સ્વતંત્ર સંભાવનાનો પરિચય

ધારો કે તમે એક કેસિનોમાં જાઓ છો અને ત્યાં એક ખુબ જ રમત રમવા માંગો છો તેના માટે તમે એક ટેબલ પર જાઓ છો અને ટેબલ પર એક ખાલી થેલી છે જે વ્યક્તિ આ રમત રમાડી રહ્યો છે તે કહે છે કે મારી પાસે આ ખાલી કોથળીમાં લાખોદીઓ છે મારી પાસે ત્રણ લીલી લખોટીઓ છે તમે જોઈ શકો તે પ્રમાણે તે વ્યક્તિ આ ત્રણ લીલી લખોટીને તે કોટલી ઉપર ચોંટાડી દેય છે તેની પાસે બે નારંગી લખોટી છે તેને પણ તે કોથળી પર ચોંટાડી દેય છે તે તમને રમતના નિયમો પર આ પ્રમાણે સમજાવે છે તમે તમારો હાથ કોથળીની અંદર નાખો આ કોથળી પારદર્શક નથી તમે લખોટીઓને હાથ અડકાવી શકો અને બધી જ લખોટી તમને એક સમાન લાગશે તમે કોથળીની અંદર જોઈ શકતા નથી તે કહે છે કે જો તમને બે લીલી લખોટીઓ મળી જાય એટલે કે તમે તમારો હાથ કોથળીની અંદર નાખો છો તમને એક લખોટી મળે છે જે લીલી છે તમે તેને ટેબલ પર મૂકી દો છો તમે ફરીથી તમારો હાથ કોથળીની અંદર નાખો છો તમને બીજી લખોટી મળે છે અને જો તે લખોટી પણ લીલી હોય તો તમને ઇનામ મળશે તમને ઇનામ મળશે અને આ ઇનામ 1 ડોલરનું છે જો તમને બે લીલી લખોટીઓ મળી જાય તો તમને 1 ડોલરનું ઇનામ મળશે તેમને આ રમત કહું બ રસપ્રત લાગે છે તેથી તમે તે વ્યક્તિને પૂછો છો કે મારે આ રમત રમત રમવા કેટલા ડોલર આપવા પડશે તે વ્યક્તિ કહે છે કે તમારે રમવા માટે 0 .35 ડોલર એટલે કે 35 સેન્ટ આપવા પડશે તો હવે હું તમને એ પ્રશ્ન પૂછવા માંગુ છું કે શું તમારે આ રમત રમવી જોઈએ તેને ફક્ત રમત તરીકે જ નહિ પરંતુ યોગ્ય રીતે વિચારીને કહો કે શું આ રમત રમવું ફાયદાકારક છે આપણે અહીં થોડું સંભાવના વિશે વિચારીશું હવે તમને પહેલી લખોટી લીલી મળે તેની સંભાવના શું થાય તમે કોઈ એક લખોટી પસંદ કરો અને તમને પ્રથમ લખોટી લીલી મળે તેની સંભવના શું થશે જો આપણે અહીં કુલ શક્ય પરિણામો વિશે વિચારીએ તો તે 5 છે અહીં 5 સંસંભવિત પરિણામો છે અને એમાંથી ત્રણ એવા પરિણામ છે જે આપણી ઘટનાને સંતોષે છે આમ પ્રથમ લખોટી લીલી હશે તેની સંભાવના 3 /5 છે તેનો અર્થ એ થાય કે પ્રથમ લખોટી મળ્યા પછી તમારી રમતમાં રહેવાની સંભાવના 3 /5 છે પરંતુ અહીં આપણા માટે મહત્વનો પ્રશ્ન એ છે કે આ રમત જીતવાની સંભાવના કેટલી છે તમને પ્રથમ લખોટી લીલી જોઈએ અને બીજી લખોટી પણ લીલી જોઈએ આપણે તેના વિશે થોડું વિચારીએ હું તેને અહીં લખીશ પ્રથમ લખોટી લીલી હોય અને બીજી લખોટી પણ લીલી હોય તેની સંભાવના શું છે તમે અહીં કદાચ વિચારશો તમે કદાચ અહીં વિચારશો કે આ બીજી લખોટી પણ લીલી મળે તેની સંભવના સમાન થાય તે પણ 3 /5 જ થાય પછી આપણે 3 /5 ગુણ્યાં 3 /5 કરી શકીએ જેથી આપણને આનો જવાબ 9 /25 મળે તે એકદમ સરળ લાગે છે પરંતુ આપણે એ યાદ કરીએ કે આપણે પ્રથમ લીલી લખોટી સાથે શું કરી રહ્યા છીએ તમે પ્રથમ લીલી લખોટીને આ કોથળીમાંથી બહાર કાઢો છો તેને જુઓ છો અને ફરી તેને પછી કોથળીમાં જ મૂકી દો છો એવું થતું નથી માટે જયારે તમે આ બીજી વખત કોથળી માંથી લખોટીને ઉચકવાનો પ્રયત્ન કરશો ત્યારે અંદર રહેલી લીલી લખોટીની સંખ્યા તમને પથમ વખત ઉંચકતા જ શું મળે છે તેના પર આધાર રાખે છે યાદ રાખો કે પ્રથમ વખત ઉંચકતા તમને જે કઈ પણ લખોટી મળે આપણે તેને ટેબલ પર મૂકી દઈએ છીએ આપણે ફાટી પછી તેને કોથળીમાં નથી મુક્ત અહીં આ બંને ઘટનાઓ એક બીજાથી સ્વતંત્ર નથી જો આપણે ચોક્કસ શબ્દમાં વાત કરીએ તો અહીં આ બીજી ઘટના એ પ્રથમ ઘટના પર આશ્રિત છે તે પ્રથમ ઘટના પર ડિપેન્ડેન્ટ છે આપણે અહીં લખી શકીએ કે આ બીજી ઘટના પ્રથમ લખોટી પર આશ્રીત છે તે પ્રથમ લખોટી પર આધાર રાખે છે તમે જે પ્રથમ લખોટીને પસંદ કરો છો જો તે લીલી હોય તો હવે તમારી પાસે 5 માંથી 3 લીલી લખોટી બાકી રહેશે નહિ પરંતુ જો પ્રથમ લખોટી લીલી હોય તો હવે તમારી પાસે ફક્ત 4 લખોટી જ બાકી રહે જેમાંથી બે લખોટી લીલી હશે તેથી આપણે આ સંભવનાને આ પ્રમાણે લખી શકીએ પ્રથમ લીલી લખોટી મળવાની સંભાવના ગુણ્યાં બીજી લીલી લખોટી મળવાની સંભાવના બીજી લીલી લખોટી મળવાની સંભાવના પરંતુ તેની સાથે આપેલું છે કે અહીં આ ઉભી શિરોલંબ લીટી આપેલું છે એવું દર્શાવે છે તેની સાથે આપણને આપેલું છે કે પ્રથમ લખોટી લીલી છે આનો અર્થ એ થાય કે જો પ્રથમ લખોટી લીલી છે એવું આપેલું હોય તો બીજી લખોટી પણ લીલી જ હશે તેની સંભાવના શું થાય આપણે અહીં તે પરિસ્થિતિ દર્શાવી છે હવે તમારી પાસે કુલ શક્ય પરિણામો 4 છે 5 નથી અને તેમના બે પરિણામો તમારી ઘટનાને સંતોષે છે તેથી તે સંભાવના 2 /4 થાય આમ પ્રથમ લખોટી લીલી હોય અને બીજી લખોટી પણ લીલી હોય તેની સંભાવના બરાબર પ્રથમ લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના જે 3 /5 છે ગુણ્યાં પ્રથમ લખોટી લીલી છે તે આપેલની સાથે બીજી લખોટી લીલી મળવાની સંભાવના 2 /4 હવે અહીં તમારી પાસે એક લખોટી ઓછી છે માટે 4 લખ્યું અને આપણે એ બાબત ધારીએ છીએ કે પ્રથમ લખોટી લીલી છે માટે હવે બે જ લીલી લખોટી બાકી રહી તેથી અહીં બે લખ્યું હવે જો આપણે આ બંનેનો ગુણાકાર કરીએ તો આપણને કુલ સંભાવના મળે તેથી આના બરાબર 3 /5 ગુણ્યાં 2 /4 એ 1 /2 ને સમાન છે માટે આના બરાબર 3 /10 અથવા 0 .30 અથવા 30 ટાકા જયારે આપણે લખોટીને ફરીથી કોથળીમાં ન મૂકીએ ત્યારે બંને લખોટી લીલી જ મળે તેની સંભાવના 30 ટાકા છે હવે હું પ્રશ્ન તમને ફરીથી પૂછીશ શું તમે આ રમત રમવાનું પસંદ કારસો શું તમે આ રમત ખુબ જ વધારે વખત રમો તો તમને 1 ડોલર મળવાની સંભાવના 30 ટકા છે તેના આધારે અપેક્ષિત મૂલ્ય 0 .30 ગુણ્યાં 1 ડોલર થાય જેના બરાબર 30 સેન્ટ થાય અપેક્ષિત મૂલ્ય વિશે આપણે હજુ સુધી શીખ્યા નથી પરંતુ હું તમને તેનો થોડો ખ્યાલ આપવા મંગુ છું જેનો અર્થ એ થાય કે જો તમે આ રમતને ખુબ જ વધારે વખત રમો તો તમને 1 ડોલર તો 30 ટકા તક છે કે તમને 30 સેન્ટ મળે તેનો અર્થ એ થાય કે જો તમે આ રમત ઘણી બધી વખત રમો તો તમને 30 સેન્ટ મળે તો શું તમે આ 30 સેન્ટ મેળવવા કોઈને 35 સેન્ટ આપશો માટે તમે આ રમતને રમવાનું ઈચશો નથી હવે હું તમને બીજો પ્રશ્ન પૂછીશ જો તમે પ્રથમ લખોટીને પછી થેલીની અંદર મૂકી દો તો શું તમે આ રમતને રમવાનું પસંદ કરશો