીએ કે તેઓ ને જોડતો રેખા ખાંડ 90 ઔંશ નો ખૂણો બનાવતો નથી તો આપણે લમ્બ દોરીને નજીક નું બિંદુ મેળવી શકીએ તો તે વિરોધ આભાષ થી સત્ય તરફ જાય છે a એ કદાચ નજીક નું બિંદુ હતું તો અહીં આ વિરોધાભાસ ને દોરે છે વિરોધાભાસ કારણકે તમે ખરેખર એ શોધી શકો કે આ નજીક નું બિંદુ નથી તમારે હંમેશા નજીકનું બિંદુ શોધવાનું છે તો રેખા ની બહાર ના કે રેખા ની ઉપરના બિંદુ ઘ્વારા જે રેખાખંડ બને છે તે રેખા ને લમ્બ જ હોવો જોઈએ એ પ્રમાણે જો તમારી પાસે ત્રિજ્યા હોઈ અને એ બિંદુ કે જેના ઘ્વારા સ્પર્શક વર્ટૂર નર છેડે છે તો તે ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક એક બીજાને કાટખૂણે છેડશે