છ ગુણોત્તરનો સમાવેશ કરતા ત્રિકોણમિતિય નિત્યસમની સાબિતીનો પ્રશ્ન

sinA + cosecA આખાનો વર્ગ + cosA + secA આખાનો વર્ગ બરાબર આ થાય છે એવું આપણે સાબિત કરવાનું છે તેના બરાબર 7 + 10 સ્કવેર A + cot સ્કવેર A થાય છે અહીં આ 7 ને જોઈને મને એવું લાગે છે કે આપણને કદાચ sin સ્કવેર A + cos સ્કવેર A મળતું હોવું જોઈએ અથવા આપણને એવા 7 મળતા હોવા જોઈએ જેથી અહીં આ 7 છે એવું બતાવી શકાય અથવા અહીં મારી પાસે sinA cosecA cosA અને secA છે આ બંને એક બીજાના વ્યસ્થ છે ત્યાંર બાદ અહીં આ બાજુ મારી પાસે tan અને cot છે તો અહીં હું કદાચ આ બંનેને tan અને cot ના સંદર્ભમાં લખી શકું પરંતુ સૌ પ્રથમ હું અહીં ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ અને જોઇશ કે શું મળે છે સૌ પ્રથમ આપણે secA અને cosecA ને દૂર કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ તેથી તેને આ પ્રમાણે લખી શકાય sinA + 1 /sinA આખાનો વર્ગ + અહીં પણ તેને તે જ પ્રમાણે લખીશું cosA + 1 /cosA આખાનો વર્ગ હવે અહીં આપણે sinA વડે ગુણાકાર કરીએ તો આ sin સ્કવેર A + 1 થશે અને છેદમાં આપણી પાસે sinA બાકી રહે ત્યાર બાદ આખાનો વર્ગ + તેવી જ રીતે અહીં આ cos સ્કવેર A + 1 થાય અને આખાના છેદમાં cosA ત્યાર બાદ તે આખાનો વર્ગ અહીં આ આપણને ઉપયોગી થાય એવો લાગતો નથી કારણ કે જો આપણી પાસે 1 - sin સ્કવેર હોત તો આપણે કદાચ તેનો ઉપયોગ કરી શકત પરંતુ અહીં આપણી પાસે sin સ્કવેર A +1 છે તે આપણને કઈ રીતે મદદ રૂપ થશે તે હું જાણતી નથી તો હવે આપણી પાસે જે બાકીના નીતિયસમ રહેલા છે તેના વિશે વિચારીએ આપણે જાણીએ છીએ કે 1 + tan સ્કવેર A sec સ્કવેર A થશે અને તેવી જ રીતે cot સ્કવેર A cos સ્કવેર A થાય tan સ્કવેર A અને cot સ્કવેર A આપણને જમણી બાજુ પણ આપવામાં આવ્યા છે તો અહીં આપણે કદાચ અંશ અને છેદને cos સ્કવેર A વડે ભાગી શકીએ માટે આપણે અહીં આને cos સ્કવેર A વડે ભાગીએ આને પણ cos સ્કવેર A વડે ભાગીએ અને અહીં આને પણ cos સ્કવેર A વડે ભાગીશુ અહીં આ આપણને કામ કરતુ હોય એવું લાગતું નથી આપણને એક વિચિત્ર પદાવલિ મળે છે તો ફરી આપણે આપણા મૂળભૂત પ્રશ્ન પર જઈએ અને વિચારીએ કે શું કરી શકાય મેં અહીં cosA ને 1/sinA માં ફેરવ્યું અહીં કદાચ કંઈક બીજું પણ કરી શકાયું હોત કદાચ આપણે અહીં આ આખાને cosA વડે ભાગી શકીએ તો આપણને તે પરિસ્થિતિમાં tanA + cosecA ના છેદમાં cosA મળે અથવા tanA + 1 /sin એ cosA મળે પરંતુ તે પણ આપણને કોઈક રીતે ઉપયોગી થાય એવું લાગતું નથી તેવી જ રીતે અહીં જો આપણે sinA વડે ભગકર કરીએ તો તે પણ આપણને કૈસે ઉપયોગી થશે એવું લાગતું નથી આપણે અહીં બીજી એક બાબત પણ કરી શકીએ તેને આ પ્રમાણેનું સાદુંરૂપ ન આપતા આપણે અહીં આ બંને પદનું વિસ્તરણ કરી શકીએ તો આપણે તેમનું વસ્તરણ કરીએ અને શું થાય છે તે જોઈએ માટે હવે હું આનો વિસ્તરણ કરીને અહીં લખીશ sin સ્કવેર A + 2sinA ગુણ્યાં cosecA + cos સ્કવેર A A + B આખાનો વર્ગ = A નો વર્ગ + 2 AB + B નો વર્ગ થાય હવે ત્યાર બાદ આ બીજા પદનું વિસ્તરણ કરીને હું તેને અહીં નીચે લખીશ cos સ્કવેર A + 2 cosA ગુણ્યાં secA + sec સ્કવેર A હવે મને સમજાયું કે આ 7 ક્યાંથી આવે છે મને એવું લાગતું હતું કે તે કદાચ sin સ્કવેર A + cos સ્કવેર A ની 7 જોડ પરથી આવતું હશે પરંતુ તમે અહીં જોઈ શકો કે આપણી પાસે 4 છે sinA અને cosA એક બીજાના વ્યસ્થ છે તેથી તે કેન્સલ થઇ જશે તેવી જ રીતે cosA અને secA પણ એક બીજાની સાથે કેન્સલ થઇ જશે ધ્યાન રાખો કે આપણે અહીં આ બંનેનો સરવાળો કરી રહ્યાં છીએ sin સ્કવેર A + cos સ્કવેર A = 1 થાય માટે અહીં આ બંનેનો સરવાળો કરીએ તો આપણને 1 વડે + 2 + 2 4 થશે + cos સ્કવેર A + sec સ્કવેર A જો મારે બીજા શબ્દમાં કહેવું હોય તો અહીં cosec સ્કવેર એટલે 1 /sin સ્કવેર A + 1 /cos સ્કવેર A માટે અહીં આજે ભાગ આપણે કર્યો તે ખોટો હતો હવે આપણે અહીં આગળ જઈએ 1 + 4 5 થશે + હવે તમે અહીં કદાચ ક્રોસ ગુણાકાર કરવા માંગો તમે cos સ્કવેર A + sin સ્કવેર A કરવા માંગો પરંતુ તે કરતા પહેલા જમણી બાજુને જુઓ અહીં જમણી બાજુ આપણી પાસે 7 છે જો મારે અહીં 7 જોયતા હોય તો હું આ પ્રમાણે લખી શકું નહિ મારે અહીં કોઈક રીતે બે જોઈશે જેથી 5 + 2 7 લખી શકાય આપણે બીજા નીતિયસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ આપણે જાણીએ છીએ કે cosec સ્કવેર A બરાબર 1 + cot સ્કવેર A અને તેવી જ રીતે sec સ્કવેર A = 1 + tan સ્કવેર A થાય મને ફરીથી sin સ્કવેર અને cos સ્કવેર નથી જોયતા આમ તમે અહીં જોઈ શકો કે તમે કદાચ આ cosA અને secA ને sin A અને cosA માં ફેરવવા માંગો પરંતુ તે હંમેશા મદદરૂપ થશે નહિ તેથી અહીં cosec સ્કવેર A = 1 + cot સ્કવેર A થશે આ પ્રમાણે અને તેવી જ રીતે sec સ્કવેર A = 1 + tan સ્કવેર A થાય આપણે અહીં તે બે નીતિયસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ હવે આ 5 + 1 + 1 જે 7 થશે + cot સ્કવેર A + tan સ્કવેર A આમ અહીં આ આપણે સાબિત કર્યું અને બરાબર જમણી બાજુ થાય પરીક્ષામાં તમારે આ બધા ખોટા સ્ટેપને દર્શાવવાની જરૂર નથી મેં અહીં ખોટા સ્ટેપ લખ્યા જેથી તમને તમારી ભૂલ સમાજ પડી શકે અને તમે અહીં જોઈ શકો કે આ ઉકેલવાની રીત ખરેખર ટૂંકી છે આમ અહીં આ આપણે સાબિત કર્યું 7 + cos સ્કવેર A + tan સ્કવેર A જે આપણી જમણી બાજુ છે.