સંભાવના માટે સરવાળાનો નિયમ

ધારો કે મારી પાસે એક થેલી છે અને હું તે થેલીમાં લીલા રંગના સમઘન લીલા રંગના સમઘન જે કંઈક આ પ્રમાણેના દેખાય છે હું તેને થેલીમાં મુકું છું જો આપણે ચોક્કસ સંખ્યાની વાત કરીએ તો હું આવા 8 લીલા સમઘન થેલીમાં મુકું છું હું તે થેલીમાં કેટલાક ગોળા પણ મૂકી રહી છું ગોળા કંઈક આ પ્રમાણે આવશે હું તે થેલીમાં 9 જેટલા ગોળા મૂકી રહી છું આ ગોળા લીલા રંગના છે હવે હું તે થેલીમાં કેટલાક પીળા રંગના સમઘન પણ મુકવા જઈ રહી છું હું અહીં પીળા રંગના સમઘન દોરીશ જે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાય છે અને હું આવા 5 સમઘન મુકું છું તેની સાથે સાથે હું તે થેલીમાં 7 પીળા રંગના ગોળા મૂકી રહી છું 7 પીળા રંગના ગોળા હું આ બધા જ પદાર્થો તે થેલીમાં મુકું છું તે થેલીને હલાવું છું અને પછી તેમાંથી કોઈ પણ એકને બહાર કાઢું છું હવે હું આ વિડિઓમાં એ વિચારવા મંગુ છું કે મને જુદા જુદા પ્રકારના પદાર્થો મળશે તેની સંભાવના શું છે સૌ પ્રથમ આપણે એ વિચારીએ કે આપણને કોઈ પણ રંગનો સમઘન મળે તેની સંભાવના શું થાય આપણને અહીં કોઈ પણ રંગનો સમઘન મળે તેની સંભાવના શું થાય સૌ પ્રથમ આપણે આ પ્રશ્ન વિશે વિચારીએ આને વિચારવા માટેની જુદી જુદી રીત છે સૌ પ્રથમ આપણે એ વિચારવું પડે કે થેલી માંથી બહાર આવી શકે તેવી સમસંભવિત શક્યતાઓ કુલ કેટલી છે 8 + 9 17 17 + 5 22 થાય 22 + 7 29 થાય આમ આપણી પાસે થેલીમાં કુલ 29 પદાર્થો છે તો હવે આપણે બધા જ શક્ય પદાર્થો દોરીશું તેના માટે હું અહીં એક મોટું લંબચોરસ દોરીશ જે કંઈક આ પ્રકારનું દેખાય છે તેમાં આપણે બધા જ શક્ય પદાર્થો દોરવા જઈ રહ્યા છીએ ત્યાં કુલ શક્ય પદાર્થો 29 છે આમ થેલી માંથી શું બહાર નીકળી રહ્યું છે તે જોવા નો આપણે જે પ્રયત્ન કરી રહ્યા છીએ તેના પરિણામ માટે આપણી પાસે કુલ સમસંભવિત શક્યતાઓની સંખ્યા 29 છે આપણે એવું ધરી લઈએ છીએ કે સમઘન અને ગોળો પ્રથમ બહાર આવવાની શક્યતા સમાન છે હવે આ કુલ શક્યતાઓ માંથી કેટલી શક્યતા આ સમઘન હોવાની ઘટનાને સંતોષે છે મારી પાસે અહીં 8 લીલા સમઘન છે અને 5 પીળા સમઘન છે કુલ સરવાળો 13 થાય તો હવે આપણે સમઘનનો ગણ દોરીશું જે કંઈક આ પ્રમાણે આવશે હું અહીં એક વર્તુળ દોરવા જઈ રહી છું આ પ્રમાણે આપણી પાસે કુલ 13 સમઘન છે અહીં આ સમઘનનો ગણ છે મેં તને ચોક્કસ દોર્યો નથી હું અહીં ફક્ત તેને અંદાજે દોરી રહી છું પરંતુ અહીં આ જે વિસ્તાર છે તે સમઘનનો ગણ દર્શાવે છે હવે સમઘન મળવાની સંભાવના બરાબર એક એવી સંખ્યા જે આપણી ઘટનાને સંતોષી રહી છે તે શક્યતાઓની સંખ્યા 13 છે ભાગ્યા કુલ સમસંભવિત શક્યતાઓની સંખ્યા જે 29 છે જેમાં સમઘન અને ગોળા બંનેનો સમાવેશ થાય છે હવે હું તમને એક બીજો પ્રશ્ન પૂછીશ અહીં પીળો પદાર્થ મેળવવાની સંભવ શું છે તે સમઘન અથવા ગોળો કંઈક પણ હોઈ શકે ફરીથી અહીં કેટલી શક્યતાઓ આપણી આ ઘટનાને સંતોષે છે તે 5 + 7 થશે અહીં આપણી બેગમાં કુલ પીળા પદાર્થોની સંખ્યા 12 છે આમ અહીં કુલ સમસંભવિત શક્યતાઓ 29 છે અને તેમાંથી 12 શક્યતાઓ આપણી ઘટનાને સંતોંસી અહીં રહી છે હવે હું અહીં 12 પીળા પદાર્થોનો ગણ દોરીશ જે કંઈક આ પ્રમાણે દેખાશે હું તેને દોરવાનો શ્રેષ્ઠ પ્રયત્ન કરી રહી છું તે કંઈક આ પ્રમાણે છે આ 12 પીળા પદાર્થોનો ગણ છે પીળા પદાર્થોનો ગણ આમ 12 શક્યતાઓ ઘટનાને સંતોષે છે સમઘન મળવાની સંભાવના 13 /29 થાય અને પીળો પદાર્થ મેળવવાની સંભાવના 12 ના છેદમાં 29 થાય હવે હું તમને એક બીજું પ્રશ્ન પૂછું પીળો સમઘન મેળવવાની સંભાવના શું થાય હું તેને આ પ્રમાણે લખીશ હું અહીં સમઘન દોરી રહી છું અને આ સમઘન પીળા રંગનો છે અહીં આ સમઘન પીળા રંગનો છે તો પીળા રંગનો સમઘન મેળવવાની સંભાવના શું થાય ફરીથી અહીં સમસંભવિત શક્યતાઓની સંખ્યા 29 છે અને તેમાંથી 5 સમઘન પીળા રંગના છે માટે આ સંભાવના 5 ના છેદમાં 29 થાય હવે મેં આ જે વેન આકૃતિ દોરી છે તેમાં આપણે આને ક્યાં જોઈ શકીએ વેન આકૃતિ આ જુદી જુદી સંભાવનાને દર્શાવવાની એક રીત છે કઈ જગ્યાએ આ ગણ ઓવરલેપ થાય છે કઈ જગ્યાએ તે ઓવરલેપ થતો નથી જો તમે તે વિચારવાનું શરુ કરો તો તમને આના વિશે સમજાઈ જશે આપણે અહીં એવા પદાર્થો વિશે વિચારી રહ્યા છે જે આ પીળા ગણના સભ્ય છે આપણે એવા પદાર્થ વિશે વિચારી રહ્યા છીએ જે સમઘનના પણ સભ્ય છે માટે અહીં આ વિસ્તાર જે સમઘન અને પીળું બંને દર્શાવે છે કારણ કે આ વિસ્તાર બંને વર્તુળમાં જોવા મળે છે તો હવે હું તેને આ પ્રમાણે લખીશ આપણે તેને આ પ્રમાણે દર્શાવીએ 5 પદાર્થો એવા છે જે પીળા પણ છે અને સમઘન પણ છે તેઓ પીળા પણ છે અને સમઘન પણ છે હવે હું તમને એક બીજો પ્રશ્ન પૂછીશ જે વધુ રસપ્રત છે પીળો પદાર્થ અથવા સમઘન મળવાની સંભાવના શું થાય અહીં આ સમઘન કોઈ પણ રંગનો હોઈ શકે આમ પીળો રંગ અથવ કોઈ પણ રંગનો સમઘન મળવાની સંભાવના શું થાય આપણે જાણીએ છીએ કે હજુ પણ ત્યાં સંસંભવિત શક્યતાઓ 29 છે પરંતુ આમાંથી આપણે આ ઘટનાને સંતોષતી હોય એવી શક્યતાઓ કેટલી છે અહીં તેના વિશે વિચારવાની એક રીત આ પ્રમાણે છે ત્યાં કુલ 12 શક્યતાઓ એવી છે જે આ પીળો પદાર્થ છે એ ઘટનાને સંતોષે છે તે અહીં આ આખું વર્તુળ થશે માટે અહીં 12 લખીશું અહીં 12 એ પીળા રંગના પદાર્થની સંખ્યા છે 12 એ પીળા રંગના પદાર્થની સંખ્યા છે હવે આપણે આ સંખ્યામાં સમઘનની સંખ્યાને ઉમેરી શકીએ નહિ કારણ કે આપણે આ 5 નો સમાવેશ આ 12 સંખ્યામાં કરી લીધો છે જો તેના વિશે બીજી રીતે વિચારવું હોય તો 7 પદાર્થો એવા છે જે સમઘન નથી પરંતુ છે 5 પીળા પદાર્થો એવા છે જે સમઘન છે અને અહીં 8 પદાર્થો એવા છે જે સમઘન છે પરંતુ પીળા રંગના નથી તેથી જયારે મેં અહીં 12 લખ્યું ત્યારે મેં આ આખા વર્તુળની ગણતરી કરી હવે હું તેમાં સમઘનની સંખ્યાને ઉમેરી શકું નહિ કારણ કે હું જો તે ઉમેરું તો હું અહીં આ વચ્ચેના ભાગને બીજી વાર ઉમેરીશ તો આપણે અહીં આમ સમઘનની સંખ્યાને ઉમેરીએ જે 13 છે અહીં આ સમઘનની સંખ્યા છે પરંતુ આપણે આ સરવાળા માંથી આ વચ્ચેના ભાગને બાદ કરવો પડશે આપણે અહીંથી આ વચ્ચેના ભાગને બાદ કરવો પડશે ઓછા 5 અહીં આ જે 5 છે અહીં આ જે 5 છે તે પીળા સમઘનની સંખ્યા દર્શાવે છે 5 એ પીળા રંગના સમઘનની સંખ્યા દર્શાવે છે 12+ 13 - 5 20 થશે માટે અહીં આ સંભાવના 20 /29 થાય આનો જવાબ મેળવવા કરતા વધુ રસપ્રત બાબત એ છે કે આપણે અહીં આને બીજી સંભાવનાઓના સંધર્ભમાં દર્શાવી શકીએ જે આપણે અગાઉના વિડિઓમાં જોઈ ગયા હતા આપણે તેના વિશે ફરીથી વિચારીએ અહીં આ જે અપૂર્ણાંક છે આપણે તેને ફરીથી લખીએ 12 /29 + 13 /29 - 5 /29 અહીં આ પીળા રંગની શક્યતા ભાગ્યા કુલ શક્યતા છે તેથી અહીં આ પીળા રંગનો પદાર્થ મેળળવાની સંભાવના છે ત્યાર બાદ અહીં આ સમઘનની સંખ્યા ભાગ્યા કુલ શક્યતાઓની સંખ્યા છે + સમઘન મેળવવાની સંભાવના ત્યાર બાદ અહીં આ પીળો સમઘન મેળવવાની સંભાવના થશે ઓછા પીળા રંગનો સમઘન મેળવવાની સંભાવના જેને આપણે આ પ્રમાણે લખીશું આ રીતે જો તમારે સામાન્ય રીતે લખવું હોય તો તમે તેને આ પ્રમાણે લખી શકો જો આપણી પાસે 1 અથવા બીજી સરતની સંભાવના હોય હું તેને વ્યાપક બનાવીને લખીશ એક સરત અથવા બીજી સરતની સંભાવના ગણ A નો સભ્ય અથવા ગણ B ના સભ્ય હોવાની સંભાવના બરાબર ગણ A નો સભ્ય હોવાની સંભાવના + ગણ B નો સભ્ય હોવાની સંભાવના ઓછા બંને ગણનો સભ્ય હોય તેની સંભાવના જેને આપણે આ પ્રમાણે લખીશું A અને B અહીં આ પરિણામ ખુબ જ ઉપયોગી છે તેને ઘણી વાર સંભાવના માટે સરવાળાનો નિયમ કરે છે તમે ફક્ત આ બંને સંભાવનાઓ ને ઉમેરી શકો નહિ કારણ કે તે કદાચ ઓવરલેપ પણ થઇ શકે કારણ કે એતે આ બંને મળવાની સંભાવના છે જો તમે આ બંનેને ઉમેરો તો અહીં આ જે ઓવરલેપ થઇ રહ્યું છે તેને તમે બે વાર ઉમેરી રહ્યા છો તે આપણે અગાઉના વિડિઓમાં પણ જોઈ ગયા હતા પરિણામે તમારે તે એક ઓવરલેપને બાદ કરવું પડે જેથી તમે તેની ગણતરી બે વાર ન કરો હું તને અહીં એક બીજી બાબત પણ સમજાવવા મંગુ છું કદાચ તમારી પાસે એવી સંભાવનાઓ હશે જે ઓવરલેપ ન થતી હોય ધારો કે મારી પાસે બધી જ શક્યતાઓનો ગણ છે જેને હું અહીં દોરી રહી છું આ પ્રમાણે અહીં આ સરત A નો ગણ છે સરત A અને અહીં આ સરત B નો ગણ છે તમે જોઈ શકો કે આ બંને ઓવરલેપ થતા નથી એવો કોઈ પણ સભ્ય નથી જે ગણ A માં પણ હોય અને ગણ B માં પણ હોય તો અહીં આ પરિસ્થિતિમાં A અને B ની સંભાવના 0 થાય કારણ કે આપણને ત્યાં કોઈ ઓવરલેપ જોવા મળતો નથી અને આ પ્રકારની ઘટનાઓને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ કહે છે આપણે તેને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ કહીશુ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ એટલે એવી ઘટનાઓ જે એક સમાન સમયે થઇ શકે નહિ એવી ઘટનાઓ જે આ બંને સરતને સંતોષતી નથી હવે જો તમારી પાસે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય તો A અથવા B ની સંભાવના A ની સંભાવના + B ની સંભાવના થાય કારણ કે અહીં આ 0 થશે પરંતુ જો ઘટના પરસ્પર નિવારક ન હોય તો તમારે અહીં આને બાદ કરવું પડે તમારે હંમેશા A અને B ની સંભાવનાને બાદ કરવાની છે એવું જ યાદ રાખવું જો પરસ્પર નિવારક ઘટના હશે તો A અને B ની સંભાવના 0 થઇ જશે