પાયથાગોરીયન ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમોનો પરિચય

જો તમારે ત્રિકોણમિતીય નીતિયસમનો પરિચય મેળવવો હોય તો તેની શરૂઆત કરવાની સૌથી સારી રીત કાટકોણ ત્રિકોણ દોરવાની છે હવે જયારે પણ તમે આ ત્રિકોણને જુઓ ત્યારે તમારા મનમાં પાયથાગોરસનો પ્રમેય આવવો જોઈએ તે પ્રમેય કંઈક આ પ્રમાણે છે a નો વર્ગ + b નો વર્ગ બરાબર cનો વર્ગ જો તમે આ પ્રમેયને ભૂલી જવા માંગો તો પણ તમે તેને ભૂલી શકતા નથી આપણને અહીં આ ત્રિકોણ એટલો બધો ગમે છે કે આપણે તેની બાજુઓના ગુણોત્તરને નામ પણ આપ્યા છે જે આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા હતા તે કંઈક આ પ્રમાણે છે જો અહીં આ ખૂણો થિટા હોય તો આપણે સામેની બાજુના છેદમાં કર્ણને sin થિટા કહી શકીએ પાસેની બાજુના છેદમાં કર્ણને cos થિટા કહી શકીએ અને સામેની બાજુના છેદમાં પાસેની બાજુને tan થિટા કહી શકીએ હવે હું ઇચ્છુ છું કે તમે વિડિઓ અટકાવો અને જુઓ કે આ સમીકરણ અને આ બધા સમીકરણોની વચ્ચે કોઈ તફાવત છે તે તફાવત કયો છે જો આપણે આ સમીકરણની વાત કરીએ તો તે આપણને જણાવે છે કે આ બાજુનો વર્ગ + આ બાજુનો વર્ગ બરાબર આ બાજુનો વર્ગ થશે જયારે આ સમીકરણો વ્યાખ્યા છે અહીં આપણે ફક્ત b અને c ના ગુણોત્તરને sin થિટા નામ આપ્યું છે તમે તેને કોઈ પણ નામ આપી શકો તો હવે આ શા માટે ઉપયોગી છે આપણે હંમેશા કોઈ પણ સમય કંઈકને પણ કોઈ પણ નામ આપી શકીએ તો અહીં આ ચોક્કસ શા માટે ઉપયોગી છે તમે વિડિઓ અટકાવો અને આ ગુણોત્તર ખરેખર શું દર્શાવે છે તે વિચારવાનો પ્રયત્ન કરો આપણે અહીં એવા વિસ્તાર વિશે વાત કરીશું જ્યાં આ ઉપયોગી છે સૌથી પહેલો પ્રશ્ન એ છે કે અહીં આ એક વિધાન છે આપણે તેને બાજુની લંબાઈના સંધર્ભમાં લખ્યું છે આપણે કહીએ છીએ કે આ બાજુની લંબાઈનો વર્ગ + આ બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બરાબર આ બાજુની લંબાઈનો વર્ગ થવો જોઈએ પરંતુ શું તમે આ વિધાનને ત્રિકોણમિતિના સંધર્ભમાં લખી શકો શું તમે આ સમાન વિધાનને sin થિટા cos થિટા અને tan થિટાના સંધર્ભમાં લખી શકો જો તમે તેને લખી શકો તો તે કઈ રીતે લખી શકાય તમે અહીં a નો વર્ગ b નો વર્ગ અને c નો વર્ગ જોઈ શકો જયારે અહીં તમને બાજુઓની લંબાઈ ગુણોત્તર સ્વરૂપે આપવામાં આવી છે અહીં તમારી પાસે b/c a /c અને b /a છે જો તમારે આ વિધાનને ત્રિકોણમિતિના સંદર્ભમાં લખવું હોય તો તમારે કોઈક રીતે અહીં a /c b /c અને b /a લખવું પડે કારણ કે તે જ રીતે તમે sin થિટા cos થિટા અને tan થિટા લખી શકો તો આપણે તે કઈ રીતે કરી શકીએ અહીં આપણી પાસે a /c નથી તેમ છતાં આપણે a /c લખી શકીએ તે માટે આપણે સમીકરણની બંને બાજુ c ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ તો હવે આપણને શું મળે અહીં મારી પાસે a નો વર્ગ + b નો વર્ગ છે હું તેનો ભાગાકાર c ના વર્ગ વડે કરી રહી છું તેથી આપણે તે બંનેના છેદમાં c નો વર્ગ લખી શકીએ તેના બરાબર c નો વર્ગ છેદમાં c નો વર્ગ અહીં a નો વર્ગ છેદમાં c નો વર્ગ બરાબર a /c આખાનો વર્ગ થાય અને a /c એ cos થિટા છે તેથી આપણે અહીં આને cos સ્કવેર થિટા લખી શકીએ ધ્યાન રાખો કે જો તમે cos થિટા આખાનું વર્ગ લખશો તો અહીં આ થિટાનો વર્ગ થઇ જશે માટે આ થિટા આ ખૂણાનું મૂલ્ય બદલાઈ જશે પરંતુ જો તમે આ રીતે cos સ્કવેર થિટા લખો તો તેનો અર્થ એ થાય કે અહીં આ a /c આખાનો વર્ગ છે ત્યાર બાદ અહીં આ b /c આખાનો વર્ગ થશે અને b /c બરાબર sin થિટા છે તેથી આપણે અહીં sin સ્કવેર થિટા લખી શકીએ જેના બરાબર c નો વર્ગ ભાગ્યા c નો વર્ગ એટલે કે તે 1 થશે તો અહીં આ ખુબ જ જાણીતું ત્રિકોણમિતીય નીતિયસમ છે તે ખુબ જ ઉપયોગી છે ત્રિકોણમિતીય નીતિયસમનો અર્થ શું થાય તેનો અર્થ એ થાય કે તમે અહીં આ જે સમીકરણ જોઈ રહ્યા છો તે થિટાની બધીજ કિંમતો માટે સાચું છે તમે અહીં 30 અંશ મુકો કે 45 અંશ તે મહત્વનું નથી અત્તયારે આ થિટાનું કિંમત 0 અને 90 અંશની વચ્ચે કોઈ પણ હોઈ શકે આમ તમે અહીં થિટાની કોઈ પણ કિંમત મુકશો તો તે કામ કરશે પરંતુ તમે એ પણ નોંધી શકો કે અહીં આ a નો વર્ગ + bનો વર્ગ = cના વર્ગથી જુદું નથી આપણે અહીં ત્રિકોણમિતિની ભાષામાં પાયથાગોરસનો પ્રમેય જ લખ્યો છે હવે તમને કદાચ પ્રશ્ન થઇ શકે કે આપણે અહીં આને ત્રિકોણમિતિના સંધર્ભમાં લખ્યું તો આ tan થિટા ક્યાં ગયો શું tan થિટા માટેપણ કોઈ નીતિયસમ છે તેના માટે હું તમને અહીં બીજો પ્રશ્ન પૂછીશ આપણે આ સમીકરણમાં b /a કઈ રીતે લાવી શકીએ તેના માટે આપણે સમીકરણની બંને બાજુ a ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ તો અહીં આપણી પાસે a નો વર્ગ +bનો વર્ગ છે પરંતુ હવે આપણે c ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરવાને બદલે a ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરીશું આ પ્રમાણે અને તેના બરાબર જમણી બાજુ પણ a ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરીએ તેથી c નો વર્ગ ભાગ્યા a નો વર્ગ ફરીથી તમે આ ગુણોત્તરને જોઈને આ બધાનો અર્થ શું થાય તે વિચારી શકો a નો વર્ગ છેદમાં a નો વર્ગ 1 જ થશે + b નો વર્ગ છેદમાં a નો વર્ગ એટલે કે b ના છેદમાં a આખાનો વર્ગ જેના બરાબર 10 સ્કવેર થિટા થાય અને તેના બરાબર c નો વર્ગ છેદમાં a નો વર્ગ હવે તમે અહીં જોઈ શકો કે આપણી પાસે c ના છેદમાં aનો ગુણોત્તર નથી આપણી પાસે a અને c નો ગુણોત્તર છે જેના બરાબર cos થિટા થાય છે માટે c ના છેદમાં a કે cos થિટાનો વ્યસ્થ થાય તેથી c અને જે આપણને અહીં આપવામાં આવ્યું છે પરંતુ cos થિટાનું વ્યસ્થ શું થાય તે સિકંત થિટા થશે માટે c નો વર્ગ છેદમાં a નો વર્ગ બરાબર sec સ્કવેર થિટા થાય sec સ્કવેર થિટા તો હવે આપણી પાસે એક બીજો નીતિયસમ છે હું તેની ફરતે પણ બોક્સ બનાવીશ અને તે પણ આપણને પાયથાગોરસના પ્રમેયથી કઈ જુદું કહેતો નથી હવે આપણે બીજું શું કરી શકીએ તે જોઈએ આપણે c ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કર્યો a ના વર્ગ વડે પણ ભાગાકાર કર્યો તો હવે b ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરીએ અને જોઈએ કે આપણને શું મળે છે આપણી પાસે a નો વર્ગ + b નો વર્ગ = c નો વર્ગ છે તો આપણે સમીકરણની બંને બાજુ b ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ તમે વિડિઓ અટકાવો અને તે જાતે જ કરવાનો પ્રયત્ન કરો હું તેને અહીં લખીશ a નો વર્ગ + b નો વર્ગ = c નો વર્ગ હવે આપણે સમીકરણની બંને બાજુ b ના વર્ગ વડે ભાગાકાર કરીએ તેથી ભાગ્યા b નો વર્ગ અહીં પણ ભાગ્યા b નો વર્ગ અને અહીં પણ b નો વર્ગ અહીં આ પદ 1 થઇ જશે પરંતુ a નો વર્ગ છેદમાં b નો વર્ગ શું થાય આપણે અહીં a /b ને જોઈ શકતા નથી પરંતુ આપણી પાસે b /a છે જેના બરાબર tan થિટા થાય છે તેનો અર્થ એ થયો કે a/bએ tan થિટાનો વ્યસ્થ થાય અને tan થિટાનો વ્યસ્થ cot થિટા છે તેથી આપણે અહીં આને cot સ્કવેર થિટા તરીકે લખી શકીએ આ પ્રમાણે +1 = ફરીથી આપણી પાસે c /b નથી પરંતુ b /c છે માટે અહીં આ sin સ્કવેર થિટાનું વ્યસ્થ થશે અને sin સ્કવેર થિટાનું વ્યસ્થ cosec સ્કવેર થિટા થાય cosec સ્કવેર થિટા આમ અહીં આ ત્રીજો ઉપયોગી નીતિયસમ છે તમે જોઈ શકો કે આ ત્રોણેય નીતિયસમ એક સમાન બાબત કહે છે પરંતુ હવે તે ત્રિકોણમિતિના સંધર્ભમાં છે અહીં cosec થિટા એ 1 /sin થિટા થશે અને cot થિટા એ 1 /10 થિટા થાય અને તે બંને ત્યારે જ શક્ય છે જયારે તેમનો છેદ 0 ન હોય જો તમારી પાસે અહીં 1/sin થિટા હોય અને થિટા બરાબર 0 હોય જે અહીં હોઈ શકે તો આ સમીકરણ કામ કરશે નહિ આમ અહીં આ ત્રણ નીતિયસમ થિટા બરાબર 0 સિવાયની દરેક કિંમતો માટે કામ કરશે તેવી જ રીતે જો આપણે આ નીતિયસમ જોઈએ તો અહીં tan થિટા એટલે sin થિટા ના છેદમાં cos થિટા અને sec થિટા એટલે 1 /cos થિટા તેથી જો cos થિટા બરાબર 0 થઇ જાય તો આ નીતિયસમ કામ કરશે નહિ હવે cos થિટા બરાબર 0 ક્યારે થાય જયારે થિટા બરાબર 9 અંશ હોય ત્યારે cos થિટા 0 થશે તેથી ફક્ત આ એક જ નીતિયસમ 90 અંશ માટે કામ કરશે નહિ પરંતુ તે થિટાની બાકીની બધી જ કિંમતો માટે કામ કરે હવે આપણે આ નીતિયસમની વાત કરીએ તો તે 0 અને 90 અંશ બંને કિંમત માટે કામ કરશે કારણ કે અહીં આપણી પાસે કોઈ છેદ નથી જેમ જેમ તમે ત્રિકોણમિતિમાં આગળ ભણતા જશો તેમ તેમ તમે જોશો કે આ થિટાનું મૂલ્ય 0 અને 90 અંશની વચ્ચેની કોઈ કિંમત સિવાયનું પણ હોઈ શકે તે કદાચ 270 અંશ પણ હોઈ શકે અને તે સંજોગોમાં મારે આ sin cos અને tan વિશે બીજું કંઈક વિચારવું પડશે હવે તમે આ નીતિયસમોનો ઉપયોગ કરીને એક ગુણોત્તર પરથી બીજા ગુણોત્તર પણ જઈ શકો ઉદા તરીકે જો તમે sin થિટાનું મૂલ્ય જાણતા હોવ પરંતુ તમે cos થિટા શોધવા માંગતા હોવ તો તમે આ નીતિયસમનો ઉપયોગ કરીને તેમાં sin સ્કવેરથિટાની કિંમત મૂકીને cos સ્કવેર થિટા શોધી શકો અને પછી તેના પરથી cos થિટા શોધી શકો આમ તમે ત્રિકોણમિતિના ખુબ જ અઘરા પ્રશ્નનોને આ નીતિયસમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકો ઉદા તરીકે જયારે તમે સૌપ્રથમ વાર a + b આખાનો વર્ગ બરાબર a નો વર્ગ + 2ab + b નો વર્ગ શીખ્યા હતા ત્યારે તમારે આ સમીકરણને યાદ રાખવું પડ્યું હતું પરંતુ ત્યાર બાદ તમે કોઈ પણ બીજ ગણિતીય પદાવલિમાં આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકો જો તમે કંઈક આ રીતનું જુઓ તો તમે તેના બરાબર આ સ્વરૂપ લખી શકો અથવા જો તમે કંઈક આ પ્રકારનું જુઓ તો તેમે તેના અવયવ આ રીતે પાડી શકો તો અહીં આ બીજ ગણિતીય નીતિયસમ છે ખુબ જ જટિલ વિધાનોને સાબિત કરવા આ નીતિયસમોનો ઉપયોગ કરી શકાય જયારે આ પ્રકારના નીતિયસમમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ થાય છે તેથી આપણે તેને ત્રિકોણમિતીય નીતિયસમ કઈ શકીએ.