સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંયુક્તસંભાવના

આપણે એવી પરિસ્થિતિ વિશે વિચારીએ જ્યાં આપણી પાસે સમતોલ સિક્કો છે આ પ્રમાણે હવે આપણે આ સિક્કાને ઘણી બધી વખત ઉચાલીશુ અને જુદી જુદી શક્યતાઓ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીશું સૌ પ્રથમ સરળ ઉદાહરણથી શરૂઆત કરીએ ધારો કે આપણે તેને એક જ વખત ઉંચાઈએ છીએ હવે જો આપણે સિક્કાને એક જ વખત ઉછાળીએ તો છાપ મળવાની સંભાવના શું છે ત્યાં બે સમાન શક્યતાઓ છે અને આ બંને શક્યતાઓમાં છાપ મળવાની શક્યતા 1 છે માટે આ સંભાવના અથવા આ તક 1 /2 થાય તેવી જ રીતે જો હું તમને એમ પૂછું કે આપણને કાટ મળવાની સંભાવના શું છે તો તેના બરાબર શું થાય ફરીથી ત્યાં બે સમાન શક્યતાઓ છે જેમાંથી એક આપણને કાટ આપે માટે આ સંભાવના 1 /2 થાય અહીં એક મહત્વની બાબત એ છે કે જો તમે છાપ મળવાની સંભાવના અને કાટ મળવાની સંભાવના લો તે બંનેનો સરવાળો કરો તો તમને 1 /2 + 1 /2 = 1 મળે અને આ સામાન્ય રીતે સાચું હોય છે બધી જ શક્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 થવો જોઈએ અને તે યોગ્ય છે કારણ કે તમે અહીં બધા જ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો લઇ રહ્યા છો જ્યાં તેમના અંશ એ બધી જ શક્ય ઘટનાઓનો સરવાળો છે અને તેમનો છેદ હંમેશા બધી શક્ય ઘટનાઓ હશે માટે જયારે તમે આ બધાનો સરવાળો કરો ત્યારે તમારી પાસે બધી જ શક્ય ઘટનાઓ ના છેદમાં બધી જ શક્ય ઘટનાઓ થશે હવે હું આ સમતોલ સિક્કાને બે વાર ઉછાળી રહી છું તો મને છાપ અને બીજી વખત પણ છાપ મળવાની સંભાવના શું છે તેના વિશે વિચારવાની બે રીત છે એક રીત આ પ્રમાણે છે સૌ પ્રથમ તમે બધી જ શક્ય શક્યતાઓ વિશે વિચારો મને પ્રથમ વખત ઉછળતા છાપ મળી શકે બીજી વખત ઉછળતા પણ છાપ મળી શકે પ્રથમ વખત ઉછળતા છાપ અને બીજી વખત ઉછળતા કાટ મળી શકે પ્રથમ વખત ઉછળતા કાટ અને બીજી વખત ઉછળતા છાપ મળી શકે અથવા મને બંને વખત ઉછળતા કાટ મળી શકે આમ અહીં આ 4 જુદી જુદી સમાન શક્યતાઓ છે તમે તેને આ રીતેપણ વિચારી શકો સિક્કાને પ્રથમ વાર ઉછાળીએ તો મારી પાસે બે શક્યતાઓ છે સિક્કાને બીજી વાર ઉછાળીએ તો પણ મારી પાસે બે શક્યતાઓ છે આમ અહીં કુલ 4 શક્યતા છે અહીંની દરેક શક્યતા માટે મારી પાસે અહીં બે શક્યતાઓ છે આમ મારી પાસે અહીં 4 સમાન શક્યતાઓ છે અને હવે તેમાંથી કેટલી શક્યતા આપણી સરતને સંતોષે છે અહીં આ શક્યતા આપણી સરતને સંતોષે છે તે ચાર માંથી ફક્ત એક જ છે માટે આની સંભાવના 1 /4 થાય હવે અહીં આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એટલે કે ઈન્ડિપેન્ડેન્ટ ઈવેન્ટ્સ છે સંભાવનાને સમજવા જેવો આ એક ખુબ જ ઉપયોગી ખ્યાલ છે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ આપણે એવા ઉદાહરણ પણ જોઈશું જેમાં ઘટનાઓ સ્વતંત્ર ન હોય પરંતુ અહીં આ સ્વતંત્ર ઘટના છે અહીં પ્રથમ વખત ઉછળતા શું થાય છે તે અહીં બીજી વખત ઉછાળીએ તેને અસર કરતુ નથી આ એક એવી બાબત છે જે ઘણા લોકો સમજતા નથી જો તમને એક પછી એક છાપ મળતી હોય તો હવે જયારે તમે ફરીથી સિક્કાને ઉછાળશો ત્યારે કાટ મળવાની સંભાવના સૌથી વધારે છે આ એ પરિસ્થિતિ નથી તમે જેટલી પણ વખત ઉછાળો તો તે દરેક ઘટના એક બીજાથી સ્વતંત્ર છે ભૂતકાળમાં શું થઇ ગયું છે તે હવે પછીની ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરતુ નથી માટે સિક્કાને પ્રથમ વખત ઉછળતા તમને છાપ મળે છે તે સિક્કાને બીજી વખત ઉછળતા પણ છાપ મળે તેની સાથે સંબંધ ધરાવતું નથી જો તમે આ પ્રમાણેની ધારણા કરી શકો તો તમે અહીં કહી શકો કે એક વારછાપ અને બીજી વખત પણ છાપ મળવાની સંભાવના બરાબર સિક્કાને એક વખત ઉછળતા છાપ મળવાની સંભાવના ગુણ્યાં સિક્કાને બીજી વખત ઉછળતા છાપ મળવાની સંભાવના આપણે જાણીએ છીએ કે સિક્કાને એક વાર ઉછળતા છાપ મળવાની સંભાવના 1 /2 છે ગુણ્યાં બીજી વખત છાપ મળવાની સંભાવના પણ 1 /2 થાય માટે આના બરાબર 1 /4 આ તે જ જવાબ છે જે આપણે અહીં મેળવ્યું જયારે આપણે જુદી જુદી સમાન શક્યતાઓને જોઈ હતી હવે આપણે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ આપણે કહીએ કે કાટ ત્યાર બાદ છાપ અને ફરી પછી છાપ મળવાની સંભાવના શું છે ઘટના આજ પ્રકારની શ્રેણીમાં થવી જોઈએ હું અહીં એ નથી કહી રહી કે આ કાટ કોઈ પણ ક્રમમાં હોઈ શકે પરંતુ આ ઘટના આ જ ક્રમમાં હોવી જોઈએ સિક્કાને પ્રથમ વખત ઉછળતા કાટ મળવું જોઈએ બીજી વખત ઉછળતા છાપ મળવું જોઈએ અને ત્રીજી વખત ઉછળતા કાટ મળવું જોઈએ તો આની સંભાવના શું થાય ફરીથી આ બધી સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે સિક્કાને પ્રથમ વખત ઉછળતા મને કાટ મળે તે સિક્કાને બીજી વખત ઉછળતા છાપ મળે તેના પર કોઈ અસર કરતું નથી અને સિક્કાને ત્રીજી વખત ઉછળતા મને ફરીથી કાટ મળે તેની સાથે કોઈ સંભંધ ધરાવતું નથી અહીં આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે તેથી આપણે કહી શકીએ કે આના બરાબર સિક્કાને પ્રથમ વખત ઉછળતા કાટ મળવાની સંભાવના ગુણ્યાં સિક્કાને બીજી વખત ઉછળતા છાપ મળવાની સંભવના ગુણ્યાં સિક્કાને ત્રીજી વખત ઉછળતા કાટ મળવાની સંભાવના અને આ બધી જ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે તેથી આ સંભાવના 1 /2 થાય ગુણ્યાં આ સંભાવના પણ 1 /2 થાય ગુણ્યાં આ સંભાવના પણ 1 /2 થાય માટે આના બરાબર 1 /8 આપણે આની ચકાસણી પણ કરી શકીએ હવે આપણે જુદી જુદી શક્યતાઓ પણ લખીએ તમને ત્રોણે ત્રણ છાપ પણ મળી શકે અથવા તમને એક છાપ બીજી છાપ અને કાટ મળી શકે અથવા તમને છાપ કાટ અને છાપ મળી શકે તમને છાપ કાટ અને કાટ મળી શકે તમને કાટ છાપ અને છાપ મળી શકે તમને કાટ છાપ અને કાટ મળી શકે તેવી જ રીતે તમને કાટ કાટ અને છાપ પણ મળી શકે અથવા તમને ત્રોણે ત્રણ કાટ પણ મળી શકે આપણે અહીં જોઈ શકીએ કે આપણને 8 શક્યતાઓ મળે છે અહીં આ 8 સમાન શક્યતાઓ છે અને તેમાંથી કાટ છાપ કાટ એક જ વાર મળે છે જે અહીં છે 8 માંથી 1 જ શક્યતા એવી છે જે આપણી સરતને સંતોષે છે