દ્વિઘાતના વ્યવહારુ પ્રશ્નો: બોલ

એક ઇમારતની છત પરથી જમીનથી ૫૦ ફિટ ઉપર એક દડો ફેંકવામાં આવ્યો તેનો પ્રારંભિક વેગ ૨૦ ફિટ પ્રતિ સેકન્ડ છે સમીકરણ એચ અહીં એચ એ ઉંચાઈ એટલેકે હાઈટ દર્શાવે છે એમ માની શકાય બરાબર માઇનસ સોળ ટી નો વર્ગ વતા વિસ ટી વતા પચાસનો ઉપયોગ ટી સેકન્ડ પછી દડાની ઉંચાઈ દર્શાવવા માટે કરી શકાય આપણે આઉદાહરણમાં આ સૂત્રને સ્વીકારી લેવાનું છે જો કે આવું સૂત્ર આપણે ખાન એકેડમીના બીજા વીડિયોમાં સાબિત કર્યા છે એટલેકે તારવ્યા છે પરંતુ અહીં આસમીકરણને આપણે અત્યારે સ્વીકારી લઈએ આમ અહીં જે સમીકરણ છે તે ટી સેકન્ડ પછી દડાની ઉંચાઈ દર્શાવે છે અને આગળ કહ્યું છે કે દડાને જમીન પર પાડવામાં લગભગ કેટલો સમય લાગશે હવે જો આ ઉંચાઈ હોય તો જયારે ઉંચાઈ બરાબર શૂન્ય હોય અહીં કહ્યું છે કે જમીન પર પાડવામાં એટલે કે એચ બરાબર શૂન્ય થવું જોઈએ આમ આપણે શોધવાનું છે કે કયા સમયે એચ બરાબર શૂન્ય થશે અહીં નીચે આ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીયે માટે શૂન્ય બરાબર માઇનસ સોળ ટી નો વર્ગ વતા વિસ ટી વતા પચાસ હવે જોવો તેનું વધુ સાદુંરૂપ આપીયે તો આપણે જોઈ શકીયે છીએ કે અહીં દરેક પદ એ બે વડે વિભાજ્ય છે તેમજ અહીં આ પહેલા પદના સહગુણક માંથી આ ઋણની નિશાની દૂર કરવા બંને બાજુ માઇનસ બે વડે ભાગીયે હવે આપણી સરળતા માટે આ શૂન્ય ને જમણી બાજુ લખશું માઇનસ સોળ ટી નો વર્ગ ભાગ્યા માઇનસ બે બરાબર આઠ ટી નો વર્ગ વિસ ભાગ્યા ઋણ બે બરાબર માઇનસ દસ ટી પચાસ ભાગ્યા ઋણ બે બરાબર માઇનસ પચ્ચીસ અને આ શૂન્યને ઋણ બે વડે ભગતા શુન્યજ રહે આમ આઠ ટી નો વર્ગ ઓછા દસ ટી ઓછા પચ્ચીસ બરાબર જીરો હવે આપણે આનો ઉકેલ શોધીયે આપણે તે પૂર્ણવર્ગની રીતે કરી શકીયે અથવા દ્વિઘાટ સમીકરણના સૂત્રની રીતે ઉકેલીએ જે પૂર્ણવર્ગની રીત પરથીજ મળેલ છે હવે જો આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવીએ તો આપણે જાણીયે છીએ કે આ એ છે આ છે આપણો બી અને આ અચળ પદ એટલેકે તે સી છે અહીં દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર લખીયે જેનો ઉકેલ ચલ ટી ના સ્વરૂપમાં મેળવવાનું છે માટે ટી બરાબર માઇનસ બી પ્લસ ઓર માઇનસ વર્ગમુળમાં બી સ્ક્વેર માઇનસ ફોર એ સી અને આખા પદના છેદમાં ટુ એ હવે આ કિંમતો સૂત્રમાં મુકતા ટી બરાબર માઇનસ બી બીની કિંમત છે માઇનસ દસ માટે માઇનસ માઇનસ પ્લસ દસ પ્લસ ઓર માઇનસ વર્ગમુળમાં બી સ્કવેર એટલકે માઇનસ દસનો વર્ગ જે થશે સો ઓછા ચાર ગુણ્યાં એ ની કિંમત આઠ અને સી ની કિંમત માઇનસ પચ્ચીસ તેમજ આખા પદના છેદમાં ટુ એ એટલેકે બે ગુણ્યાં આઠ બરાબર સોળ અહીં ઋણનો ઋણ સાથે ગુણાકાર કરતા તે ધન થઇ જશે ચાર ગુણ્યાં પચ્ચીસ બરાબર સો ગુણ્યાં આઠ બરાબર આઠસો આમ વર્ગમુળમાં સો વતા આઠસો માટે લખી શકાય દસ પ્લસ ઓર માઇનસ વર્ગમુળમાં એકસો વતા આઠસો બરાબર નવસો છેદમાં સોળ બરાબર ટેન પ્લસ ઓર માઇનસ નવસો નું વર્ગમૂળ ત્રીસ છેદમાં સોળ આમ હવે સમય બરાબર દસ વતા ત્રીસ ભાગ્યા સોળ એટલે કે ચાળીસ ભાગ્યા સોળ અંશ અને છેદને આઠ વડે ભાગતા આપણને મળે પાંચના છેદમાં બે આમ આ એક ઉકેલ થશે જયારે દસમા ત્રીસ ઉમેરીએ ત્યારે અથવા બીજો ઉકેલ થશે ટી બરાબર હવે દસ માંથી ત્રીસ બાદ કર્યું તો આપણને મળે માઇનસ વીસના છેદમાં સોળ અંશ અને છેદને ચાર વડે ભાગતા આપણને મળે માઇનસ પાંચના છેદમાં ચાર હવે જુઓકે આપણે અહીં સમય શોધી રહ્યા છીએ અને સમય તેઋણમાં હોઈશકે નહિ આપણે શોધવાનું છેકે દડો જમીન પર ક્યારે પછડાય છે માટે આપણે ફક્ત ધન પરિણામો વિશેજ વિચારવાનું છે આમ આપણો ઉકેલ થશે પાંચના છેદમાં બે તે સમય છે જે સેકેન્ડમાં આપેલ છે માટે પાંચના છેદમાં બે સેકેન્ડ અહીં આપણે ભૌતિક વિજ્ઞાન વિષે વધારે નથી વિચારવાનું પરંતુ આ પ્રશ્ર્નનો ઉકેલ દ્વિઘાત સમીકરણની રીતે મેળવવાનું છે હવે ચકાસી જોઈએ કે ખરેખર શૂન્ય ઉંચાઈએ પહોંચવા માટે પાંચપોઇન્ટ બે સેકેન્ડ જેટલો સમય લાગે છે કે નહિ આ સમીકરણમાં એચ બરાબર શૂન્ય લઈએ તો ચાલો તે ચકાસીએ આ સમીકરણમાં કિંમત મુકતા માઇનસ સોળ ગુણ્યાં ટી કિંમત હવે આપણી પાસે છે પાંચના છેદમાં બે એનો વર્ગ પ્લસ વીસ ગુણ્યાં પાંચના છેદમાં બે વતા પચાસ બરાબર શૂન્ય માટે માઇનસ સોળ પાંચના છેદમાં બેનો વર્ગ કરતા આપણને મળે પચ્ચીસના છેદમાં ચાર વતા વીસ ભાગ્યા બે માટે અહીં દસ મળે દસ ગુણ્યાં પાંચ બરાબર પચાસ વતા પચાસ બરાબર જીરો સોળનો ચાર વડે છેદ ઉડાવતા ચાર ચોક સોળ માઇનસ ચાર ગુણ્યાં પચ્ચીસ બરાબર માઇનસ સો વતા પચાસ વતા પચાસ બરાબર સો બરાબર જીરો હવે માઇનસ સો અને પ્લસ સો ની કિંમત થશે શૂન્ય બરાબર શૂન્ય આમ તે સાચું છે આમ અહીં આપણે તાળો મેળવી લીધું છે એટલેકે પાંચના છેદમાં બે સેકેન્ડ પછી દડો જમીન પર પડશે અથવા બીજી રીતે વિચારીયે તો બે પોઇન્ટ પાંચ એટલેકે અઢી સેકેન્ડ લાગશે તેને જમીન પર પડવામાં આમ ટી બરાબર આમ ટી બરાબર પાંચના છેદમાં બે સેકન્ડ અથવા બે પોઇન્ટ પાંચ સેકેન્ડ