લોપની રીતે સમીકરણ યુગ્મ (અને ઉકેલ)

આપણે લોપની રીતનો એલિમિનેશનનો ઉપયોગ કરીને બીજા કેટલાક સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ મેળવીએ પરંતુ અહીં આપણી પાસે એકજ પ્રકારની લોપની રીત નથી એવા પણ સમીકરણ હોય છે જેને લોકની રીત પ્રમાણે ગોઠવવા પડે ધારોકે આપણી પાસે એક સમીકરણ 5x - 10y = 15 છે અને બીજું સમીકરણ 3x - 2y = 3 છે આપણે લોપની રીત દ્વારા તેને ઉકેલવા માંગીએ છીએ આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ આપણે આ બંને રેખાઓને ગ્રાફ દ્વારા પણ દર્શાવી શકીએ અને તેઓ ક્યાં છેદે છે તે શોધી શકીએ પરંતુ આપણે લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા જઈ રહ્યા છીએ તમે કહેશો કે લોપની રીત વડે એક સમીકરણની ડાબી બાજુને બીજા સમીકરણની સાથે બાદ કરી રહ્યા હતા અથવા ઉમેરી રહ્યા હતા અને પછી જમણી બાજુ બંને ને ઉમેરી રહ્યા હતા મારે તે કરવું જોઈએ કારણ કે સમીકરણની બંને બાજુએ એક સરખી બાબત ઉમેરી હતી પરંતુ દેખીતી રીતે અહીં એવી કોઈ મદદ મળતી નથી જો આપણે ડાબી બાજુ નો સરવાળો કરીએ તો 8x - 12y મળે તેમાંથી કોઈપણ ચલ દૂર કરી શકાશે નહિ અને જમણી બાજુએ તમારી પાસે ફક્ત સંખ્યા રહેશે અને જો તમે તેની બાદબાકી કરો તો પણ કોઈ ચલનો લોપ થતો નથી તો અહીં લોપની રીત કઈ રીતે ઉપયોગી થશે એનો જવાબ એ છે કે આપણે આ બંને સમીકરણનો કોઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ જેથી આ બંને પદ માંથી કોઈપણ એક પદ ને દૂર કરી શકાય અને તમારે તમારી જાતેજ એ પદ લેવું જોઈએ જેને તમે દૂર કરવા ઈચ્છો છો તો આપણે કહીએ કે મારે Y પદ ને દૂર કરવું છે અને આ પહેલા સમીકરણને હું ફરીથી લખીશ 5x - 10y = 15 તો એવી કઈ સંખ્યા છે જેના વડે હું આ લીલા સમીકરણને ગુણી શકું જેથી આ ઋણ 2y નું પદ એ ઋણ 10y ના પદ વડે દૂર થાય હુઆ ઋણ 2y ને ધન 10y માં ફેરવવા ઈચ્છું છું કારણકે જો આ ધન 10y હોય તો જયારે હું સમીકરણની ડાબી બાજુને ઉમેરીશ તો તે દૂર થઇ જશે તો હું આ સમીકરણને શેના વડે ગુણી શકું જો હું આ સમીકરણને ઋણ 5 વડે ગુણું તો ઋણ 5 ગુણ્યાં ઋણ 2 બરાબર ધન 10 થશે અને આપણે તે કરી શકીએ આપણે આ બીજા સમીકરણને ઋણ 5 વડે ગુણીએ તમે તેની ડાબી બાજુને ઋણ 5 થી ગુણો છો અને તેની જમણી બાજુને ઋણ 5 થી ગુણો છો તો હવે તમને શું મળશે આપણે સમીકરણની માહિતીને નથી બદલી રહ્યા આપણે તેની બંને બાજુએ એક સમાન બાબત કરી રહ્યા છીએ તો સમીકરણનની ડાબી બાજુએ ઋણ 5 ગુણ્યાં 3x બરાબર ઋણ 15x અને ઋણ 5 ગુણ્યાં ઋણ 2y બરાબર ધન 10y મળશે અને જમણી બાજુએ ઋણ 5 ગુણ્યાં 3 બરાબર ઋણ 15 મળશે હવે આપણે લોપની રીત માટે તૈયાર છીએ જો પીળા સમીકરણની ડાબી બાજુ આપણે આ ઉમેરીએ અને પીળા સમીકરણની જમણી બાજુએ ઋણ 15 ઉમેરીએ તો આપણે સમીકરણની બંને બાજુ એકજ બાબત ઉમેરી રહ્યા છીએ કારણ કે આ બરાબર આ થશે તો હવે આપણે તે કરીએ સમીકરણની ડાબી બાજુએ 5x - 15x અહીં આપણી પાસે ઋણની નિશાની છે તો તે ઋણ 10x થશે ઋણ 10y + 10y , 0 થાય અને તે = 15 - 15 = 0 થશે એટલે કે ઋણ 10x બરાબર 0 બંને બાજુએ ઋણ 10 વડે ભાગતા x = 0 મળે હવે ફરી y બરાબર શું મળે તે શોધવા આ કિંમતને કોઈપણ સમીકરણમાં મૂકી શકીએ તો આપણે તેને ઉપર ના સમીકરણમાં મૂકીએ 5 ગુણ્યાં 0 ઓછા 10y બરાબર 15 અથવા ઋણ 10y બરાબર 15 બંને બાજુએ ઋણ 10 વડે ભાગતા y = ઋણ 15 ના છેદમાં 10 એટલે કે y = ઋણ 3 ના છેદમાં 2 જો તમે તેનો ગ્રાફ બનાવો તો તમને આનું છેદ બિંદુ 0 અને ઋણ 3 દ્વિતિઆઉશ જેટલું મળે હવે આપણે તેની ચકાસણી આ સમીકરણ દ્વારા પણ કરી શકીએ અહીં જે મૂળ સમીકરણ હતું તે 3x - 2y = 3 3 ગુણ્યાં 0 ઓછા 2 ગુણ્યાં ઋણ 3 દ્વિતિઆઉશ બરાબર 3 3 ગુણ્યાં 0 બરાબર 0 થાય અને અહીં આ બે અને આ બે ઉડી જશે અને ઓછા ઋણ 3 ઋણ ગુણ્યાં ઋણ એટલે કે તે ધન થશે એટલે કે + 3 = 3 તો ખરેખર આ બંને સમીકરણનું સમાધાન કરે છે આમાંના બીજા એક ને પણ એજ રીતે કરીએ જેમાં ગુણાકાર કરવાનો છે જેથી કોઈએક ચલનો લોપ કરી શકાય તો હવે આપણે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ ધારોકે આની પાસે 5x + 7y = 15 છે અને ધારોકે આપણી પાસે બીજું સમીકરણ 7x - 3y = 5 છે હવે ફરીથી સમીકરણની ડાબી બાજુએ સરવાળો કરો કે બાદબાકી કરો તમે કોઈપણ ચલનો લોપ કરી શકસો નહિ અહીં એકપણ ચલનો સહગુણક સમાન કે વિરોધી નથી હવે ફરીથી સમીકરણની ડાબી બાજુએ સરવાળો કરો કે બાદબાકી તમે કોઈપણ ચલનો લોપ કરી શકસો નહિ અહીં કોઈપણ ચલનો સહગુણક સમાન કે વિરોધી નથી તો આપણે તેને એક ચલનો લોપ કરવા માટે તેને પસંદ કરીએ આ વખતે આપણે x નો લોપ કરવો છે તમે કોઈપણ ચલ પસંદ કરી શકો પરંતુ હું અહીં x નો લોપ કરવા ઈચ્છું છું આ બંને સમીકરણના સહગુણકો એકબીજાના વિરોધી છે તો ડાબી બાજુમાં હું સરવાળો કરું તો તેઓ એકબીજાને દૂર કરશે હું આને ઋણ 5 બનાવવા માટે અપૂર્ણાંક વડે ગુણી શકું અથવા આને ઋણ 7 બરાબર બનાવવા માટે તેને પણ અપૂર્ણાંક વડે ગુણી શકું પરંતુ હું અહીં તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવો લ . સા . અ લઇ શકું અને આ બંને નો લ . સા . અ 35 છે હું તે બંને ને એક બીજા સાથે ગુણીને મેળવી શકું હું આ ઉપરના સમીકરણને 7 વડે ગુણી શકું આ ઉપરના સમીકરણને 7 વડે ગુણી શકાય , આ પ્રમાણે અને 7 પસંદ કરૃં છું જેથી આ 35 થશે અને પછી આ નીચેના સમીકરણને ઋણ 5 વડે ગુણી શકું આ સમીકરણને ઋણ 5 વડે ગુણી શકાય ઋણ 5 અને આ કરવાનું કારણ એ છે કે જયારે હું કરીશ તો આ ઋણ 35 થશે યાદ રાખો કે મારો ધ્યેય x નો લોપ કરવાનો છે જો હું આને 35 અને આને ઋણ 35 બનાવું તો બંને સમીકરણનો સરવાળો કરતા આ બંને રદ થઇ જશે હવે હું સમીકરણની ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુઓને ઉમેરું છું જો હું આ ઉપરના સમીકરણને 7 વડે ગુણું તો તે 35x + 49y = 105 થશે અને નીચેના સમીકરણને ઋણ 5 વડે ગુણતા 7 ગુણ્યાં ઋણ 5 એટલે ઋણ 35x ઋણ 5 ગુણ્યાં ઋણ 3y એટલે કે +15y = 5 ગુણ્યાં ઋણ 5 એટલે કે ઋણ 25 થશે હવે આપણે ઉપરના સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ અને સમીકરની બંને બાજુ ઋણ 25 ઉમેરીએ અને તે આ બરાબર જ થશે તો આપણે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુનો સરવાળો કરીએ કારણકે આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ એકજ બાબત ઉમેરી રહ્યા છે તો ડાબી બાજુએ x દૂર થશે 35x - 35x તે દૂર થઇ જશે અને 49y + 15y = 64y મળે અને તેના બરાબર 105 - 25 = 80 થાય હવે સમીકરણની બંને બાજુએ 64 વડે ભાગતા y = 80 ના છેદમાં 64 મળે જો તમે અંશ અને છેદને 8 વડે ભાગો તો તમને 10 ના છેદમાં 8 મળે અને ફરીથી તમે અંશ અને છેદને 2 વડે ભાગો તો તે 5 ના છેદમાં 4 થશે અથવા જો તમે અંશ અને છેદને સીધા 16 વડે ભાગો તો પણ તમને અહીં 5 ચતુરથાઉનષ જ મળશે એટલે કે y બરાબર 5 ચતુરથાઉનષ હવે x બરાબર શું થાય તે શોધીએ આપણે આ બંને સમીકરણમાંથી એકમાં અથવા મૂળ સમીકરણમાં તેમની કિંમત મૂકીએ તો આપણે આ બીજા મૂળ સમીકરણમાં મૂકીએ આપણી પાસે 7x - 3y = 5 છે અથવા 7x - 3 ગુણ્યાં 5 ચતુરથાઉનષ = 5y એટલે કે 7x - 15 ચતુરથાઉનષ = 5 હવે બંને બાજુ 15 ચતુરથાઉનષ ઉમેરતા આપણને શું મળે બંને બાજુ 15 ચતુરથાઉનષ ઉમેરતા આપણને શું મળે તો ડાબી બાજુ ફક્ત 7x મળશે આ બંને દૂર થઇ જશે અને જમણી બાજુ 5 એટલે કે 20 ચતુરથાઉનષ + 15 ચતુરથાઉનષ એટલે કે 7x = 15 + 20 એટલે કે 35 ચતુરથાઉનષ જો આપણે બંને બાજુને 1 સપ્તમાઉષ વડે ગુણીએ અથવા 7 વડે ભાગીએ તો તે બંને સરખુંજ થશે તો આપણે બંને બાજુને 1 સપ્તમાઉષ વડે ગુણીએ બંને બાજુને 1 સપ્તમાઉષ વડે ગુણી શકીએ અહીં આ 5 થશે તેથી x બરાબર આ ઉડી જશે 5 ના છેદમાં 4 એટલે કે આ બંનેનું છેંદબિંદુ x અને y 5 ચતુરથાઉનષ મળે જો તમે તેનો ગ્રાફ વિચારો તો તે 5 ચતુરથાઉનષ , 5 ચતુરથાઉનષ થશે હવે આપણે એ ચકાસીએ કે તે ઉપરના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કે નહિ એટલે કે 5 ગુણ્યાં 5 ચતુરથાઉનષ + 7 ગુણ્યાં 5 ચતુરથાઉનષ = 5 પચામ 25 25 ના છેદમાં 4 + 35 ના છેદમાં 4 આ બરાબર 15 થવું જોઈએ 25 + 35 = 60 ના છેદમાં 4 અને આ બરાબર 15 થશે તો તે ચોક્કસ ઉપર ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તમે આ બીજા સમીકરણને તમારી જાતેજ ચકાસી શકો કારણ કે નીચેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરી x = 5 ચતુરથાઉનષ આપણે શોધ્યું