ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રની તારવણી

જો હું તમને આ પ્રકારના 3 બિંદુઓ આપું અને પછી પ્રશ્ન પૂછું કે આ 3 બિંદુઓને જોડવાથી આપણને જે ત્રિકોણ મળે છે શું તમે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો? તો તમે કઈ રીતે કરશો? સૌપ્રથમ હુ અહીં એ જોઈશ કે શું આપણે પાયાની લંબાઇ અને વેધની લંબાઈને સરળતાથી શોધી શકીએ કારણ કે જો આપણને એકવાર પાયો અને વેધની લંબાઈ મળી જાય તો પછી તે બંનેના ગુણાકારનું અડધું એ આપણા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ થાય, આપણે ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ કઈ રીતે શોધી શકાય તે જાણીએ છીએ પરંતુ આપણને અહીં જે લીટી આપવામાં આવી છે તે સમક્ષિતિજ કે શિરોલંબ નથી તેથી વેધ અને પાયો શોધવો સરળ નથી માટે આપણે સીધું જ તે રીતનો તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ નહીં તો તમારા મનમાં કદાચ બીજો વિચાર આવી શકે તમે એવું વિચારી શકો કે આપણે આ બાજુની લંબાઈ,આ બાજુની લંબાઈ અને આ બાજુની લંબાઈ શોધી શકીએ તો ત્યારબાદ આપણે કદાચ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો ત્યારબાદ આપણે કદાચ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ હું જાણતી નથી કે તમને હેરોનનું સૂત્ર યાદ છે કે નહીં તે વર્ગમૂળમાં s ગુણ્યાં s - a ગુણ્યાં s - b ગુણ્યાં s - c આવે જેનો કદાચ તમે અહીં ઉપયોગ કરી શકો તે રીતે તમે કદાચ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો તે રીત ચોક્કસ કામ કરશે, તમે વિડિઓ અટકાવીને તેનો પ્રયત્ન કરી શકો પરંતુ તેની ગણતરીઓ ખૂબ જ લાંબી છે આ પ્રકારના પ્રશ્નનો જવાબ મેળવવા તે રીતનો ઉપયોગ યોગ્ય નથી આપણે આ ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ ખૂબ જ સરળ રીતે શોધવા માંગીએ છીએ અગાઉની બન્ને રીત કામ કરતી નથી તો હવે આપણે અહીં શું વિચારી શકીએ? આપણે અહીં કદાચ યામભૂમિતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ તેની મદદથી આપણને બધી જ શિરોલંબ અને સમક્ષિતિજ રેખાઓ મળી જશે જો આપણે યામભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીએ તો આપણને શિરોલંબ રેખાઓ તેમજ સમક્ષિતિજ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર મળી જાય પરંતુ અહીં સમસ્યા એ છે કે આપણે આપવામાં આવેલ આવેલી લીટીઓ શિરોલંબ કે સમક્ષિતિજ નથી તો હવે આ પ્રશ્નને કઈ રીતે ઉકેલી શકાય? હું ઇચ્છું છું કે તમે વિડીયો અટકાવો અને તેના વિશે વિચારો, શું તમે આ ત્રિકોણને બીજા કોઈ આકાર તરીકે એટલે કે લંબચોરસ અથવા ત્રિકોણ અથવા બીજા કોઇ આકાર તરીકે દર્શાવી શકો? જેથી તે આકાર પાસે ફક્ત સમક્ષિતિજ કે શિરોલંબ રેખાઓ જ હોય શું તમે કંઈક વિચારી શકો? અત્યારે મને તો કોઈ વિચાર આવતો નથી માટે હું અહીં આ દરેક બિંદુ આગળ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ રેખા દોરીશ અને પછી જોઈશ કે તે મને શું આપે છે? હું અહીં આ બિંદુ આગળ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ રેખા દોરીશ,આ પ્રમાણે, તેવી જ રીતે જો અહીં આ બિંદુમાંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા દોરું તો મને અહીં એક ત્રિકોણ મળશે,સમક્ષિતિજ રેખા,તેવી જ રીતે અહીં આ બિંદુ આગળ જો આપણે શિરોલંબ રેખા દોરીએ,આ પ્રમાણે, તો અહીં આપણને બે બીજા ત્રિકોણ મળે છે શું તમે અહીં કોઈ પેટર્ન જોઈ શકો? અહીં આપણી પાસે એક મોટું લંબચોરસ છે જે આ આખા વિસ્તારને આવરી લે છે અને પછી તેમાં આ 3 નાના નાના લંબચોરસ છે હું અહીં તે ત્રિકોણને દર્શાવી શકું,તમે અહીં તે ૩ ત્રિકોણને જોઈ શકો તે કંઈક આ પ્રમાણે છે જો આપણે આ મોટા લંબચોરસમાંથી આ 3 ત્રિકોણ ના ક્ષેત્રફળ ને બાદ કરીએ તો આપણે જે ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ શોધવા માંગીએ છીએ તે ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ આપણેને મળી જશે, અહીં આ બીજો ત્રિકોણ છે અને અહીં આ ત્રીજો ત્રિકોણ છે તમે આ ત્રણેય ત્રિકોણને જોઈ શકો, આપણે આ ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ શોધવા માંગીએ છીએ, જો આપણે મોટા લંબચોરસમાંથી આ નારંગી રંગના 3 ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીએ તો આપણે આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ, આપણે આ ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ અહીં આ રીત કામ કરશે કારણ કે આ લંબચોરસ પાસે ફક્ત સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ રેખાઓ છે અને આ ત્રિકોણ પાસે પણ ફક્ત સમક્ષિતિજ અથવા શીરોલંબ રેખાઓ છે મારે ફક્ત આ બધી જ બાજુઓની લંબાઈ શોધવાની છે જેને આપણે યામ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીએ ત્યારે સમક્ષિતિજ રેખા અથવા શિરોલંબ રેખા ની લંબાઇ શોધવી ખુબ સરળ હોય છે તો સૌ પ્રથમ આપણે આ ઉપરની બાજુની લંબાઈ શોધીએ,અહી આ બાજુની લંબાઈ અને તેના બરાબર શું થાય? અહીં આ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પરના બધા જ બિંદુઓનો x યામ x3 થાય તેવી જ રીતે આ રેખા પર આવેલા બધા જ બિંદુઓનો x યામ x1 થાય,જો બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો અહીં આ લંબાઈ x3 - x1 થશે આ લંબાઈ x3 - x1 થાય, હવે આપણે આ લંબાઈ શોધીશું, જો શિરોલંબ રેખા છે અહીં આપણે આ બાજુની લંબાઈ શોધીશું, આપણે તે જ રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ આ બાજુની લંબાઈ y2 - y1 થશે તેના બરાબર y2 - y1 થાય, આ રેખા પર આવેલા બધા જ બિંદુઓના y યામ y2 હશે અને આ રેખા પર આવેલા બધાજ બિંદુઓનો y યામ y y હશે આપણને જે બાજુઓની લંબાઈ ની જરૂર છે તે બધી જ બાજુઓ માટે આપણે આ સમાન બાબત કરી શકીએ,આપણને કઈ કઈ બાજુઓની જરૂર છે? મને અહીં આ બાજુની લંબાઈની જરૂર છે અહીં આ બાજુ,જેથી આપણે આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ તો તેની બાજુની લંબાઈ x3 - x2 થાય , x3 - x2 તેવી જ રીતે અહીં આ બાજુની લંબાઈ, અહી આ બાજુની લંબાઈ x2 - x1 થશે અહીં આ x2 - x1 થાય તેવી જ રીતે મને આ લંબાઈની પણ જરૂર છે તો અહીં આ લંબાઈ એઆ બિંદુઓના y યામ વચ્ચેનો તફાવત થશે માટે તે y2 - y3 થાય અને તેવી જ રીતે આ લંબાઈ y3 - y1 થશે y3 - y1 હવે આપણને જે બાબતોની જરૂર છે તે બધું જ આપણી પાસે છે તો હવે પછીનું સ્ટેપ કયું હોઈ શકે? સૌપ્રથમ આપણે લંબચોરસનુ ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શું થાય? તે લંબાઈ ગુણ્યા પહોળાઈ થશે અથવા તેના બરાબર x3 - x1 ગુણ્યા y2 - y1 થશે ગુણ્યાં y2 - y1 થાય તો અહીં આ લંબચોરસનુ ક્ષેત્રફળ છે અને હવે આપણે આ ક્ષેત્રફળમાંથી આ દરેક ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાનું છે માટે આપણે આ ત્રિકોણથી શરૂઆત કરીશું આપણે તે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીશું તેનું ક્ષેત્રફળ એક દ્વીતીયાંશ ગુણ્યાં પાયો ગુણ્યાં વેધ થાય, અહીં આપણે આ બાજુ અથવા આ બાજુ કોઈને પણ વેધ લઈ શકીએ, અહીં આપણે આ બાજુ અને આ બાજુ અહીં આપણે આ બાજુ અથવા આ બાજુમાંથી કોઈને પણ પાયો લઈ શકીએ હું અહીં આ બાજુને પાયાની લંબાઇ લઈશ જે x2 - x1 છે x2 - x1 ગુણ્યાં વેધ એટલે કે ઊંચાઈ જે y2 - y1 થશે ગુણ્યા y2 - y1 , હવે આપણે આ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીશું તેથી એક દ્વિત્યાંશ ગુણ્યાં પાયો,અહીં આ તેનો પાયો છે જે x3 - x1 છે x3 - x1 ગુણ્યાં ઉંચાઈ એટલે કે વેધ જે y3 - y1 છે y3 - y1 અને હવે આ અંતિમ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીએ એક દ્વિત્યાંશ ગુણ્યા પાયો અહીં તેનો પાયો x3 - x2 થશે x3 - x2 ગુણ્યા ઊંચાઈ અહીં તેની ઊંચાઈ y2 - y3 થાય,તેની ઊંચાઈ y2 - y3 થશે, હવે આપણે ફક્ત આ આ આખાનું સાદુંરૂપ આપવાનું છે અહીં આ થોડું જટિલ લાગે છે પરંતુ જયારે તમે તેનું સાદુંરૂપ આપશો ત્યારે તેમાંથી ઘણા બધા પદ કેન્સલ થઇ જશે તો તમે આ વિડિઓ અટકાવો,આ બધાનું વિસ્તરણ કરો,કયું પદ કેન્સલ થઇ જાય છે? તે જુઓ અને અંતે પછી તમને શું પરિણામ મળે છે? તે જુઓ,હવે આપણે તે સાથે મળીને કરીશું અહીં હવે આપણને આકૃતિની જરૂર નથી આપણે ફક્ત આનું સાદુંરૂપ આપવાનું છે સૌ પ્રથમ આપણે આ દરેકમાંથી એક દ્વિત્યાંશને સામાન્ય લઈશું તેથી એક દ્વિત્યાંશ,હવે આપણી પાસે શું બાકી રહે છે? તે જોઈએ, સૌ પ્રથમ હું અહીં આ દરેકનું અલગથી સાદુંરૂપ આપીશ અને પછી જોઈએ કે શું થાય છે? યાદ રાખો કે આપણે આ દરેકમાંથી એક દ્વિત્યાંશને સામાન્ય લીધો છે માટે આપણે અહીં આનો ગુણાકાર બે સાથે કરવો પડશે આપણે આ પ્રથમ આ બે દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરીએ જયારે પણ હું આ પ્રકારની દ્વિપદી જોઉં છું ત્યારે ગુણાકાર કરતી વખતે ગૂંચવાઈ જાઉં છું તો સૌ પ્રથમ આપણે ફક્ત આ ચલનો ગુણાકાર કરીશું અને પછી તેની નિશાનીઓ કઈ આવે તેના વિશે વિચારીશું માટે x3 ગુણ્યાં y2 ત્યારબાદ x3 ગુણ્યાં y1 ત્યારબાદ x1 ગુણ્યાં y2 અને અંતે x1 ગુણ્યાં y1 આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા આપણને ૪ પદ મળશે જો આપણે બે નું વિભાજન કરીએ તો અહીં આ બે દરેક સાથે ગુણાય કંઈક આ પ્રમાણે, હું જાણું છું કે અહીં વચ્ચેના 2 પદની નીશાની ઋણ આવશે કારણ કે આપણે a ઓછા b ગુણ્યા a ઓછા b કરી રહ્યા છીએ તેમજ પ્રથમ પદ અને અંતિમ પદ ધન આવશે હવે આપણે આ વચ્ચેનો ગુણાકાર જોઈએ x2 ગુણ્યાં y2 , x2 ગુણ્યાં y1 , x1 ગુણ્યાં y2 અને x1 ગુણ્યાં y1 પરંતુ ધ્યાન રાખો કે અહીં આની આગળ આપણી પાસે ઋણ નિશાની છે અહીં આ બે મધ્યમપદ ઋણ આવે પરંતુ બહાર ઋણ નિશાની હોવાને કારણે આ બન્ને ધન થઈ જશે અને તેવી જ રીતે આ પ્રથમ પદ અને છેલ્લું પદ ઋણ થાય હવે હું આ બાકીનો બે ગુણાકાર પણ તે જ પ્રમાણે કરીશ જેથી આપણને ખ્યાલ આવે ચારેય પદની નીશાની - , + , + , - છે આપણે તેના વિશે વધારે વિચારવું ન પડે x3 ગુણ્યાં y3 ,x3 ગુણ્યાં y3 ,x3 ગુણ્યાં y1 ,x1 ગુણ્યાં y3 અને x1 ગુણ્યાં y1 ફરીથી તેની નિશાની - , + , +, - આવશે હવે આ અંતિમ દ્વિપદીનો ગુણાકાર જોઈએ x3 ગુણ્યાં y2 , x3 ગુણ્યાં y3 , x2 ગુણ્યાં y2 અને x2 ગુણ્યાં y3 અહીં તેની પણ નિશાની - , + , + , - આવશે હવે આમાંથી કોઈ પદ કેન્સલ થાય છે કે નહીં તે જોઈએ અહીં આ x3 y2 છે x3 y2 વાળું પદ તમે અહીં જોઈ શકો માટે આ બે અને આ આખું પદ કેન્સલ થઈ જશે અહીં આ -x3y1 છે અને x3y1 ને તમે અહીં જોઈ શકો તેથી આ બે અને આ આખું પદ કેન્સલ થઈ જાય ત્યારબાદ - x1y2 , x1y2 ને તમે નીચે જઈ શકો તેથી આ આખું પદ અને બે કેન્સલ થઈ જશે તેવી જ રીતે x1y1 અહીં આ x1y1 છે અને આ પણ x1y1 છે તેથી આ ત્રણેય પદ કેન્સલ થઇ જશે ,હવે બીજા પદ જોઈએ - x2y2 + x2y2 અહીં છે તેથી આ બંને પદ કેન્સલ થઇ જશે ત્યારબાદ x2y1 મને અહીં x2y1 વાળું બીજું કોઈ પદ દેખાતું નથી ત્યારબાદ - x3y3 +x3y3 અહીં છેતેથી આ બંને પણ કેન્સલ થઈ જાય તો હવે આપણી પાસે કેટલાક પદ બાકી રહ્યા? આપણી પાસે એક 1 2 3 4 5 6 પદ બાકી રહ્યા તેથી અંતિમ પદાવલિમાં અહીં આ 6 પદનો સમાવેશ થશે હવે આપણે આ બાકી રહેલા પદને લખી શકીએ પરંતુ તમે જોઈ શકો કે અહીં x3 છે અહીં પણ x3 છે તેથી x3 ને સામાન્ય રહી શકાય તેવી જ રીતે અહીં x1 છે અને અહીં x1 છે તો x1 ને સામાન્ય લઇ શકાય આમ આપણે x વાળા પદને સામાન્ય લઈશું માટે એ x1 ગુણ્યાં y3 - y2 , y3 - y2 + હવે આપણે x2 ને સામાન્ય લઈએ તો આપણી પાસે y1 - y3 બાકી રહે , y1 - y3 હવે આપણે x3 ને સામાન્ય લઈશું તો આપણી પાસે કૌંશમાં y2 - y1 બાકી રહે, y2 - y1 બાકી રહે આમ અહીં આપણને આ પદાવલિ મળે છે હવે આપણે અહીં આ જે મેળવ્યું છે તે હેરોનના સૂત્ર કરતા અને બાકીના કરતા ખૂબ સરળ છે તે ફક્ત પ્રથમ યામ તે ફક્ત પ્રથમ x યામ અને બાકીના y બાકીના 2y યામનો તફાવત + બીજો x યામ , 1 અને 3 નો તફાવત + ત્રીજો x યામ, 2 અને 1 નો તફાવત છે આમ અહીં આ તમારો જવાબ છે તમે કેટલીક વખત જોશો કે તમને આનો જવાબ ઋણ મળતો હોય છે પરંતુ ત્રિકોણનુ ક્ષેત્રફળ ઋણ હોઈ શકે નહીં પરિણામે આપણે અહીં નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઇશું તમે આ આખા પદાવલીની કિંમત ગણો અને પછી તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લો, અહીં આપણને ઋણ જવાબ એટલા માટે મળી શકે કારણ કે કેટલીક વખત આપણે જે જોડનો ક્રમ નક્કી કરીએ છીએ તે જુદો જુદો પણ હોઈ શકે, માટે આપણને અહીં ઋણ કિંમત પણ મળી શકે તેના માટે તમે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લો હવે જો તમને આપવામાં આવેલા આ 3 બિંદુઓ સમરેખ હોય, જો તેઓ એક જ રેખા પર આવેલા હોય તેમના વડે ત્રિકોણ ન બનતો હોય તો તે પરિસ્થિતિમાં આનું મૂલ્ય શૂન્ય મળશે આમ જો તમને આનો જવાબ શૂન્ય મળે તો તેનો અર્થ એ થાય કે 3 બિંદુઓ સમરેખ છે.