કાટખૂણામાં ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર

હવે આપણે થોડા વધુ ઉદાહરણ કરીએ તેથી આપણને ખાતરી થાય કે આપણને આ ત્રિકોણનીતિય વિધેયોની સમજ પડી રહી છે આપણે અહી કેટલાક કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીએ અને મેં પહેલા જ કહ્યું હતું કે આ ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે જ શક્ય છે જો તમે કાટકોણ ત્રિકોણ ન હોય તેવા ત્રિકોણો માટે ત્રિકોણનીતિય વિધેયોને શોધવાનો પ્રયત્ન કરો તો તે શક્ય નથી આપણે આપણું પુરતું ધ્યાન કાટકોણ ત્રિકોણ પર જ રાખવાનું છે માની લો કે આપણી પાસે એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને અહી આ નીચેની બાજુની લંબાઈ ધારો કે 7 છે અને આ પાસેની બાજુની લંબાઈ 4 છે તો કર્ણનું માપ શું થાય તે આપણે શોધીએ ધારો કે કર્ણનું માપ h છે તેથી hનો વર્ગ = 7નો વર્ગ + 4નો વર્ગ થશે પાયથાગોરસના પ્રમેય પ્રમાણે આપણે જાણીએ છીએ કે કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોય છે તેથી hનો વર્ગ = 7 નો વર્ગ + 4નો વર્ગ તેથી hનો વર્ગ = 49 + 16 49 + 10 એટલે કે 59 અને + 6 એટલે કે 65 થાય તેથી આપણી પાસે hનો વર્ગ = 65 થશે આ મેં બરાબર કર્યું છે ને 49 + 10 એટલે કે 59 અને બીજા 6 એટલે કે 65 અથવા આપણે કહી શકીએ કે h = જો બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેવામાં આવે તો અહી આપણને 65નું વર્ગમૂળ મળશે આપણે તેનું સાદુરૂપ આપી શકીશું નહિ અહી આ 13 ગુણ્યા 5 જેટલું છે તેઓ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી તે બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે આથી આપણે તેનું સાદુરૂપ આપી શકીશું નહિ તેથી તે વર્ગમૂળમાં 65 જેટલું જ રહેશે હવે આપણે આ ખૂણા માટે ત્રિકોણનીતિય વિધેય શોધવાની કોશીશ કરીએ આપણે અહી આ ખૂણાને થીટા કહીએ તો જયારે પણ તમે તે કરવા માંગો ત્યારે હંમેશા તમારે સાસાક કોપાક અને ટેસાપા લખવું જોઈએ આ ખુબ જ ઉપયોગી છે તેથી હંમેશા આ લખવું જોઈએ હવે માટે આ ખૂણા માટે cos શોધવું છે તો તમે સાસાક કોપાક અને ટેસાપા કરી શકો કોપાકથી આપણને cos મળી શકશે તેના પરથી આપણને મળશે કે cos = પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણ બરાબર થશે તેથી જો આપણે અહી આ થીટા પર ધ્યાન આપીએ તો તેની પાસેની બાજુ કઈ છે આપણને ખબર છે કે અહી આ કર્ણ છે તો તે પેલી બાજુ હોય શકે નહિ કર્ણ સિવાયની બીજી જે પાસેની બાજુ છે તે અહી 4 છે અહી જે પાસેની બાજુ છે તે બાજુ ખૂણાની બરાબર બાજુમાં જ છે તે ખૂણો બનાવતી બાજુઓ માની એક બાજુ છે તેથી તે 4ના છેદમાં કર્ણ બરાબર થશે અને કર્ણનું માપ આપણને પહેલેથી જ ખબર છે તે વર્ગમૂળમાં 65 જેટલું છે તેથી તે 4ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 65 થશે અને કેટલીક વાર લોકો તમને કહેશે કે આ છેદનું સંમેયી કારણ કરો જેનો અર્થ એ થાય છે કે તેઓ છેદમાં અસંમેય સંખ્યા વર્ગમૂળમાં 65 ઈચ્છતા નથી અને જો તમે છેદમાં અસંમેય સંખ્યા સિવાયની સંખ્યા લખવા ઈચ્છતા હોવ તો તમારે અંશને અને છેદને વર્ગમૂળમાં 65 વડે ગુણવું પડે આને કારણે સંખ્યામાં કોઈ ફેર પડશે નહિ કારણ કે તમે અંશમાં અને છેદમાં એક સરખી સંખ્યા જ ગુણી રહ્યા છો અને આ રીતે આપણને છેદમાંથી અસંમેય સંખ્યા દુર કરી શકાશે તો હવે અહી અંશમાં આપણી પાસે 4 ગુણ્યા વર્ગમૂળ 65 અને છેદમાં વર્ગમૂળ 65 ગુણ્યા વર્ગમૂળ 65 એટલે કે 65 બચશે આપણે અસંમેય સંખ્યાથી છુટકારો મેળવ્યો નથી પરંતુ તે ત્યાજ છે પણ હવે તે અંશમાં છે આપણે હવે બીજા ત્રિકોણ નીતિય વિધેયોને શોધીએ ખરેખર તો ભવિષ્યમાં આપણે તેમના ઘણા કરીશું પરંતુ તે બધા આના પરથી જ તારવેલા હશે હવે આપણે sin થીટા વિશે વિચાર કરીએ ફરી એક વાર સાસાક કોપાક અને ટેસાપા પર જઈએ સાસાક પરથી આપણને sin કેવી રીતે શોધી શકાય તે ખબર પડશે અહી sin એ સામેની બાજુના છેદમાં કર્ણ બરાબર થશે તો આ ખૂણા પ્રમાણે સામેની બાજુ કઈ થાય અહી સામેની બાજુ 7 છે તેથી અહી સામેની બાજુ 7 જેટલી થશે અને છેદમાં કર્ણ એટલે અહી કર્ણનું માપ વર્ગમૂળમાં 65 થશે તેથી તે 7ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 65 થાય ફરી પાછુ આપણે તેને સંમેય સંખ્યા બનાવવા માંગતા હોઈએ તો આપણે અંશમાં અને છેદમાં વર્ગમૂળમાં 65 વડે ગુણી શકીએ તેથી આપણી પાસે અંશમાં 7 ગુણ્યા વર્ગમૂળમાં 65ના છેદમાં 65 બચશે હવે આપણે tan થીટા વિશે વિચારીએ અને આપણે ફરીથી સાસાક કોપાક અને ટેસાપા પર જઈએ ટેસાપા આપણને બતાવશે કે આપણને ટેન્જેન્ત સાથે શું કરવું જોઈએ તે આપણને કહે છે કે tan થીટા = સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ થશે તો આ ખૂણા પ્રમાણે સામેની બાજુ કઈ છે આપણે તે ક્યારનું શોધ્યું છે તે 7 છે અહી આ ખૂણો આ તરફ ખુલે છે તેથી અહી સામેની બાજુ એ 7 = થશે અને અહી પાસેની બાજુ કઈ છે અહી પાસેની બાજુ એ 4 છે તેથી 7/4 તો તે 7/4 થશે અને આ આપણે પૂરું કર્યું આપણે થીટા માટે બધા ત્રિકોણ નીતિય ગુણોત્તરની ગણતરી કરી હવે આપણે એક બીજું ઉદાહરણ લઈએ અને આપણે ફરીથી અહી કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીએ આપણે જે કામ કરવાનું છે તે ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે જ શક્ય છે તેથી અહી આ મારો કાટકોણ ત્રિકોણ છે ધારો કે કર્ણની લંબાઈ 4 છે આપણે કહી શકીએ કે અહીની આ લંબાઈ 2 છે અને આ લંબાઈ એ 2 વર્ગમૂળમાં 3 જેટલી છે આપણે ચકાસીએ કે તે કામ કરે છે કે નહિ તો આપણે અહી આ બાજુનો વર્ગ કરીએ તેથી 2 વર્ગમૂળમાં 3 આખાનો વર્ગ + આ બાજુનો વર્ગ એટલે કે 2નો વર્ગ એટલે કે4 અને વર્ગમૂળમાં 3નો વર્ગ એટલ કે 3 + 2નો વર્ગ એટલે કે 4 તેથી આપણને અહી12 + 4 એટલે કે 16 મળશે અને જે = 4નો વર્ગ છે તે અહી કર્ણના વર્ગ જેટલો જ છે તો પાયથાગોરસના પ્રમેયને તે સંતોષે છે અને જો તમે ભૂમિતિમાં સીખીગયા છો તે પ્રમાણે 30 , 60 અને 90 અંશના ખૂણાનું વિચાર કરો તો આ ત્રિકોણ 30 , 60 90નો થશે આપણે કહી શકીએ કે આ ખૂણો કાટખૂણો છે અહી આ ખૂણો 30 અંશનો છે અને અહી આ ખૂણો 60 અંશનો છે આમ 30 , 60 અને 90 છે કારણ કે 30ના ખૂણાની સામેની બાજુ એ કર્ણ કરતા અડધી હોય છે અને 60 અંશના ખૂણાની સામેની બાજુ કર્ણ સિવાયની બાજુ એ કર્ણના વર્ગમૂળમાં 3 ગુણ્યા 2 જેટલી હોય છે આપને અહી 30 , 60 અને 90 ના ખૂણા પ્રમાણે આગળ વધવાનું નથી આપણે ખરેખર જુદા જુદા ખૂણા માટે ત્રિકોણ નીતિય વિધેયો શોધી શકીએ તેથી જો તમને કોઈ કહે કે 30 અંશના ખૂણા માટે sinનું મુલ્ય શું થાય 30 અંશના ખૂણા માટે sin શોધવા માંગો છો અહી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને ફરીથી આપણે અહી સાસાક , કોપાક અને ટેસાપા યાદ કરીએ તેથી સાસાક એટલે કે sin સાથે આપણે શું કરી શકીએ અહી sin થીટા બરાબર સામેની બાજુના છેદમાં કર્ણ થશે સામેની બાજુ એટલે કે 2 અને તેના છેદમાં કર્ણ એટલે કે 4 થશે તેથી અહી તે સામેની બાજુ 2 અને કર્ણ છેદમાં 4 થશે તે 2/4 થશે આપણે તેને 1/2 તરીકે પણ લખી શકીએ તેથી sin 30 અંશનું મુલ્ય તમને ખબર છે તે 1/2 જેટલું છે હવે આપણે cos વિશે વિચારીએ અહી cos 30નું મુલ્ય શું થશે ફરી પાછુ આપણે સાસાક , કોપાક અને ટેસાપા પર જઈએ અહી કોપાક આપણને દર્શાવે છે કે cos સાથે આપણે શું કરવું જોઈએ cos = પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણ તો અહી 30 અંશના ખૂણા માટે પાસેની બાજુનો વિચાર કરીએ તો અહી તે પાસેની બાજુ થશે તે બરાબર આની બાજુમાં છે તે કર્ણ નથી તે પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણ છે તે 2 વર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમાં કર્ણ એટલે કે 4 થશે જો આપણે તેને સરળ રૂપમાં ફેરવવા માંગતા હોઈએ તો અંશ અને છેદ બંનેને 2 વડે ભાગતા આપણને વર્ગમૂળમાં 3ના છેદમાં 2 મળશે હવે આપણે ટેન્જેન્ત શોધીએ તો અહી tan ૩૦અંશનું મુલ્ય શું થાય ફરી આપણે અહી સાસાક , કોપાક અને ટેસાપા પર જઈએ તો ટેસાપા આપણને બતાવે છે કે આપણે ટેન્જેન્ત કેવી રીતે મેળવવું જોઈએ તે સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ છે આપણે અહી 30 અંશના ખૂણા માટે જઈએ છીએ કારણ કે આપણે tan 30 અંશનો વિચાર કરીએ છીએ માટે તે સામેની બાજુ એટલે કે 2 ના છેદમાં પાસેની બાજુ એટલે કે 2 ગુણ્યા વર્ગમૂળમાં 3 જેટલું છે તેથી તે સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ જેટલું થશે અહી અંશ અને છેદ માંથી 2 ઉડી જશે આપણને 1 ના છેદમાં વર્ગમૂળમાં 3 મળશે અથવા તમેં અંશ અને છેદને વર્ગમૂળમાં 3 સાથે ગુણી શકો તેથી આપણને અહી વર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમાં 3 મળશે આપણે અહી સંમેય સંખ્યા ર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમાં 3 મળી હવે આપણે આજ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ નીતિય ગુણોત્તર 60 અંશ માટે શોધી શકીએ તો ફરીથી 60 અંશ માટે sin નું મુલ્ય શું થશે હું આશા રાખું કે હવે તમને આ ખ્યાલ આવી ગયું sin = સામેની બાજુના છેદમાં કર્ણ થશે તેથી અહો 60 અંશના ખૂણા માટે સામેની બાજુ કઈ થશે તે અહી 2 વર્ગમૂળમાં 3 તરફ ખુલે છે તેથી તેની સામેની બાજુ એ 2 વર્ગમૂળમાં 3 છે તો 60 અંશના ખૂણાની સામેની બાજુના છેદમાં કર્ણ તેથી તે 2 વર્ગમૂળમાં 3ના છેદમાં 4 જેટલો થશે અહી 4 એ કર્ણ છે હવે જો તેને સાદુરૂપ આપવામાં આવે તો તે વર્ગમૂળમાં 3ના છેદમાં 2 = થાય હવે cos 60 અંશ કેટલા થશે ફરી આપણે સાસાક કોપાક અને ટેસાપાને યાદ કરીએ cos = પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણ શી પાસેની બાજુ 2 છે જે 60 અંશના ખૂણાની બરાબર બાજુમાં છે તેથી તે 2/4 થશે એટલે કે 1/2 હવે આપણે tan 60 અંશ કેટલા થશે તે જોઈએ અહી ફરીથી આપણે સાસાક કોપાક અને ટેસાપા પર જઈએ tan = સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુ 60ની સામેની બાજુ 2 વર્ગમૂળમાં 3 જેટલું છે અને તેની પાસેની બાજુ 2 છે એટલે કે 2 વર્ગમૂળમાં 3 ના છેદમાં 2 અહી વર્ગમૂળમાં 3 જેટલી થશે હવે હું એ જોવા માંગું છુ કે આ બધા એક બીજા સાથે કેવી રીતે જોડાયા 60 , 30 અંશ બરાબર cos 60 અંશ cos 30 અંશ = sin 60 અંશ અને આ બંને એકબીજાના વ્યસ્થ છે જો તમે ત્રિકોણ માટે વિચારો તો આવું કેમ તે તમને વધારે સમજ આપશે અને આપણે બીજા કેટલાક વિડીઓમાં આનો મહાવરો પણ કરીશું.